25. Интеграл (основной урок)

Первообразная

Мы умеем делать различные операции над элементами множеств. Например, если мы умножаем рациональное число на 2, то снова получаем рациональное число. При этом легко по результату однозначно определить число, которое мы умножали: достаточно результат поделить на 2.

Если мы возведём все рациональные числа в квадрат, то восстановить, какое число мы возводили в квадрат, если результат равен 4, уже однозначно нельзя. Мы могли возводить в квадрат как число 2, так и число .

Мы рассмотрели операцию вычисления производной (дифференцирования). Эту операцию мы определили на множестве гладких функций (то есть функций, которые не содержат угловых точек). Результатом вычисления производной от гладкой функции также будет гладкая функция. Можно ли по производной гладкой функции восстановить саму функцию или хотя бы её свойства? Можно, но с некоторой оговоркой.

Рассмотрим . Функция  называется первообразной (иногда её называют антипроизводной) функции . То есть первообразная – это такая функция, производная от которой равна исходной функции. Если мы сможем по функции  научиться находить функцию , то сможем выполнять операцию, обратную дифференцированию.

Рассмотрим пример: . Значит, первообразная от косинуса – это синус. Однако стоит отметить, что для любой константы : . То есть для любой константы функция  также будет являться первообразной функции . Возникает вопрос: возможно, есть и другие функции, которые будут первообразной косинуса? Докажем общий факт: любые две первообразные функции отличаются на константу. Пусть у функции  есть две первообразные:  и . Тогда по определению: . Тогда: . Отсюда, используя свойство производной, . Но если производная от некоторой функции равна нулю, то в силу определения производной это значит, что функция не меняет своего значения на всей оси, то есть является константой. Получаем, что: . Так, любая первообразная косинуса имеет вид:  – такое множество функций называется семейством первообразных.

Подробнее остановимся на анализе полученного результата. Мы получили, что можем восстановить функцию по её производной с точностью до константы. Алгебраически результат вполне понятен: производная от константы равна нулю, а сумма производных равна производной суммы, поэтому если добавить к функции константу, то производная не изменится. Вспомним, что производная равна скорости изменения функции. Если мы в каждой точке добавим или вычтем из функции одно и то же значение, то скорость изменения функции не изменится, изменятся только значения функции, но на одну и ту же величину.

Как мы уже говорили, в этом случае глобальные параметры функции не меняются: и , и  – параболы. Если построить графики функций, а затем стереть оси координат, то мы не сможем их различить. Поэтому и производные этих функций различаться не будут. Потому что, по определению, производная – это предел отношения изменения функции к изменению аргумента (если изменение аргумента стремится к нулю). А изменение функций  не меняется, если в каждой точке добавить к функции одно и то же число.

Таким образом, мы сможем восстанавливать по производной функцию с точностью до константы, если не будет дано дополнительных условий (например, координаты точки, через которую проходит первообразная).

Ветка. Равномерное и равноускоренное движение

Из курса физики мы знаем, что при равномерном движении: , ,  – уравнение движения. Отсюда: .

При равноускоренном движении: , , . Отсюда: , .

Таким образом, зная ускорение, можно определить изменение скорости с точностью до константы (начальной скорости движения): .

Аналогично:

Действительно, зная скорость, мы можем определить расстояние, которое прошло тело за время , но не можем определить местоположение, так как не знаем начальной позиции.

Поскольку мы знаем, что первообразные функции могут отличаться только на константу, то нам достаточно найти хотя бы одну функцию, производная от которой равна данной. Например, мы знаем, что , значит, все первообразные функции  будут иметь вид: . Таким образом, зная производные некоторых функций, мы можем восстановить по ним и первообразные. В результате получается следующая таблица первообразных.

Пример

Определите, является ли функция  первообразной для функции  на заданном промежутке.

1) , ,

2) , ,

Решение

1) По определению  – первообразная функции , если .

Найдем производную: , значит,  – первообразная функции .

2) Найдем производную: , значит,  не является первообразной функции .

Пример

Для функции  найдите первообразную , для которой выполнено .

Решение

Найдем общий вид первообразной: .

Теперь воспользуемся заданным условием и найдем .

Получаем, что искомая первообразная: .

Пример

На рисунке изображен график функции  – одной из первообразных некоторой функции , определенной на интервале . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  на отрезке .

Решение

Производной функции  является функция . Производная равна нулю в точках экстремума. На промежутке  таких точек восемь.

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Определение первообразной.

• Производные некоторых функций.

Уметь

Находить производную функции.

Понимать

Первообразные функций могут отличаться только на константу.

Неопределённый интеграл и его свойства

Мы выяснили, что все первообразные функции  можно записать в виде следующего семейства: . Это семейство называется неопределённым интегралом и записывается следующим образом: . Операцию нахождения интеграла называют интегрированием. Эта операция обратна операции нахождения производной, то есть дифференцированию.

Действительно, по определению,.

То есть производная от первообразной и первообразная от производной – это сама функция.

Ветка. Дифференциал

Рассмотрим функцию , которая является непрерывной в  промежутке . Предположим, что в некоторой точке  независимая переменная получает приращение . Приращение функции , соответствующее такому изменению аргумента , выражается формулой .

Для любой дифференцируемой функции приращение  можно представить в виде суммы двух слагаемых: , где первый член (т.н. главная часть приращения) линейно зависит от приращения , а второй член имеет более высокий порядок малости относительно . 

Выражение  называется дифференциалом функции и обозначается символом  или .

Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции  на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной  Его площадь, очевидно, равна.

Если сторону квадрата увеличить на , то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять: , т.е. приращение площади  равно .

Представим теперь это приращение  в таком виде:

.

Итак, приращение функции  состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна  и равна , и члена более высокого порядка малости, в свою очередь равного .

В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное . 

Заметим, что в данном примере коэффициент  равен значению производной функции  в точке : .

Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема: 
Коэффициент  главной части приращения функции в точке  равен значению производной   в этой точке, т.е. приращение  выражается формулой .

Разделив обе части этого равенства на , имеем .

В пределе при  получаем значение производной в точке :

.

Если считать, что дифференциал независимой переменной   равен ее приращению : , то из соотношения  следует, что , т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.

Геометрический смысл дифференциала функции

На рис. схематически показана разбивка приращения функции  на главную часть (дифференциал функции) и член высшего порядка малости . Касательная , проведенная к кривой функции  в точке , как известно, имеет угол наклона , тангенс которого равен производной: .

Свойства неопределённого интеграла связаны со свойствами производной. Действительно, . Если взять интеграл от обеих частей, то получим, что .

Аналогично можно доказать, что .

Пример

Найдите общий вид первообразных для функций:

1)

2)

Решение

1)

2)

Рассмотрим ещё одно полезное свойство неопределённых интегралов, а именно: как вычислить неопределённый интеграл вида: .

Мы умеем вычислять производную от сложной функции, поэтому .

На практике мы можем использовать данное свойство для вычисления, например, неопределённых интегралов следующего вида: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Свойства неопределённых интегралов.

Уметь

Находить первообразные стандартных функций.

Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Кроме неопределённого интеграла, есть ещё и определённый интеграл. Это интеграл, у которого заданы пределы интегрирования. Такой интеграл называют определённым и записывают следующим образом: .

Строгое определение определённого интеграла выходит за рамки стандартной школьной программы. Достаточно знать, что значение определённого интеграла от гладкой функции задаётся формулой Ньютона – Лейбница, а именно: .

То есть для нахождения значения определённого интеграла достаточно найти первообразную для соответствующего неопределённого интеграла, а затем вычислить значения полученной функции на верхнем и на нижнем пределах интегрирования, а затем вычесть полученные значения. Например: .

Пример

Вычислите значение интеграла:

1)

2)

3)

4)

Решение

1)

2)

3)

4)

Рассмотрим свойства определённого интеграла (кроме тех, которые он унаследовал от неопределённого интеграла).

1)  – из Н. – Л.

2) 

3) , если .

Наиболее полезным является третье свойство, так как оно позволяет разбивать область интегрирования на несколько промежутков и работать с интегралом на каждом из них.

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Формулу Ньютона – Лейбница.

Уметь

Вычислять неопределённые интегралы.

Геометрический смысл определённого интеграла

Можно доказать (но это выходит за рамки школьной математики), что определённый интеграл имеет важный геометрический смысл. Если на некотором промежутке  определена гладкая функция , то определённый интеграл  численно равен площади под графиком функции.

Если же функция , то соответствующий определённый интеграл численно равен площади над графиком, взятой со знаком минус.

В обоих случаях фигура, площадь которой мы считаем, называется криволинейной трапецией (действительно, у неё есть параллельные основания, но вот одна из боковых сторон – кривая, а не отрезок).

Убедиться в том, что формула верная, можно, если рассмотреть случай функции: . В этом случае .

Если посмотреть на рисунок, то мы действительно получили формулу для площади обычной трапеции – произведение полусуммы оснований на высоту. Только в роли высоты выступает отрезок на оси , длина которого равна .

В случае если , то получаем формулу для площади прямоугольника со сторонами  и : .

Пример

На рисунке изображен график функции . Укажите формулу для вычисления площади закрашенной фигуры.

Решение

Площадь левой части фигуры равна определённому интегралу: . А площадь правой части равна определённому интегралу, взятому со знаком минус, так как график функции лежит ниже оси . Поэтому площадь равна .

Общая площадь фигуры равна: .

Пример

На рисунке изображен график некоторой функции  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите , где  – одна из первообразных функций .

Определенный интеграл на отрезке численно равен площади под графиком функции. Найдем площадь трапеции .

Пример

На рисунке изображен график функции . Функция  – одна из первообразных функций . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение

Из геометрического смысла определенного интеграла:

Пример

На рисунке изображен график некоторой функции . Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл .

Решение

Из геометрического смысла определенного интеграла , численно равен площади под графиком функции на отрезке .

Найдем площадь трапеции: . Значит, .

В том случае если нам необходимо найти площадь, ограниченную двумя графиками функций, необходимо вычислить определённый интеграл от разности двух функций. Действительно, рассмотрим площадь, ограниченную графиками двух функций: , . Для определённости будем считать, что обе они принимают положительные значения. Используя геометрический смысл определённого интеграла, получаем, что площадь под графиком верхней функции: , а под графиком нижней функции: . Но площадь между графиками равна: . Этот результат можно обобщить для функций, принимающих любые значения, не только положительные.

Таким образом, для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками двух функций, необходимо следующее.

1) Найти координаты их точек пересечения: абсциссы будут пределами интегрирования.

2) Определить, график какой из функций расположен выше.

3) Вычислить определённый интеграл от разности функций.

Пример

На рисунке изображены графики функций  и . Укажите формулу для вычисления площади закрашенной фигуры.

Решение

Определяем по графику пределы интегрирования – от 0 до 4. Выше расположен график функции , поэтому получаем такую формулу: .

Пример

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

Решение

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Геометрический смысл определённого интеграла.

Уметь

Вычислять определённые интегралы.

Применение геометрического смысла для вычисления некоторых определённых интегралов

В некоторых случаях вычислить определённый интеграл доступными нам методами не получается. Однако найти значение такого интеграла можно, используя свойства и геометрический смысл определённого интеграла.

Пример

Вычислите интеграл .

Решение

Заданный интеграл на данный момент мы найти не можем, поэтому преобразуем функцию, стоящую под интегралом.

В случае если у определённого интеграла симметричные пределы интегрирования, то облегчить его вычисление может нечётность подынтегральной функции. Действительно, рассмотрим график нечётной функции. Мы видим, что площади под графиком справа от оси  и над графиком слева от оси  одинаковы. Но если график расположен под осью, то значение определённого интеграла – это площадь со знаком минус. Значит, . Таким образом, для нечётной функции: . Аналогично можно доказать, что для чётной функции .

Пример

Вычислите определенный интеграл .

Решение

Исследуем функцию  на четность.

Сначала найдем область определения данной функции: : . Область определения симметрична относительно 0, продолжим исследование.

 – функция нечетная

Пример

Вычислите определенный интеграл .

Решение

Исследуем функцию  на четность.

Сначала найдем область определения данной функции: : . Область определения симметрична относительно 0, продолжим исследование.

– функция нечетная

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Геометрический смысл определённого интеграла.

• Свойства определённого интеграла.

• Свойства чётных и нечётных функций.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели первообразную, а также определённый и неопределённый интеграл, то есть изучили интегрирование – операцию, обратную вычислению производной (дифференцированию). На следующем уроке мы обобщим и закрепим знания по пройденной теме, а также рассмотрим более сложные задания.

Ссылки на уроки Интернет урока по рассмотренным темам:

1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла (Алгебра, 11 класс, раздел «Интеграл»)

2. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (Алгебра, 11 класс, раздел «Интеграл»)

3. Понятие определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница (Алгебра, 11 класс, раздел «Интеграл»)

4. Неопределённый интеграл (Алгебра, 11 класс, раздел «Интеграл»)

5. Правила отыскания первообразных (Алгебра, 11 класс, раздел «Интеграл»)

6. Первообразная (Алгебра, 11 класс, раздел «Интеграл»)