06. Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)

На этом уроке вы узнаете, как построить график функции , если известен график функции .

На прошлом уроке мы научились график функции . Сейчас же наша задача – научиться строить график функции . Рассмотрим пример.

Дано:

(графиком данной функции будет парабола) (рис. 1)

Построить:

а)

б)

Решение: поясним характер кривых, их взаимное расположение поясним с помощью таблицы:

Строим график функции (рис. 2):

График этой функции получается с помощью сдвига вверх на единицу графика исходной функции.

График же следующей функции мы получим сдвигом исходной функции вниз на единицу (рис. 3):

Итак, чтобы построить график функции , надо график исходной функции сдвинуть на единицу вверх. Чтобы построить график функции , необходимо график исходной функции сдвинуть на единицу вниз.

Сдвиги вверх и вниз приводят к изменению множества значений. Множество значений иллюстрирует эти сдвиги:

; ,

; ,      

; ,

Мы рассмотрели частный случай, когда к прибавляли или отнимали единицу. Отсюда следует правило:

Правило построения не изменится при . Правило также не изменится, если мы возьмём любую другую функцию.

Сформулируем важное для нас правило.

Чтобы получить , надо кривую :

• сдвинуть на  единиц вверх, если ,

• сдвинуть на  единиц вниз, если

Рисунок отображает графически данное правило (рис. 4):

Дана кривая . Построить кривые:

а) ;

б)

Построение:

а) Строим график функции  и сдвигаем его на 1 единицу вверх (согласно правилу) (рис. 5):

График функции а) построен сдвигом графика исходной функции на 1 единицу вверх.

б) Строим график функции  и сдвигаем его на 1 единицу вниз (согласно правилу) (рис. 6):

Кривые а) и б) построены. Сделаем некоторый анализ:

У нас есть 3 кривые (;  и ). Каждая из них есть гипербола. Шаблоном для всех остальных является гипербола . Но у каждой гиперболы есть свой центр симметрии. Отметим их:

Итак, построены 3 гиперболы, и для каждой из них указан центр.

Далее рассмотрим горизонтальные асимптоты:

Теперь проанализируем множества значений для каждой из функций:

Найти все значения параметра а, при которых уравнения:

а) ;

б) ;

в) не имеют решений.

Решение:

а)

Ответ для этой задачи ясен сразу. Уравнение , если .

Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .

б) Преобразуем левую часть:

Эту функцию мы уже рассматривали в задаче . Эта функция принимает все значения, кроме .

Если , то это уравнение не имеет решений.

Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .

в) Запишем его следующим образом:

Мы только что рассматривали эту функцию в задаче и выяснили, что она принимает все значения, кроме .

Если , то это уравнение не имеет решений.

Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .

Дадим геометрическую интерпретацию каждой из задач (рис. 7)

Итак, мы решили задачи и дали иллюстрации к каждой из них.

Решить уравнение .

Решение:

Для начала попробуем решить аналитическим методом.

а) Приведём к общему знаменателю и получим:

Дробь равна 0 тогда, и только тогда, когда числитель () равен 0, а знаменатель не равен 0. Но уравнения третьей степени мы сейчас решать не можем. Значит, единственным возможным методом остаётся графический.

б) Перепишем данное уравнение

График функции как из левой, так и из правой части мы умеем построить.

Надо построить график каждого из уравнений (рис. 8):

График нам подсказывает, что если:

 – решений нет

 – решение может быть только одно (это наглядно отображено на графике)

Проверим :

Получили обоснованный ответ, что .

Ответ: .

Подчеркнём: данное уравнение удалось решить только графическим методом. Это ещё раз подтверждает важность построения графиков функции, в том числе и функции вида .

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Проверь себя

1. № 20.7, 20.16, 20.27, 20.32 стр. 125–131. Мордкович А. Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

Полезные ссылки

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru».

2. Интернет-портал «unimath.ru».