01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)
58 мин
02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)
1 ч 4 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
36 мин
04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)
1 ч 5 мин
05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика
55 мин
06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)
50 мин
07. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения высших степеней. Практика (основной урок)
40 мин
08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)
55 мин
09. Решение текстовых задач (основной урок)
39 мин
10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)
46 мин
11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
43 мин
12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)
40 мин
13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
1 ч 17 мин
14. Логарифмы. Практика (основной урок)
1 ч 9 мин
15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)
59 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
49 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
1 ч 7 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
1 ч 15 мин
19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)
1 ч 30 мин
20. Функции. Свойства функции (основной урок)
49 мин
21. Виды функций. Графики функций (основной урок)
1 ч 0 мин
22. Производная (основной урок)
54 мин
23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)
43 мин
24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)
44 мин
25. Интеграл (основной урок)
42 мин
26. Промежуточный срез №4. Повторение
42 мин
27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)
1 ч 23 мин
28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)
55 мин
29. Математическая статистика (основной урок)
28 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
1 ч 43 мин
31. Основы планиметрии (основной урок)
55 мин
32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)
41 мин
33. Решение треугольников (основной урок)
39 мин
34. Четырехугольники (основной урок)
1 ч 15 мин
35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)
47 мин
36. Практика по планиметрии (основной урок)
48 мин
37. Промежуточный срез № 6. Повторение
34 мин
38. Основы стереометрии
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
34 мин
40. Углы в геометрических телах
23 мин
41. Площади поверхности и объемы геометрических тел
50 мин
42. Решение задач по стереометрии
25 мин
43. Векторы и координаты. Ч.1
35 мин
44. Векторы и координаты. Ч.2
31 мин
45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)
42 мин
25. Интеграл (основной урок)
Первообразная
Рассмотрим . Функция называется первообразной (иногда её называют антипроизводной) функции . То есть первообразная – это такая функция, производная от которой равна исходной функции. Все первообразные данной функции отличаются на константу.
Таблица первообразных
, | |
, | |
Неопределённый интеграл и его свойства
Все первообразные функции можно записать в виде следующего семейства: . Это семейство называется неопределённым интегралом и записывается следующим образом: . Операцию нахождения интеграла называют интегрированием. Эта операция обратна операции нахождения производной, то есть дифференцированию.
Свойства неопределенного интеграла:
Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница
Интеграл, у которого заданы пределы интегрирования, называется определённым и записывается следующим образом: .
Значение определённого интеграла можно вычислить по формуле Ньютона – Лейбница, а именно: .
То есть для нахождения значения определённого интеграла достаточно найти первообразную для соответствующего неопределённого интеграла, а затем вычислить значения полученной функции на верхнем и на нижнем пределах интегрирования и вычесть полученные значения. Например:
.
Свойства определённого интеграла (кроме тех, которые он «унаследовал» от неопределённого интеграла):
, если
Наиболее полезным является третье свойство, так как оно позволяет разбивать область интегрирования на несколько промежутков и работать с интегралом на каждом из них.
Геометрический смысл определённого интеграла
Если на некотором промежутке определена функция , то определённый интеграл численно равен площади под графиком функции.
Если же функция , то соответствующий определённый интеграл численно равен площади над графиком, взятой со знаком минус.
В обоих случаях фигура, площадь которой мы считаем, называется криволинейной трапецией (действительно, у неё есть параллельные основания, но вот одна из боковых сторон – кривая, а не отрезок).
Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками двух функций, необходимо:
найти координаты их точек пересечения: абсциссы будут пределами интегрирования;
определить, график какой из функций расположен выше;
вычислить определённый интеграл от разности функций (от верхней отнять нижнюю).
Применение геометрического смысла для вычисления некоторых определённых интегралов
Если у определённого интеграла симметричные пределы интегрирования, то:
для нечётной функции: ,
для чётной функции .