06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)

Линейные уравнения

Напоминание

Линейное уравнение – это уравнение вида , .

Линейное уравнение  имеет единственное решение .

Например:

Вспомним формулу для вычисления пути при равноускоренном движении из школьного курса физики: .

Предположим, что мы подбросили шарик вверх с начальной скоростью . При этом на него действует только сила тяжести (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем), поэтому его ускорение равно  и направлено к полу. Таким образом, путь, пройденный шариком за время , можно вычислить по формуле . Найдём время, через которое шарик находился на высоте (от точки броска):

А) 10 м

Б) 5 м

В) 3,75 м

Поскольку шарик двигается вертикально, то пройденный путь – это и есть высота, на которой находится шарик от точки броска.

Поэтому нам необходимо решить три уравнения:

Если перенести все слагаемые в каждом из этих уравнений в одну сторону, то получим квадратные уравнения.

Квадратные уравнения – это уравнения вида , .

Давайте попробуем решить каждое из этих уравнений.

А)

Видим, что все коэффициенты делятся на 5, поэтому разделим обе части уравнения на 5, получим: .

Выделим полный квадрат  или . Правая часть отрицательна, а левая часть всегда неотрицательна (квадрат). Значит, у уравнения нет решений.

На практике это означает, что шарик не поднимется на высоту 10 метров.

Б)

Видим, что все коэффициенты делятся на 5, поэтому разделим обе части уравнения на 5, получим: .

Можно опять выделять полный квадрат, а можно заметить, что в левой части стоит формула квадрата разности . То есть через 1 с шарик окажется на высоте 5 метров. Если проанализировать движение шарика, то мы знаем, что до определённого времени он будет лететь вверх, пока не полетит вниз. Значит, в каждой точке своей траектории (то есть на каждой высоте) шарик побывает дважды. Единственное исключение – верхняя точка. Поскольку на высоте 5 м шарик, по нашим расчётам, побывает только через 1 с (в один момент времени), то можно сделать вывод, что шарик поднимется на высоту 5 м.

В)

Разделим все коэффициенты на 5 (чтобы возле квадрата переменной был коэффициент 1 и было удобнее выделять полный квадрат): .

Выделяем полный квадрат  или .

То есть через 0,5 с (во время подъёма) и через 1,5 с (во время падения) шарик окажется на высоте 3,75 метров.

ВЕТКА. Формулы для корней квадратного уравнения

Рассмотрим произвольное квадратное уравнение:

, .

Поделим обе части уравнения на старший коэффициент (он не равен нулю):

.

Выделим в левой части полный квадрат  или .

Если правая часть меньше нуля, то уравнение действительных корней не имеет (квадрат не может быть отрицательным).

Если правая часть равна нулю, то уравнение имеет единственный корень, так как квадрат выражения равен нулю, только если само выражение равно нулю.

Наконец, если правая часть больше нуля, то уравнение имеет два различных корня.

Если посмотреть на правую часть, то знак дроби определяется исключительно числителем (так как в знаменателе стоит квадрат ненулевого числа, то есть заведомо положительное число).

Выражение в числителе получило название дискриминант: .

Соответственно, если , то уравнение действительных корней не имеет.

Если , то уравнение имеет один корень: .

Если , то два корня: .

Как видим, любое квадратное уравнение можно решить с помощью выделения полного квадрата.

Однако на практике для вычисления корней квадратного уравнения чаще используют уже готовую формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Рассмотрим квадратное уравнение . Выражение  обозначается  (называется дискриминантом), а решения записываются в следующем виде:

.

Из формулы видно, что возможны три случая:

1. Если , то действительных корней нет.

2. Если , то корень один, который вычисляется по формуле .

3. Если , то два корня, которые вычисляются по формуле .

Например: .

Находим дискриминант:

, значит, уравнение имеет 2 корня. Находим их по формуле.

Уравнения, которые встречаются в школьном курсе, обычно сводятся к квадратным или линейным, поэтому нужно попробовать эквивалентными преобразованиями привести уравнение к виду  или , .

Два основных эквивалентных преобразования для любых уравнений:

1) К обеим частям уравнения можно добавить одно и то же действительное число. Действительно,  – это действие можно выполнять и для уравнений. Частный случай этого преобразования: перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный.

2) Если домножить обе части уравнения на одно и то же действительное число, отличное от 0, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример

Решить уравнения:

1)

2)

3)

Решение

1) Раскрываем скобки.

Все слагаемые с  переносим в одну сторону, все слагаемые без  – в другую.

Приводим подобные слагаемые.

Эквивалентными преобразованиями мы свели уравнение к стандартному линейному. Решаем полученное линейное уравнение:

:

2) Раскрываем скобки.

В этом примере можно раскрыть скобки, используя формулы сокращённого умножения.

Тогда получаем следующее уравнение:

Все слагаемые с  переносим в одну сторону, все слагаемые без  – в другую.

Приводим подобные слагаемые.

Эквивалентными преобразованиями свели исходное уравнение к линейному.

:

3) Избавимся от знаменателей в левой и правой частях уравнения. Для этого домножим правую и левую части на общий знаменатель.

В знаменателях стоят числа 8, 12, 6. Наименьшее число, которое делится одновременно на эти числа, – 24. Домножим на 24 обе части уравнения:

Обратите внимание на то, что необходимо домножить каждое слагаемое в правой и левой частях.

Сокращаем полученные дроби.

Раскрываем скобки.

Все слагаемые с  переносим в одну сторону, все слагаемые без  – в другую.

Приводим подобные слагаемые.

Ветка. Второй способ решения

Поделим почленно обе части уравнения:

Пример

Сумма трех чисел равна 120, причем первое число на 20 меньше, а третье – в 1,5 раза больше, чем второе число. Найдите эти числа.

Решение

Давайте переформулируем условие задачи:

· первое число на 20 меньше, чем второе число, значит, ;

· третье число в 1,5 раза больше, чем второе число, значит, ;

· Сумма этих трех чисел равна 120, значит, .

Если второе число обозначить через , то получим следующее уравнение:

.

Решим составленное уравнение:

.

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а все без нее – в правую.

Приводим подобные слагаемые:

Значит, второе число - 40, первое число , третье число .

Пример

Решить уравнение с параметром .

1)

2)

Решение

1) Первое, что необходимо проверить, является ли уравнение линейным. Для этого коэффициент при  должен не равняться 0. Поэтому рассматриваем два случая:

• когда  (то есть );

• когда  (то есть ).

При  получаем . Данное равенство неверно при любых значениях . Уравнение не имеет решений.

При  получаем стандартное линейное уравнение, можем поделить обе части уравнения на :

Ответ: при  решений нет; при :   .

2) Сначала приведем уравнение к стандартному виду .

Раскроем скобки:

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и приведем подобные.

Так же, как и в предыдущем примере, рассмотрим два случая:

•  (то есть );

•  (то есть ) – получаем стандартное линейное уравнение.

При  получаем . Данное равенство неверно при любых значениях . Такое уравнение не имеет решений.

При  решаем стандартное линейное уравнение:

Ответ: при  решений нет; при :   .

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Уметь

• Эквивалентными преобразованиями приводить уравнения к виду линейных.

• Решать линейные уравнения.

Неполные квадратные уравнения

Напоминание

Квадратное уравнение – это уравнение вида , где .

Если хотя бы один из коэффициентов  или  равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Рассмотрим способы решения таких уравнений.

1) Если , , мы получаем уравнение .

1) При , : . Перенесем  в правую часть уравнения и поделим его на : .

 Если , то уравнение решений не имеет, так как квадрат числа всегда принимает неотрицательные значения.

Пример:  – решений нет.

Если , то уравнение имеет два решения: ; .

Пример:

.

2) При , : . Можем вынести общий множитель за скобки . Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равняется нулю, поэтому решений у нашего уравнения два:  или  (то есть  ).

Пример:

.

Пример

Решить уравнение:

.

Решение

Упростим левую часть – раскроем скобки.

Приведем подобные слагаемые и получим:

Получили неполное квадратное уравнение.

Для решения неполных квадратных уравнений необходимо следующее.

Уметь

Решать неполные квадратные уравнения.

Понимать

Выражение  всегда неотрицательно, то есть: .

Квадратные уравнения

Пример

Решить уравнения:

1)

2)

3)

Решение:

1) Общее решение квадратного уравнения: . Чтобы его найти, вычислим дискриминант. Для этого определим значение коэффициентов:

, значит, у уравнения 1 корень, вычисляем его:

.

2) Вычислим дискриминант. Для этого определим значение коэффициентов:

, значит, у уравнения действительных корней нет.

3) Упростим уравнение – раскроем скобки в левой и правой частях:

.

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые:

Совет: работать с отрицательным старшим коэффициентом (в данном случае ) не очень удобно. Поэтому лучше умножить обе части такого уравнения на (). В этом случае в левой части все знаки поменяются на противоположные, а в правой части ничего не изменится, так как .

Вычислим дискриминант.  Для этого определим значение коэффициентов:

, значит, у уравнения 2 корня, вычисляем их:

Пример

Решите уравнение с параметром :

.

Решение:

Квадратное уравнение с параметром решается так же, как и обычное. С небольшим отличием – параметр может принимать любые значения, поэтому, в зависимости от различных значений параметра, могут получаться разные значения дискриминанта.

По определению, данное уравнение будет квадратным в том случае, если его старший коэффициент не равен 0. Поэтому рассмотрим два случая:

1) ; ;

При  уравнение принимает следующий вид:

2) При  уравнение является квадратным. Решаем его так же, как и стандартное квадратное уравнение без параметра.

Находим дискриминант:

Квадрат принимает только неотрицательные значения, значит, , поэтому у уравнения будет один или два корня. Рассмотрим отдельно случай, когда дискриминант равен 0. Это выполнено при .

При  уравнение имеет 1 корень:

.

Теперь рассмотрим оставшийся случай, когда  и .

Уравнение имеет два корня (так как дискриминант положительный):

Модуль можно убрать, так как перед ним стоят оба знака (и плюс, и минус).

Ответ: при  и  уравнение имеет один корень ; при  и  уравнение имеет два различных корня , .

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

Формулы для корней квадратного уравнения.

Уметь

Выделять полный квадрат.

Понимать

Решить уравнение с параметром – означает найти, чему равен  при каждом значении параметра .

Задачи. Теорема Виета

Предположим, что мы знаем сумму и произведение чисел:

То есть ,  – корни уравнения .

Мы получили обратную теорему Виета, а именно: если  и , то  и  – корни квадратного уравнения .

С помощью обратной теоремы Виета можно выполнять действие, обратное к решению квадратного уравнения – восстанавливать квадратное уравнение по его корням.

Пример

Составить квадратное уравнение, корни которого равны:

1) -3 и 8;

2)  и .

Решение

1) -3 и 8

Воспользуемся обратной теоремой Виета. По условию, , , тогда получаем:

Итак, квадратное уравнение с корнями -3 и 8: .

2)  и

Воспользуемся обратной теоремой Виета. По условию, , , тогда получаем следующее:

Упрости левые части в обоих уравнениях:

Итак, квадратное уравнение выглядит следующим образом: .

Напоминание

Квадратный трёхчлен раскладывается на множители: , где ,  – корни квадратного уравнения: . Если у квадратного уравнения один корень (), то  – (ссылка на теор. справку).

Пример

Разложить на множители .

Решение:

Найдём корни уравнения .

Раскладываем на множители:

Пример

Сократить дробь:

1) ;

2) .

Решение:

1) Чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить на множители числитель. В числителе квадратный трехчлен, разложить его на множители можем по алгоритму из предыдущего примера.

Ищем корни уравнения .

Раскладываем на множители: .

Теперь сократим дробь:

.

2) Выражение в числителе  можно свернуть по формуле: .

Тогда получаем следующее:

Выражение в знаменателе можно разложить на множители по алгоритму из предыдущего примера.

Ищем корни уравнения .

Раскладываем на множители: .

Теперь сократим дробь: 

.

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

Обратную теорему Виета.

Как раскладывается на множители квадратный трёхчлен.

Уметь

Решать квадратные уравнения.

Обратная теорема Виета и её применение

Пример

Найти три последовательных целых числа, если удвоенный квадрат первого числа на 26 больше произведения второго и третьего чисел.

Решение:

Перепишем условие задачи по-другому.

Удвоенный квадрат первого числа можно записать как .

Произведение второго и третьего чисел можно записать как .

То, что удвоенный квадрат первого числа больше произведения второго и третьего чисел на 26, можно записать так:

Так как числа последовательные, второе число будет , а третье – .

Если обозначим через  первое из последовательных чисел, получим уравнение:

.

Мы получили обычное уравнение, которое можно привести к квадратному. Решаем полученное уравнение. Сначала его упростим. Раскроем скобки:

.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые:

.

Мы получили квадратное уравнение, для его решения вычислим дискриминант:

.

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

Значит, первое число среди трех последовательных чисел из условия задачи равно или 7, или -4.

То есть это или числа 7, 8, 9, или числа -4, -3, -2.

Напоминание

При решении квадратных уравнений часто возникает необходимость быстро вычислить сумму или произведение корней. Конечно, это можно сделать и в лоб – посчитать оба корня, а затем их перемножить или сложить. Однако это не всегда удобно (например, если корни квадратного уравнения получаются иррациональными). Поэтому для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения используют теорему Виета.

Если ,  – корни квадратного уравнения , то: .

Ветка. Доказательство теоремы Виета

Выпишем формулы для корней квадратного уравнения:

.

Тогда

Пример

Найти, при каком значении , корни уравнения  являются противоположными числами.

Решение:

Переформулируем условие задачи. Обозначим корни уравнения  и . По условию, корни являются противоположными числами, значит, их сумма равна 0: .

Но, по теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения: .

Получаем:

Пример

Пусть  и  – корни уравнения . Найти:

1) 

2)

3) 

Решение:

Если в задаче просят найти значение выражения, в котором есть  и , то, скорее всего, это задание на теорему Виета. В этом случае надо попытаться выделить в искомом выражении сумму и произведение корней.

Выпишем теорему Виета для квадратного уравнения:

1)

2)

Преобразуем выражение, приведём дроби к общему знаменателю и сложим:

Вычислим значение выражения:

3)

Это выражение тоже можно представить в виде комбинации суммы и произведения корней уравнения. Надо только понять, как это сделать.

Давайте перепишем условие задачи по-другому. Мы знаем, что , значит, . Нам удалось переписать выражение таким образом, что оно содержит только сумму и произведение корней. Значение суммы и произведения корней мы уже нашли по теореме Виета.

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

Теорему Виета.

Понимать

Если необходимо найти значение выражения, содержащего , , то, скорее всего, необходимо в этом выражении выделить  и , а затем применить теорему Виета.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение линейных и квадратных уравнений, теорему Виета и обратную к ней, а также разложение квадратного трёхчлена на множители.

На следующем уроке мы поговорим о том, что такое область допустимых значений (ОДЗ), о решении рациональных уравнений и уравнений высших степеней.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) Линейное уравнение с одной переменной (алгебра, 7 класс, раздел \"Математический язык. Математическая модель\")

2) Квадратные уравнения с параметром (алгебра, 8 класс, раздел \"Неравенства\")

3) Квадратные уравнения. Основные понятия (алгебра, 8 класс, рездел \"Квадратные уравнения, продолжение\")

4) Равносильность уравнений (продолжение) (алгебра, 11 класс, раздел \"Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств\")

5) Решение текстовых задач (математика, 2 класс, раздел \"Сложение и вычитание, устные приемы\")

6) Решение текстовых задач (математика, 1 класс, раздел \"Повторение\")

7) Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры (алгебра, 11 класс, раздел \"Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств\")

8) Квадратные уравнения. Повторение теории. Типовые задачи (алгебра, 8 класс, раздел \"Квадратные уравнения, продолжение\")

9) Теорема Виета (алгебра, 8 класс, раздел \"Квадратные уравнения, продолжение\")

10) Разложение квадратного трёхчлена на множители (алгебра, 8 класс, раздел \"Квадратные уравнения, продолжение\")