29. Математическая статистика (основной урок)

Среднее арифметическое, размах и мода

Мода – наиболее часто встречающееся в числовом ряду значение.

Если в ряду несколько чисел, которые встречаются наиболее часто, то моды у ряда нет. Моду ряда обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель (например, размер мужских рубашек, проданных в определённый день в супермаркете, пользующийся наибольшим спросом). Мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда.

Чтобы оценивать среднее значение набора величин, используется понятие среднего арифметического. Среднее арифметическое набора чисел – это сумма всех чисел, делённая на их количество: . Среднее арифметическое может не совпадать ни с одним из значений числового ряда.

Разность между наибольшим и наименьшим значением данных в наборе называется размахом. Размах позволяет оценить разброс данных в ряду.

Медиана

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине.

Медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Статистические данные

Для изучения различных явлений и процессов проводятся специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения. Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы, а результаты группировки сводят в таблицы.

Рассмотрим такой пример. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел:

Представим полученные данные в виде таблицы (такую таблицу называют таблицей частот), в которой для каждого числа верно выполненных заданий, записанного в верхней строке, укажем в нижней строке частоту:

Частота – количество появлений того или иного элемента в числовом ряду.

Если результат исследования представлен в виде таблицы частот, то сумма частот равна общему числу данных в ряду.

Иногда составляют таблицу, в которой для каждого данного указывается не частота, а отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это отношение, выраженное в процентах, называют относительной частотой, а саму таблицу – таблицей относительных частот. Таблица относительных частот выглядит следующим образом.

Если в ряду имеется большое число данных и одинаковые значения встречаются редко, то в таких случаях для анализа данных строят интервальный ряд.

Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно 5–10) и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. За начало первого интервала часто выбирают наименьшее данное или ближайшее к нему целое число, расположенное левее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал, или выраженное в процентах отношение этого числа к общей численности совокупности. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу.

Например, для анализа результатов ЕГЭ в городе составили такую таблицу распределения баллов:

В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным.

При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выбирается определенная ее часть, т.е. составляется выборочная совокупность (выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной (или, как говорят, репрезентативной), т.е. отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.

Наглядное представление статистических данных

Для наглядного представления данных, полученных в результате статистического исследования, широко используются различные способы их изображения.

Способы наглядного представления статистических данных:  

• Столбчатая диаграмма используется тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистического исследования.

• Круговая диаграмма используется для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности. Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность лишь при небольшом числе частей совокупности.

• Полигон. Для его построения отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют полигоном. Используется, чтобы проиллюстрировать динамику изменения статистических данных во времени.

• Гистограмма изображает интервальные ряды данных. Она представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте. В гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.