29. Математическая статистика (основной урок)

Среднее арифметическое, размах и мода

В жизни нам часто приходится работать с наборами данных. И для их анализа необходимы характеристики, позволяющие оценить весь набор.

Пример

За тему по математике ученик получил такие оценки: . Как оценить успеваемость ученика?

Одной из важнейших характеристик числового ряда является наиболее типичное значение для этого ряда, то есть число, которое в нём встречается чаще всего.

Определение

Мода – наиболее часто встречающееся в числовом ряду значение.

В примере, если посчитать количество оценок, получается: – , – , – . Модой будет число .

Если в ряду несколько чисел (например, ученик получил бы ещё одну ), которые встречаются наиболее часто, то моды у ряда нет. Но мода не всегда позволяет правильно охарактеризовать числовой ряд. В примере мода равна . Но говорить, что успеваемость ученика приблизительно (мода), неправильно.

Действительно, если у другого ученика в результате подсчёта оценок получилось: – , – , , то вывод должен был быть такой же. Но понятно, что первый ученик учится лучше второго.

Для того чтобы оценивать среднее значение набора величин, используется понятие среднего арифметического. По определению среднее арифметическое набора чисел – это сумма всех чисел, делённая на их количество: .

В примере: . А для второго ученика: . Как видим, среднее арифметическое даёт возможность более объективно сравнить успеваемость учеников.

Однако следует помнить, что «усреднение» (вычисление среднего арифметического) – не всегда правильно. Известная фраза об опасности таких действий: про «среднюю температуру по больнице» - из старого анекдота. Действительно, если у одного человека температура , а у другого , то они оба нездоровы, хотя в среднем их температура равна . Этот пример показывает, что очень часто «усреднение» без учёта конкретных параметров является ошибочным и не несёт в себе никакого смысла.

Моду ряда обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских рубашек, проданных в определённый день в супермаркете, то удобнее пользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить в этом случае среднее арифметическое не имеет смысла.

Среднее арифметическое может не совпадать ни с одним из значений, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Кроме того, мода относится не только к числовым данным. Проведя опрос среди учащихся, можно определить, каким видом спорта они предпочитают заниматься и т. п. Модой будут служить те ответы, которые встречаются чаще всего. Отсюда и название.

Кроме среднего арифметического и моды, для анализа набора данных может служить «разброс» величин. В любом конечном множестве есть максимальный и минимальный элементы (возможно, несколько одинаковых).

Определение

Разность между наибольшим и наименьшим значением данных в наборе называется размахом.

Размах позволяет оценить разброс данных в ряду. Например, если в течение дня каждый час измеряли температуру в городе и получили следующие данные: , то размах температур равен . То есть температура в течение дня была в диапазоне длиной градуса.

Пример

Чему равно среднее значение выборки ?

Решение

Среднее значение выборки – это отношение суммы всех элементов к их количеству.

Пример

Участник конкурса получил от жюри конкурса следующие оценки по 12-балльной шкале: . Какую оценку он должен получить от шестого члена жюри, чтобы средний балл равнялся ?

Решение

Среднее значение выборки – это отношение суммы всех элементов к их количеству.

Пример

Найти среднее арифметическое, размах и моду следующего ряда: .  

Решение

Размах: .

Мода: .

Среднее арифметическое: .

Пример

Средний рост учеников равен см, а средний рост из них – см. Чему равен средний рост оставшихся ?

Решение

Средний рост учеников равен , значит, сумма их ростов равна см. А сумма ростов из них равна см. Значит, сумма ростов оставшихся пяти учеников равна см, то есть их средний рост равен см.

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Определение моды, размаха и среднего арифметического

Понимать

Если в числовом ряду два и более чисел встречаются одинаковое количество раз и наиболее часто, то моды у числового ряда нет.

Медиана

В таблице показано количество отличников по параллелям одной из школ.

Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд: 9, 10, 11, 12, 15, 16, 16, 18, 18, 20, 22.

В полученном ряду чисел. В середине расположено число , слева и справа от него по чисел. Говорят, что – это медиана рассматриваемого числового ряда чисел (от латинского слова mediana – «среднее»). Если бы в ряду было чётное количество чисел, то центральных элементов было бы . В этом случае медианой бы было среднее арифметическое этих двух центральных элементов.

Например, если оценки за тему по математике: , тогда: . Хотя и не является членом ряда, но разбивает его на две одинаковые по численности группы: по чисел.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по-разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Поэтому на практике при анализе данных, в зависимости от конкретной ситуации, используют либо все показателя, либо некоторые из них.

Например, если анализируются сведения о результатах сдачи ЕГЭ по математике в школах города, то удобно использовать все три показателя. Среднее арифметическое – средний уровень сдачи ЕГЭ по математике среди школ города. Мода будет показывать типичный результат сдачи ЕГЭ по математике. Медиана позволит определить школы, которые сдали ЕГЭ по математике ниже типичного показателя.

Если изучаются данные о размерах мужской обуви, проданной в определённый день в магазине, то удобно вычислить моду – размер, пользующийся наибольшей популярностью. Находить среднее арифметическое и медиану при этом не имеет смысла.

Пример

Дана выборка . Найдите медиану этой выборки.

Решение

В данной выборке  – нечётное, поэтому медианой будет являться центральный элемент упорядоченной выборки. Тогда медиана данной выборки – .

Пример

На предприятии вели ежедневный учёт поступивших в течение месяца писем. В результате получили:
.

Для полученного ряда данных найти среднее арифметическое, размах, моду и медиану. Каков их смысл?

Решение

Размах: максимальное значение – , минимальное значение – , размах:  – разброс в количестве получаемых за день писем.

Для простоты подсчётов упорядочим ряд:

.

Моды в данном ряду нет, так как и встречаются одинаково часто – по раза.

Медиана – центральный элемент – равна .

Среднее арифметическое: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Определение медианы

Уметь

Находить медиану ряда данных

Понимать

Прежде чем находить медиану ряда, его необходимо упорядочить

Статистические данные

Для изучения различных явлений и процессов проводятся специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения. Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты группировки сводят в таблицы.

Пример

Администрация школы решила проверить математическую подготовку одиннадцатиклассников в преддверие ЕГЭ по математике. С этой целью был составлен тест, содержащий заданий. Работу выполняли учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел:

.

Для того чтобы удобно было анализировать полученные данные, упорядочим этот ряд:

.

Представим полученные данные в виде таблицы, в которой для каждого числа верно число выполненных заданий, записанное в верхней строке, укажем в нижней строке количество появлений этого числа в ряду, то есть частоту.

Такую таблицу называют таблицей частот.

В рассмотренном примере сумма частот равна общему числу проверяемых работ, то есть . Вообще, если результат исследования представлен в виде таблицы частот, то сумма частот равна общему числу данных в ряду. При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются среднее арифметическое, мода, медиана, размах. Чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно выполненных заданий разделить на число учащихся, то есть на . Получаем . Значит, в среднем учащиеся выполнили по заданий, т. е. примерно две трети общего объема работы.

Наибольшее число верно выполненных учащимися заданий равно , а наименьшее равно . Значит, размах ряда равен , то есть различие в числе верно выполненных заданий достаточно велико. Из таблицы ясно, что чаще всего встречаются работы, в которых верно выполнено заданий, то есть мода ряда равна .

Найдем медиану ряда. Так как в ряду всего чисел, то медиана равна среднему арифметическому и членов соответствующего упорядоченного ряда. Значит, медиана ряда равна .

В рассмотренном примере для анализа результатов выполнения теста учащимися была составлена таблица частот. Иногда составляют таблицу, в которой для каждого данного указывается не частота, а отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это отношение, выраженное в процентах, называют относительной частотой, а саму таблицу — таблицей относительных частот.

В примере общая численность совокупности — это число учащихся, писавших работу, то есть . Таблица относительных частот выглядит следующим образом:

Если в ряду имеется большое число данных и одинаковые значения встречаются редко, то таблицы частот или относительных частот становятся излишне громоздкими. В таких случаях для анализа данных строят интервальный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно ) и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. За начало первого интервала часто выбирают наименьшее данное или ближайшее к нему целое число, расположенное левее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал, или выраженное в процентах отношение этого числа к общей численности совокупности. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу.

Для анализа результатов ЕГЭ в городе составили такую таблицу распределения баллов:

Пользуясь составленной таблицей, найдем средний балл ЕГЭ. Для этого составим новую таблицу частот, заменив каждый интервал числом, которое является его серединой. Получим:

Для полученного ряда данных найдем среднее арифметическое: . Значит, средний результат сдачи ЕГЭ по математике – балла.

В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным. При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выбирается определенная ее часть, т.е. составляется выборочная совокупность (выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной, или, как говорят, репрезентативной, то есть отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.

Пусть, например, в ходе кампании по выборам мэра в городе с населением тыс. хотят узнать, кто из кандидатов имеет наибольшие шансы на успех. Для этого проводят опрос, например, полутора тысяч избирателей, в ходе которого выясняется, за кого они собираются голосовать. При этом нельзя опрашивать только молодых избирателей или только пенсионеров, так как это может привести к неправильным выводам. Необходимо, чтобы среди опрашиваемых было примерно одинаковое число мужчин и женщин. Кроме того, должны быть представлены люди с разным социальным положением и образованием.

Выборочное исследование проводят также и тогда, когда проведение сплошного исследования связано с порчей или уничтожением продукции. Например, при исследовании продолжительности горения партии электроламп, выпущенных заводом, невозможно проверить всю партию, так как это просто привело бы к ее уничтожению.

Пример

Определяя степень засорённости цветочных семян, выясняли, сколько семян сорных растений содержится в каждом из произвольных образом выбранных пакетов с одинаковым числом семян. Получили:

Найти среднее арифметическое и моду.

Решение

Мода равна (больше всего пакетов – ). Среднее арифметическое: .

Наглядное представление статистических данных

Для наглядного представления данных, полученных в результате статистического исследования, широко используются различные способы их изображения. Одним из хорошо известных вам способов наглядного представления ряда данных является построение столбчатой диаграммы.

Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистического исследования.

В таблице показан расход электроэнергии (с точностью до ) некоторой семьей в течение года.

Пусть, например, на основе изучения вопроса о количестве специальностей, на которые одиннадцатиклассники планируют подавать заявление, была составлена таблица.

Соответствующая столбчатая диаграмма построена на рисунке. Высота каждого столбца (при выбранном масштабе) равна частоте, с которой в ряду данных встречается указанное количество одиннадцатиклассников.

Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы. Если результат статистического исследования представлен в виде таблицы относительных частот, то для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определенным для каждой группы данных.

Заметим, что круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность лишь при небольшом числе частей совокупности. В противном случае ее применение малоэффективно.

Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют полигоном.

Имеются, например, следующие данные о количестве сотрудников, работающих на предприятии в первом полугодии (по месяцам).

Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте (или относительной частоте). Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

Решение различных задач

В таблице приведено распределение оценок, полученных учениками класса за контрольную работу по алгебре.

Найдите относительную частоту, которая соответствует оценке баллов.

Решение

Относительная частота равна отношению количества повторения элемента выборки к общему количеству элементов выборки, умноженному на .

Оценка баллов встречается раза, всего полученных оценок – .

Пример

В школе измерили рост шестиклассников с точностью до см. Результаты измерений изобразили в виде столбчатой диаграммы.

Укажите моду данной выборки.

Решение

Мода выборки – это значение, которое встречается наиболее часто. Из диаграммы видим, что рост см у шестиклассников, см – у , см – у , см – у . Значит, мода данной выборки см.

Пример

На графике, изображенном на рисунке, показаны объемы продаж пирожков в школьном буфете на протяжении одной недели. Сколько в среднем продавали пирожков за один день?

Решение

В понедельник – пирожков, во вторник – , в среду – , в четверг – , в пятницу – , тогда в среднем: .

Пример

В ряду пропущено два числа, одно из которых в два раза больше другого. Найдите эти числа, если известно, что среднее арифметическое равно .

Решение

Обозначим эти числа и  (порядок не важен – возможны два варианта). Используя определение среднего арифметического: .

Получаем два варианта: или .

Пример

В ряду данных, состоящем из чисел, наибольшее число увеличили на . Как изменится при этом: а) среднее арифметическое; б) размах; в) мода; г) медиана?

Решение

А) Среднее арифметическое: . После увеличения: , то есть увеличилось на .

Б) Размах: , то есть увеличился на .

В) Мода: неизвестно. Например, если ряд был: , то станет . Моды не было, а стала равна . А могла не измениться: и, соответственно, .

Г) Медиана: не изменилась, так как наибольший элемент как был последним в упорядоченном ряду, так и останется последним после увеличения.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели некоторые элементы математической статистики. На следующем уроке мы повторим решение основных примеров по всему курсу алгебры.

Ссыл­ки на уроки Ин­тер­не­ту­ро­ка по рас­смот­рен­ным темам:

1. Ста­ти­сти­че­ская об­ра­бот­ка дан­ных (Ал­геб­ра, 11 класс, раз­дел \"Эле­мен­ты ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки-ком­би­на­то­ри­ки и тео­рии ве­ро­ят­но­сти\")

2. Эле­мен­ты ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки (Ал­геб­ра, 9 класс, раз­дел \"Эле­мен­ты ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки-ком­би­на­то­ри­ки и тео­рии ве­ро­ят­но­сти\")