23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)

Геометрический смысл производной

В геометрии мы сталкивались с понятием касательной. Мы определяли касательную к окружности как прямую, которая имеет с окружностью одну общую точку. Но касательную можно провести и к эллипсу, и к гиперболе. Если определить касательную как прямую, которая имеет с кривой ровно одну общую точку, то получится, что касательные можно провести далеко не ко всем кривым.

Но может возникать ситуация, когда локально прямая с кривой имеет одну общую точку, а где-то вдалеке кривую пересекает.

Если обрезать кривую, то увидим, что касательная действительно касается кривой уже в нашем понимании: имеет с ней на рассматриваемом участке одну общую точку. Поэтому под касательной к гладкой кривой в точке  будем понимать прямую, которая в некоторой окрестности точки  имеет с кривой одну общую точку. В случае, если у кривой есть прямолинейный участок, будем считать касательной в любой точке прямую, которая содержит данный прямолинейный участок.

Теперь нужно выяснить, как найти касательную к кривой в данной точке. Для окружности это можно было сделать благодаря тому, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Перейдем к случаю произвольной кривой. Рассмотрим функцию, график которой является гладкой кривой.

Возьмём произвольную точку , в которой мы хотим провести касательную к графику функции. И возьмём недалеко от точки  точку , которая также принадлежит графику функции. Прямая  будет секущей к графику функции. Начнём двигать точку  по графику функции к точке . Как только точка  совпадёт с точкой , секущая  превратится в касательную к графику функции в точке . То есть касательная в точке  – это предельное положение секущей  при . При этом все рассматриваемые секущие и касательная проходят через точку . Значит, при  угол наклона секущей к оси  в пределе стремится к углу наклона касательной к оси . Запишем полученный результат более строго. По определению производная – это отношение приращения функции к приращению аргумента при малом приращении аргумента.

Рассмотрим график функции . Отметим на нём произвольную точку . И рассмотрим точку , соответствующую некоторому приращению аргумента.

 – секущая графика функции. А отношение приращения функции к приращению аргумента из прямоугольного треугольника : .

Будем теперь уменьшать приращение аргумента.

Как видим, точка  приближается к точке . Если в пределе точки  и  совпадут, то прямая  станет касательной к графику функции в точке  (так как у этой прямой будет одна общая точка  с графиком функции), а предел отношения приращения функции к приращению аргумента (производная функции в точке по определению) будет равен: , где  – угол наклона касательной к графику функции в точке  к положительному направлению оси .

Таким образом, мы получили геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси .

Поясним формулировку «положительное направление оси ». Мы знаем, что две прямые (если они не параллельны; угол между параллельными прямыми равен нулю) при пересечении образуют четыре угла. Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен . Во всех остальных случаях углом между прямыми принято считать острый угол, который образуется при их пересечении.

Рассмотрим убывающую функцию.

В этом случае приращение функции будет отрицательным, поэтому и производная функции в точке будет отрицательной. Здесь производная в точке равна не тангенсу угла между касательной и осью  (это тангенс острого угла, то есть положительная величина), а тангенсу тупого угла между касательной и осью . Поэтому производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси , то есть углу, который отсчитывается от оси  против часовой стрелки.

Пример

Найдите значение выражения .

Решение

В задаче речь идёт о значениях производной функции. Кроме того, изображены касательные к графику и углы их наклона к оси . Значит, необходимо воспользоваться геометрическим смыслом производной. В точке  касательная к графику проходит под углом , значит, . Аналогично, . Получаем .

Пример

Найдите значение выражения .

Решение

Найдем производную в точке . В этой точке касательная параллельна оси абсцисс, поэтому . В точке  угол наклона касательной , значит, . Получаем .

Пример

На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .

Решение

Значение производной функции  в точке  равно тангенсу наклона касательной к положительному направлению оси . Значит, нам необходимо найти тангенс этого угла.

Найдем тангенс угла наклона касательной по определению. Для этого найдем тангенс угла , смежного с искомым. Найти это значение из треугольника  не получится, так как мы не можем по рисунку определить длины его сторон, поэтому найдем подобный ему треугольник, который проходит через точки с известными координатами. Например, треугольник , в нем , . Используя определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, получаем, что . Значит, . . Значит, .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Геометрический смысл производной.

Определение тангенса угла.

Уметь

Находить тангенс угла между прямой и осью  в прямоугольной системе координат по рисунку.

Понимать

Угол между касательной и положительным направлением оси  – это угол, который отсчитывается от оси  против часовой стрелки.

Уравнение касательной

При решении последнего примера мы искали тангенс угла по определению из прямоугольного треугольника. Однако для этого можно воспользоваться и свойствами линейной функции. Напомним, что при изучении линейной функции мы выяснили, что угловой коэффициент линейной функции : , где  – угол наклона прямой к положительному направлению оси . Таким образом, производная функции в точке равна не только тангенсу угла наклона касательной, но и угловому коэффициенту касательной.

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, составим ее уравнение по двум точкам. В последней задаче касательная проходит через точки , , значит, их координаты обращают уравнение прямой в верное равенство, подставим их в уравнение:

Значит, .

Пример

Прямая  параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Прямые параллельны тогда, когда их угловые коэффициенты равны, значит, угловой коэффициент касательной также равен 7. Как мы уже знаем, угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке, поэтому: ; ; .

Однако теперь мы можем вывести уравнение касательной к графику функции в данной точке, зная значение производной функции в этой точке: . Получаем: . Осталось найти значение коэффициента . Для этого воспользуемся тем, что касательная проходит через точку : .

Подставим полученное значение в уравнение касательной: .

Отсюда получаем уравнение касательной к графику функции в данной точке: .

Пример

Составить уравнение касательной к графику функции  в точке .

Решение

Уравнение касательной имеет: .

Найдем  и .

:

Подставим заданное значение  в : .

:

Сначала вычислим : . Теперь подставим .

Тогда уравнение касательной принимает следующий вид:

Пример

Прямая  является касательной к графику функции . Найдите .

Решение

Запишем уравнение касательной к графику функции  в точке .

Используя геометрический смысл производной, запишем, что производная в точке равна угловому коэффициенту касательной.

Вычислим : . Теперь подставим : . Приравняем значение производной в точке к угловому коэффициенту касательной: .

Уравнение касательной имеет следующий вид: .

Подставим полученные значения в уравнение касательной: .

Уравнение касательной, которое нам дано: . Можем приравнять коэффициенты : .

Составляем систему из двух уравнений: .

Ответ: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к графику функции в точке.

Уметь

Вычислять значение производной функции в точке.

Механический смысл производной

Из курса физики мы знаем, что мгновенная скорость тела определяется следующим образом: . Таким образом, это определение совпадает с определением производной функции  по переменной . Значит, . В этом и состоит механический смысл производной: скорость тела – это производная по времени от его перемещения. Таким образом, зная закон, по которому движется тело, можно найти скорость тела в любой момент времени.

Мы можем убедиться в справедливости полученного результата. Например, при равномерном движении . Если вычислить производную по времени, то получим, что . Таким образом, мы получили верный результат: для равномерного движения скорость постоянна.

Рассмотрим теперь равноускоренное движение: . Вычислим производную по времени: . Таким образом, мы получили формулу для линейного изменения скорости при равноускоренном движении, знакомом вам из курса физики. Скорость изменения скорости, по определению, – это ускорение. Значит, можем записать, что .

Действительно, для равномерного движения вторая производная будет равна нулю (ускорение рано нулю), а для равноускоренного движения получим постоянное ускорение: . Это ещё один механический смысл производной.

Пример

Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где  – расстояние от точки отсчета в метрах,  – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени .

Решение

Воспользуемся механическим смыслом производной: . Найдем производную данной функции: . Так как нам нужно значение скорости в момент времени , подставим это значение:  м/с.

Пример

Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где  – расстояние от точки отсчета в метрах,  – время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение

Снова используем механический смысл производной: . Найдем производную данной функции: . Теперь найдем, в какие моменты времени  скорость будет равна 2.

Время отсчитывается с начала движения, поэтому нам подходит только .

Пример

Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где  – расстояние от точки отсчета в метрах,  – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее ускорение (в м/с) в момент времени .

Решение

Ускорение – это производная от скорости, а скорость – производная от перемещения (расстояния от точки отсчёта до тела в данный момент времени), значит, ускорение – это вторая производная от перемещения: . Так как нам нужно значение ускорения в момент времени , подставим это значение: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Механический смысл производной.

Уметь

Вычислять значение первой и второй производной функции в точке.

Решение различных задач

Пример

Прямая  является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение

Запишем уравнение касательной к графику функции  в точке .

Уравнение касательной имеет следующий вид: . Найдем  и .

:

Подставим заданное значение  в : .

:

Сначала вычислим : . Теперь подставим : .

Тогда уравнение касательной принимает следующий вид:

Нам подходит только , по условию: .

Пример

Найдите уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку .

Решение

Выпишем уравнение касательной к графику функции: . В нашем случае . Найдём производную от функции: . В точке : .

Получаем уравнение касательной: .

Пример

При каких значениях  и  прямая  касается параболы  в точке ?

Решение

Поскольку прямая касается параболы в этой точке, то сама точка также принадлежит параболе, значит, её координаты удолветворяют уравнению параболы: .

Составим уравнение касательной к параболе в точке .

И это уравнение должно совпадать с уравнением . Несложно получить, что ; .

Ответ: .

Пример

Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: , . В какой момент времени их скорости будут равны?

Решение:

Найдём скорости, вычислив производную от перемещения: , . Мы ищем момент времени, в который скорости будут равны. Для этого приравняем полученные выражения для скоростей.

Ответ: через 2 с после начала движения.

Задачи повышенной сложности

Пример

Найдите общие точки графиков функции  и , в которых эти графики имеют общие касательные.

Решение

Если в какой-то точке у функций совпадают касательные, то это значит, что в этой точке значения производных функций также должны совпадать, так как угловые коэффициенты касательных также должны совпадать. Запишем это: .

Приравниваем производные функций: . То есть общие касательные у этих двух функций могут быть только в одной из этих двух точек. Проверим, действительно ли в этих точках у функций будут общие касательные.

:

Уравнение касательной: .

: ;

Для первой функции: . Для второй функции: .

Как видим, в этой точке касательные не совпадают. Значит, общие касательные будут только в точке .

Пример

На гиперболе ,  задана точка , такая, что . Найдите площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе в точке и осями координат.

Решение

Найдём координаты точки . Мы знаем, что она лежит на гиперболе и её координаты удовлетворяют соотношению: .

Составим систему: ; .

Теперь составим уравнение касательной к графику гиперболы в этой точке. Для этого .

При этом . Получаем:

Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат:  и . Теперь несложно найти площадь образованного прямоугольного треугольника: 2.

Пример

Найдите площадь треугольника, образованного прямой , осью абсцисс, и касательной к параболе  в точке её пересечения с осью ординат.

Решение

1) Найдём точку пересечения параболы с осью ординат. Любая точка на оси ординат имеет нулевую абсциссу, поэтому: : .

2) Теперь найдём уравнение касательной к параболе в этой точке.

,

3) Нарисуем полученные прямые и треугольник, который они образуют.

4) Найдём вершины треугольника. Точки на оси абсцисс: , . Найдём координаты вершины  – точки пересечения прямых  и .

Решим систему уравнений: .

;

Основание треугольника . Высота  – это расстояние от точки  до оси абсцисс, то есть это ордината точки . Поэтому . Получаем площадь треугольника: .

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели геометрический и механический смыслы производной, а также уравнение касательной к графику функции. На следующем уроке мы рассмотрим нахождение экстремальных точек функции, а также решение экстремальных задач.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)

2. Уравнение касательной к графику функции (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)

3. Касательная (Алгебра, 11 класс, раздел «Повторение»)

4. Касательная (Алгебра, 11 класс, раздел «Повторение курса Алгебра 10 класс»)

5. Типовые задачи на касательную (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)