15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)

Логарифмические уравнения

Для решения логарифмических уравнений и неравенств нам понадобятся определение и свойства логарифмов.

Определение: .

Эквивалентная запись определения или основное логарифмическое тождество:

.

Свойства:

1)

2) для

3) для

4) Формула перехода к новому основанию: .

Рассмотрим логарифмическую функцию: .

Мы уже знаем её область определения: , так как показательное уравнение (урок «Логарифмы») не имеет решений при .

Рассмотрим графики логарифмической функции при основании, большем , и основании от до :

Графики иллюстрируют такие свойства логарифмической функции:

1) .

2) При функция монотонно возрастает на всей области определения (обратите внимание на сходство с показательной функцией).

При  функция монотонно убывает на всей области определения.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: . Нарисуем на координатной плоскости график логарифмической функции. Решением этого уравнения будет пересечение этого графика с горизонтальной прямой .

Мы видим, что при любом  данное уравнение имеет единственное решение (так как логарифмическая функция монотонна). Найти решение этого уравнения можно, используя определение логарифма: . Но можно использовать и метод, который мы применяли для решения простейших показательных уравнений, а именно: представить правую часть в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части: . И приравнять подлогарифмические выражения.

Рассмотрим пример: . Используя определение логарифма, получим: . Чтобы решить это же уравнение вторым способом, необходимо представить правую часть в виде логарифма с основанием . Как это сделать? Для этого используют универсальный метод, а именно: .

Тогда . То есть в общем виде: если мы хотим представить  в виде логарифма с основанием , то мы расписываем , то есть заменяем на  (урок «Логарифмы»). А дальше вносим множитель перед логарифмом в показатель степени (урок «Логарифмы»): .

Показательная функция  определена при всех значениях переменной. А логарифмическая  только при положительных: .

Поэтому при решении логарифмических уравнений необходимо помнить, что имеет смысл только при .

Таким образом, при решении логарифмических уравнений необходимо либо учитывать ОДЗ (проверять, входят ли полученные корни в него), либо в конце решения сделать проверку. Чаще всего выполнить проверку проще.

Любое более сложное логарифмическое уравнение решается «выливанием воды из чайника», то есть сведением его различными методами к простейшим. Этих методов немного, все они основаны на использовании определения и свойств логарифма. И все эти методы мы рассмотрели на прошлом уроке, выполняя преобразования выражений, содержащих логарифмы.

Таким образом, можно выделить следующие инструменты для решения логарифмических уравнений:

1) Сведение логарифмического уравнения к простейшему.

2) Решение простейшего логарифмического уравнения.

3) Проверка корней (подставить или проверить ОДЗ).

При решении простейших логарифмических уравнений могут возникать линейные, квадратные, иррациональные, показательные уравнения – то есть все те уравнения, которые мы уже умеем решать.

Перейдём теперь к использованию перечисленных инструментов на практике.

Простейшие логарифмические уравнения и сводящиеся к ним

Пример 1

Решить уравнение: .

Мы решаем простейшее логарифмическое уравнение. Используем определение логарифма: , откуда: . Выполняем проверку:

– верно.

Обратите внимание, что при проверке мы подставляем полученные значения переменной в исходное уравнение.

Ответ: . 

Пример 2

Решить уравнение: .

В левой и правой части стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, значит, можем приравнять подлогарифмические выражения:

Проверка: – верно.

Ответ: 4

Пример 3

Решить уравнение: .

Это не совсем обычное простейшее уравнение, так как в нём переменная находится в основании логарифма. Но это не должно вас пугать. Как и для обычного простейшего логарифмического уравнения, воспользуемся определением логарифма: . По определению корня, получаем: . Получили положительное число, не равное , – значит, оно может быть основанием логарифма.

Ответ: .

Пример 4

Решить уравнение: .

И снова не совсем обычное простейшее логарифмическое уравнение: переменная находится и в основании логарифма, и в подлогарифмическом выражении. Но суть решения от этого не меняется – используем определение логарифма: .

Выполняем проверку: – не подходит (основание логарифма не может быть отрицательным).

– верно.

Ответ: .

Пример 5

Решить уравнение: .

И снова используем определение логарифма: .

Получили показательное уравнение, которое мы уже умеем решать. Необходимо обе части привести к одному основанию: .

Проверка: – верно.

Ответ: .

Рассмотрим решение уравнений с использованием свойств логарифмов.

Пример 6

Решить уравнение: .

Необходимо свести это уравнение к простейшему. Это можно сделать двумя способами:

• перенести логарифм из правой части в левую: .

Откуда, используя свойства логарифмов: . Далее необходимо использовать определение логарифма.

• представить обе части в виде логарифмов с основанием .

Для этого воспользоваться рассмотренным ранее универсальным приёмом:  – и свойством логарифмов: . Далее можно приравнять подлогарифмические выражения.

При решении любым из способов получится:

Проверка: – верно.

Ответ: .

Пример 7

Решить уравнение: .

В левой части стоит сумма двух логарифмов с одинаковыми основаниями, поэтому сразу преобразуем её в логарифм произведения: . Получили простейшее уравнение, которое решаем, используя определение логарифма:

. 

Проверка:

– не подходит (под логарифмом не могут стоять отрицательные выражения).

 – подходит.

Ответ: .

Пример 8

Решить уравнение: .

Это уравнение можно сводить к простейшему по-разному. Поскольку в левой части стоит отношение двух логарифмов с одинаковыми основаниями, напрашивается использование формулы перехода к новому основанию: . Получили иррациональное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Но можно приводить к простейшему это же уравнение и по-другому, если воспользоваться правилом пропорции: . Чтобы получить слева десятичный логарифм (а затем приравнять подлогарифмические выражения), необходимо внести в показатель степени:

.

Проверка:

– не подходит.

 – подходит.

Ответ: .

Пример 9

Решить уравнение: .

Как и в заданиях на преобразование выражений с логарифмами, первым делом избавимся от показателей степени под логарифмами:

Проверка:  – верно.

Ответ: .

Если переменная встречается в уравнении в одном и том же выражении с логарифмом, то с помощью замены можно свести логарифмическое уравнение к одному из тех, которые мы уже умеем решать (дробно-рациональному, иррациональному, показательному и т. д.).

Пример 1

Решить уравнение: .

Видим, что переменная в уравнении встречается только в выражении . Поэтому с помощью замены  сводим уравнение к дробно-рациональному: .

Такие уравнения мы уже умеем решать: переносим влево и приводим все дроби к общему знаменателю: .

ОДЗ: 

Приравниваем числитель дроби к (знаменатель не равен ).

Обратная замена:

Проверка:

 – подходит.

 – подходит.

Ответ: .

Пример 2

Решить уравнение: .

Как и раньше, в первую очередь избавляемся от показателей степени под логарифмом: . Можем выносить чётную степень, так как  (ОДЗ первого логарифма).

Теперь переменная встречается только в выражении . Выполняем замену: .

Обратная замена:

. 

Проверка:

– подходит.

 – подходит.

Ответ: .

Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.

Знать

Определение и свойства логарифмов.

Уметь

Решать простейшие логарифмические уравнения.

Понимать

В конце решения логарифмических уравнений необходимо выполнить проверку или в начале решения проверить ОДЗ.

Системы логарифмических уравнений

Системы логарифмических уравнений решаются теми же методами, что и системы показательных уравнений (урок «Показательные уравнения, неравенства и их системы»).

Самые простые системы логарифмических уравнений – это системы, в которых оба уравнения сводятся к простейшим. В дальнейшем получается обычная система из двух уравнений с двумя неизвестными, которую мы уже умеем решать.

Пример такой системы: .

Ещё один тип систем логарифмических уравнений – это системы, которые сводятся к обычным с помощью замены. Пример такой системы: .

Пример 1

Решить систему уравнений: .

Как видим, оба уравнения являются простейшими, поэтому используем определение логарифма и получаем систему линейных уравнений:

Проверка: – подходит.

Ответ: .

Пример 2

Решить систему уравнений: .

Как видим, переменная  в системе встречается только в выражении , а переменная только в выражении , поэтому с помощью замены: , данная система сводится к системе линейных уравнений:

Проверка: – подходит.

Ответ: .

Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.

Знать

Определение и свойства логарифмов.

Уметь

Решать логарифмические уравнения.

Логарифмические неравенства

Для решения логарифмических уравнений мы использовали важное свойство логарифмической функции – монотонность. Если функция – монотонна, то уравнение имеет не более корня для любого . Это свойство показательной и логарифмической функции позволило нам сделать выводы о единственности решения уравнений:  и .

Рассмотрим теперь простейшее логарифмическое неравенство: . Под логарифмом должно стоять положительное выражение, поэтому ОДЗ: . Возможны два случая:

1) Для  график логарифмической функции выглядит следующим образом.

То есть  – монотонно возрастающая функция: чем больше , тем больше . Используя определение логарифма, получаем: . Если правая часть неравенства также представлена в виде логарифма, то . Необходимо также учесть то, что , но так как , то решением неравенства будет множество или .

2) Для  график логарифмической функции выглядит следующим образом.

 – монотонно убывающая функция: чем больше , тем меньше . Используя определение логарифма, получаем: . Если правая часть неравенства также представлена в виде логарифма, то . Необходимо также учесть то, что :  или .

Таким образом, в случае если основание логарифма больше , то при потенцировании знак неравенства не меняется, а если основание логарифма меньше , то меняется на противоположный.

Рассмотрим несколько примеров решения простейших логарифмических неравенств.

Пример 1

Решите неравенство .

ОДЗ: .

Основание логарифма в левой части , поэтому при потенцировании знак неравенства не меняется: .

С учетом ОДЗ: .

Ответ: .

Пример 2

Решите неравенство .

ОДЗ: .

Так как основание логарифмов меньше , при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: .

Учтем ОДЗ: .

Ответ: .

Общая схема решения любого логарифмического неравенства.

1) Проверить ОДЗ.

2) Свести неравенство к простейшему логарифмическому неравенству (теми же методами, что и логарифмические уравнения).

3) Решить простейшее логарифмическое неравенство.

4) Найти пересечение полученного решения с ОДЗ.

Таким образом, набор инструментов для решения логарифмических неравенств такой же, как и для логарифмических уравнений.

Научимся применять их на практике.

Пример 3

Решите неравенство .

Сначала выпишем ОДЗ исходного неравенства.

ОДЗ: .

Слева и справа стоят логарифмы с одинаковым основанием. Избавляемся от логарифмов с помощью потенцирования, при этом меняем знак на противоположный .

Находим пересечение полученного множества с ОДЗ.

Ответ: .

Пример 4

Решите неравенство .

Проверяем ОДЗ: . Потенцируем обе части неравенства (основание больше , поэтому знак неравенства не меняется).

Находим пересечение с ОДЗ.

Ответ: .

Пример 5

Решите неравенство .

Может показаться, что этот пример сложнее предыдущих, так как в левой части стоит логарифм от логарифма. Давайте заменим внутренний логарифм на некоторую переменную: . Тогда получаем: . То есть простейшее логарифмическое неравенство, которое мы уже умеем решать.

ОДЗ: .

Получаем: .

Теперь выполним обратную замену: . Выпишем ОДЗ: .

Потенцируем, сохраняя знаки, так как основание : . С учётом ОДЗ, получаем: .

Ответ: .

Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.

Знать

Определение и свойства логарифмов.

Уметь

Решать простейшие логарифмические неравенства.

Понимать

1) При потенцировании: если , то знак неравенства сохраняется, если , то знак неравенства меняется на противоположный.

2) Решение логарифмических неравенств нужно начинать с проверки ОДЗ.

Более сложные логарифмические неравенства

Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств.

Пример 1

Решите неравенство: .

Выпишем ОДЗ исходного неравенства: .  

В левой части стоит сумма логарифмов с одинаковыми основаниями, преобразуем её в логарифм произведения.

Решаем неравенство методом интервалов.

С учётом ОДЗ получаем ответ.

Ответ: .

Рассмотрим решение логарифмических неравенств с помощью замены.

Пример 2

Решите неравенство .

Выпишем ОДЗ исходного неравенства: .
 

Приведём логарифмы к одному основанию. Поскольку , то можем привести к основанию .

Теперь можем расписать логарифмы произведения и частного, используя свойства логарифмов:

Видим, что переменная встречается в неравенстве только в выражении .

Обратная замена: .

Учтем ОДЗ: 

Ответ: .

Рассмотрим решение логарифмических неравенств с переменной в основании.

Пример 3

Решите неравенство .

Здесь в ОДЗ необходимо также учесть, что основание логарифма должно быть больше и не равно : .

Это неравенство похоже на простейшее. С той лишь разницей, что в основании логарифма находится переменная. Поэтому при потенцировании возникают два случая: когда основание больше и когда основание меньше .

1) :

Так как :

2) :

Так как :

Ответ: .

Для решения подобных неравенств необходимо следующее.

Знать

Определение и свойства логарифмов.

Уметь

Решать простейшие логарифмические неравенства.

Системы логарифмических неравенств

Принцип решения любой системы неравенств, в том числе и логарифмических: решить каждое из неравенств по отдельности, а затем найти пересечение полученных множеств решений.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1

Решите систему неравенств .

Выпишем общее ОДЗ для всей системы (объединим ОДЗ обоих неравенств):

 ОДЗ: .

Каждое из таких неравенств мы уже умеем решать.

1) 

Замена: .

.

2) 

Получаем пересечение решений: . С учётом ОДЗ получаем, что решений нет.

Ответ: решений нет.

Для решения подобных неравенств необходимо следующее.

Знать

Определение и свойства логарифмов.

Уметь

1) Решать логарифмические неравенства.

2) Находить пересечение множеств решений неравенств.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение логарифмических уравнений, неравенств и их систем. На следующем уроке мы начнём изучение тригонометрии.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Логарифмические уравнения

2. Решение логарифмических уравнений

3. Решение логарифмических уравнений (продолжение)

4. Логарифмические неравенства

5. Решение логарифмических неравенств

6. Решение логарифмических уравнений (продолжение)

7. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения. Системы логарифмических уравнений. Теория

8. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения. Системы логарифмических уравнений. Практика

9. Логарифмические неравенства. Системы логарифмических неравенств. Теория

10. Логарифмические неравенства. Системы логарифмических неравенств. Практика