11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)

Решение уравнений вида

Напоминание:

Иррациональными называются уравнения, которые содержат переменную под знаком корня.

Например, , .

При решении иррациональных уравнений их пытаются свести к рациональным уравнениям. Мы знаем, что обратная операция к извлечению корня – это возведение в степень. Поэтому большинство иррациональных уравнений решается однократным или многократным возведением обеих частей уравнения в некоторую степень.

Мы знаем, что при возведении в чётную степень . Поэтому при возведении обеих частей уравнения  в чётную степень мы получим уравнение , решая которое мы найдём не только корни исходного уравнения, но и корни уравнения . Поэтому при таком способе решения необходимо либо оговаривать знаки функций ,  до возведения в степень, либо в конце сделать проверку – подставить полученные значения в исходное уравнение и проверить, являются ли они его корнями.

Например, если возвести уравнение  в квадрат, то получим  , корни которого . При проверке выясняется, что  не является корнем исходного уравнения. Поэтому если при решении иррационального уравнения мы будем возводить обе части в чётную степень, то в конце обязательно будем выполнять проверку.

При возведении в нечётную степень таких проблем не возникает, так как минус при возведении в нечётную степень снова даёт минус. Например, уравнения  и  равносильны, так как имеют одинаковый действительный корень .

Первый тип иррациональных уравнений, который мы рассмотрим: .

Алгоритм их решения следующий:

1) Возводим обе части уравнения в -ю степень: , .

2) Находим корни уравнения, полученного на первом шаге алгоритма: .

3) Выполняем проверку (если  – чётное). Подставляем каждый корень в исходное уравнение. Если получаем верное равенство, то корень подходит. Если неверное равенство, то нет.

Пример

Решить уравнения:

1) ,

2) ,

3) ,

4)  – уравнение типа B7.

Решение

1) В левой части стоит корень второй степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения во вторую степень:

Решаем полученное уравнение:

.

Выполним проверку. Подставим найденный корень 3 в исходное уравнение.

- верно.

Значит, корень 3 подходит.

2) В левой части стоит корень второй степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения во вторую степень:

Выполним проверку. Подставим найденный корень 10 в исходное уравнение:

,

- неверно.

Значит, число 10 не является корнем исходного уравнения. Таким образом, уравнение решений не имеет.

На самом деле то, что уравнение  не имеет решений, можно сказать сразу. Так как в левой части стоит квадратный корень, а он принимает только неотрицательные значения, а в правой части стоит  – отрицательное число.

3) В левой части стоит корень третьей степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения в третью степень:

Так как степень корня нечётная, проверку можно не выполнять.

4) В левой части стоит корень второй степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения во вторую степень:

Воспользуемся правилом пропорции.

Выполним проверку. Подставим найденный корень  в исходное уравнение:

- верно.

Значит, число  является корнем исходного уравнения.

Решение уравнений вида и

Такие уравнения решаются по тому же алгоритму, что и уравнения вида  для :

1) Возводим обе части уравнения в квадрат.

2) Решаем полученное уравнение.

3) Выполняем проверку.

Пример

Решить уравнения:

1)  – уравнение типа B7,

2) ,

3) .

Решение

1) Возводим обе части уравнения в квадрат:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Выполним проверку:

:

- верно.

:

- верно.

Ответ: ; .

2) Возводим обе части уравнения в квадрат.

Выполним проверку.

:

- верно.

Ответ: .

3) Возводим обе части уравнения в квадрат.

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Выполним проверку:

:

Обратите внимание: несмотря на то, что мы получили одинаковые выражения, 2 не будет корнем исходного уравнения, так как  не определен (корень чётной степени из отрицательных чисел не определён):

:

- верно.

Ответ: .

Решение уравнений вида и

Пример

Решить уравнения:

1) ,

2) .

Решение

1) Возведём в квадрат обе части уравнения:

.

В левой части уравнения воспользуемся формулой :

Перенесём все слагаемые, кроме того, которое содержит корень, в одну часть уравнения:

Мы получили уравнение вида . С его решением мы уже знакомы.

Возводим в квадрат обе части уравнения:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Выполним проверку. Подставляем корни в исходное уравнение:

:

- неверно.

:  

- верно.

Ответ: .

2) Возведём в квадрат обе части уравнения:

Перенесём все слагаемые, кроме того, которое содержит корни, в одну часть уравнения:

Снова возведём обе части уравнения в квадрат:

Выполним проверку:

:

- неверно.

:  

- верно.

Ответ: .

Решение иррациональных уравнений методом замены переменных

Пример

Решить уравнения:

1) 

2) 

3) 

Решение

1) В уравнении переменная  встречается только в выражении . Это подсказывает нам сделать замену . В этом случае мы избавимся от переменной  и получим дробно-рациональное уравнение относительно переменной , которое мы уже умеем решать:

.

Найдем ОДЗ.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

ОДЗ: 

.

Теперь перенесём все слагаемые в одну часть уравнения и приведём их к общему знаменателю:

Избавимся от знаменателя, домножим на него обе части уравнения:

- входит в ОДЗ

- входит в ОДЗ

Теперь выполним обратную замену:

,

,

Ответ: ; .

2) Уравнение содержит корни разных степеней. Приведём сначала все корни к одинаковым степеням, используя уже известное нам равенство :

Мы видим, что в этом уравнении переменная  встречается только в выражении . Это подсказывает нам сделать замену: обозначим  через . В этом случае мы избавимся от переменной  и получим квадратное уравнение относительно переменной :

Теперь выполним обратную замену:

1. .

Возведём обе части уравнения в 4 степень:

Выполним проверку:

- верно.

2. .

Так как в левой части стоит неотрицательное выражение, а в правой – отрицательное, то уравнение решений не имеет.

Ответ: 3.

3) Выражения  и  обратные, заменим , тогда . Получаем дробно-рациональное уравнение относительно :

.

Избавимся от знаменателя, домножим обе части уравнения на :

Теперь выполним обратную замену:

1. .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

.

Уравнение дробно-рациональное. Решим его:

ОДЗ:

Избавимся от знаменателя, домножим обе части уравнения на :

- входит в ОДЗ. 

Выполним проверку:

- верно.

2. 

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Уравнение дробно-рациональное. Решим его:

ОДЗ:

Избавимся от знаменателя, домножим обе части уравнения на :

- входит в ОДЗ. 

Выполним проверку:

 – верно.

Ответ: ; .

Пример

Решить уравнения:

1) .

2) .

Решение

1) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

,

,

,

,

,

Теперь выполним проверку.

:

 не определен, поэтому 3 не является корнем уравнения.

:

- верно

:

- верно

:

- верно

Ответ: ; ; .

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные определены:

, ,

, ,

, ,

Выполним проверку:

:

 и  не определены, поэтому 1 не является корнем уравнения.

:   

 не определен, поэтому 2 не является корнем уравнения.

:  

- верно.

Ответ: .

Решение иррациональных неравенств и систем иррациональных уравнений

Перейдём к решению иррациональных неравенств. Такие неравенства можно решать методом интервалов.

Пример

Решить неравенства:

1) ,

2) .

Решения

1) Привести неравенство к виду : .

Найти ОДЗ.

Неравенство содержит корень чётной степени, выражение под ним должно быть неотрицательным.

ОДЗ:

Найти нули, то есть найти корни уравнения .

Получаем иррациональное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Возведём обе части уравнения в квадрат.

Выполним проверку:

:               

- верно

:               

- неверно

Определить промежутки, на которые нули разбивают ОДЗ.

Получили два промежутка.

Определить знаки на каждом промежутке.

Сначала определим знак на промежутке . Возьмём точку из этого промежутка (например, ноль) и подставим в выражение .

:

Возьмём точку .

Записать ответ.

Так как нас просят найти решения неравенства , то нам подходят промежутки, на которых  принимает отрицательные значения (со знаком минус), и точки, в которых  (нули).

.

2) Решим неравенство методом интервалов.

Привести неравенство к виду 

.

Найти ОДЗ.

Неравенство содержит корень чётной степени, выражение под ним должно быть неотрицательным.

ОДЗ: 

Найти нули, то есть найти корни уравнения .

Возведём обе части уравнения в квадрат.

Выполним проверку:

:

- неверно

Определить промежутки, на которые нули разбивают ОДЗ.

Получили два промежутка.

Определить знаки на каждом промежутке.

Сначала определим знак на промежутке . Возьмём точку из этого промежутка, например, 7, и подставим в выражение .

:

Возьмём точку .

Записать ответ.

Так как мы ищем решения неравенства , то нам подходят промежутки, на которых  принимает положительные значения (со знаком плюс).

.

Рассмотрим решение систем иррациональных уравнений.

Пример

Решить системы:

1) ,

2) ,

3) .

Решение

1) Мы видим, что неизвестные в оба уравнения системы входят только под знаком квадратного корня. Это подсказка – выполнить замену: , в результате которой переменные ,  исчезнут, а получится система линейных уравнений относительно переменных  и :

.

Решим данную систему методом алгебраического сложения:

Выполняем обратную замену:

Осталось выполнить проверку и убедиться, что пара чисел  является решением исходной системы.

2) В системе у нас находятся корни разных степеней (2 и 4), но подкоренные выражения в обоих уравнениях попарно одинаковы. Это подсказывает нам привести корни к одной степени, а затем выполнить замену:

.

Замена: . Получаем систему: . Разложим второе уравнение системы по формуле разности квадратов: , и подставим во второе уравнение вместо . Получим: , или . Сложим уравнения системы: . Получаем: . Выполняем обратную замену: . Корень чётной степени принимает только неотрицательные значения, значит, второе уравнение системы не имеет решений, а значит, и вся система не имеет решений.

3) Воспользуемся известным нам методом решения иррациональных уравнений: возведём оба уравнения системы в квадрат.

, или .

Получили систему уравнений, которую мы уже умеем решать. Первое уравнение линейное, поэтому воспользуемся методом подстановки. Выражаем из первого уравнения  через  и подставляем во второе уравнение:

 .

Второе уравнение системы – неполное квадратное уравнение относительно , решаем его:

.

Получаем два корня: , или , то есть .

Подставляем полученные значения в первое уравнение системы и получаем пары решений:

,

,                                                 

Осталось выполнить проверку и подставить эти значения в исходную систему:

,     

- неверно, - верно

Таким образом, решением системы уравнений будет пара чисел (; ).

Системы иррациональных неравенств с одной переменной решаются так же, как и системы линейных неравенств: каждое из иррациональных неравенств решается отдельно (мы уже знаем, как это делать с помощью метода интервалов), а затем находится пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение иррациональных уравнений, неравенств и их систем.

На следующем уроке мы повторим и обобщим знания, полученные во второй теме нашего курса: «Уравнения и неравенства».

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) Иррациональные уравнения (алгебра, 8 класс, раздел «Квадратные уравнения. Продолжение») 

2) Иррациональные неравенства (алгебра, 11 класс, раздел «Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств») 

3) Метод интервалов 2 (алгебра, 11 класс, раздел «Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств») 

4) Системы и совокупности неравенств (алгебра, 11 класс, раздел «Уравнения и неравенства системы уравнений и неравенств»)