01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)
58 мин
02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)
1 ч 4 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
36 мин
04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)
1 ч 5 мин
05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика
55 мин
06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)
50 мин
07. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения высших степеней. Практика (основной урок)
40 мин
08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)
55 мин
09. Решение текстовых задач (основной урок)
39 мин
10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)
46 мин
11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
43 мин
12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)
40 мин
13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
1 ч 17 мин
14. Логарифмы. Практика (основной урок)
1 ч 9 мин
15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)
59 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
49 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
1 ч 7 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
1 ч 15 мин
19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)
1 ч 30 мин
20. Функции. Свойства функции (основной урок)
49 мин
21. Виды функций. Графики функций (основной урок)
1 ч 0 мин
22. Производная (основной урок)
54 мин
23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)
43 мин
24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)
44 мин
25. Интеграл (основной урок)
42 мин
26. Промежуточный срез №4. Повторение
42 мин
27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)
1 ч 23 мин
28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)
55 мин
29. Математическая статистика (основной урок)
28 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
1 ч 43 мин
31. Основы планиметрии (основной урок)
55 мин
32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)
41 мин
33. Решение треугольников (основной урок)
39 мин
34. Четырехугольники (основной урок)
1 ч 15 мин
35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)
47 мин
36. Практика по планиметрии (основной урок)
48 мин
37. Промежуточный срез № 6. Повторение
34 мин
38. Основы стереометрии
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
34 мин
40. Углы в геометрических телах
23 мин
41. Площади поверхности и объемы геометрических тел
50 мин
42. Решение задач по стереометрии
25 мин
43. Векторы и координаты. Ч.1
35 мин
44. Векторы и координаты. Ч.2
31 мин
45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)
42 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
Видео доступно после авторизации
Обратные тригонометрические функции
Множество решений уравнения может быть разным. Например, уравнение имеет два решения: . Уравнение имеет решением всю числовую ось. Рассмотрим решение простейшего тригонометрического уравнения , .
Мы знаем, что синус – периодическая функция, то есть её значения повторяются через каждые . Значит, чтобы найти все решения уравнения , , достаточно найти множество решений этого уравнения на одном периоде: , а все остальные решения будут получаться от этих на целое число периодов : , , так как: . Таким образом, множество решений уравнения , будет бесконечным, но счётным (то есть все решения можно занумеровать натуральными числами).
Ветка. Примеры периодических зависимостей
Мы видим бегуна на стадионе, который находится на 100 м от старта. Что можно сказать о том, сколько он пробежал? Очевидно, (полный круг – 400 метров, но, сколько кругов бегун уже пробежал, мы точно не знаем).
Если человек родился 15 мая, то 15 июля ему месяцев. Опять же, не зная год рождения, определить точный возраст мы не можем.
Если мы видим только последнюю цифру целого двузначного числа, скажем 6, то число равно , где может быть 1, 2…9.
Если мы не знаем, сколько знаков в числе, то оно может быть любым из множества , где – любое натуральное.
Мы видим часы, показывающие 11 часов. Что мы можем сказать о времени?
Если мы не знаем время суток (утро или вечер), то возможны два множества решений: 11 утра+24, 11 вечера+24… При этом без дополнительных данных мы не можем сказать – 11 утра 20 сентября, 23 августа или 30 декабря.
Итак, для решения уравнения , сузим область поиска до одного периода, например: .
Мы знаем, что синус принимает значения от -1 до 1. Рассмотрим график синуса, чтобы понять, на каком промежутке можно установить однозначное соответствие между аргументами и значениями синуса.
В качестве такого промежутка можно взять , на нём синус принимает все значения от -1 до 1, причём по одному разу.
Рассмотрим решение уравнения на промежутке . Для некоторых значений найти соответствующий аргумент мы можем по таблице значений. Например: на промежутке при .
А что делать, если значения синуса нет в таблице? Как мы уже знаем, соответствующий угол можно найти по таблице Брадиса (с нужной степенью точности). А как записать математически точно решение уравнения, например, ?
Обозначим решение уравнения на промежутке : , то есть введём обратную тригонометрическую функцию: , , .
Тогда, к примеру, .
Аналогичным образом вводится функция . Для функции, обратной косинусу, мы выбрали другую область значений, так как на ней косинус принимает все значения , причём по одному разу.
График косинуса
Введём также функции , .
Графики тангенса, котангенса
Рассмотрим теперь более подробно свойства обратных тригонометрических функций.
Ветка. Графики обратных тригонометрических функций
Построим графики обратных тригонометрических функций, используя то, что они симметричны графикам тригонометрических функций относительно прямой и учитывая их ООФ и ОЗФ.
Графики арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса
1)
2)
Свёртка
Доказательство
,
,
,
,
Доказательство второго свойства выполняется аналогично.
2) , , ,
Свёртка. Доказательство свойства
Для арксинуса и арктангенса это свойство следует из нечётности функции (графики функций симметричны относительно начала координат).
Графики арксинуса и арктангенса
Для арккосинуса:
Аналогично для арккотангенса
3) , , ,
,
,
,
.
Свёртка. Доказательство свойства
Воспользуемся определением арксинуса:
Подставим правое равенство в левое, получим первую формулу. Так как, по определению арксинуса, его значения лежат в промежутке , а , то формула верна при всех допустимых значениях переменных.
Для доказательства второй формулы подставим левую формулу в правую и с учётом наложенных ограничений получим вторую часть свойства.
Аналогично доказываются формулы для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Рассмотрим несколько примеров на преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.
1. Найти значение выражений ,
Решение:
Поскольку в обоих случаях мы видим комбинацию прямой и обратной тригонометрических функций, то необходимо использовать третье свойство:
Получаем, что .
Так как по определению арксинус принимает значения на промежутке , то для преобразования второго выражения аргумент должен находиться в указанном промежутке.
В нашем примере 4 в нём не лежит. Как поступать в этом случае? Мы уже говорили о том, что синус принимает все возможные значения на промежутке , причём ровно 1 раз. Значит, есть такое значение : . Если мы его найдём, то: .
Чтобы найти такое , оценим, в каком промежутке находится аргумент: . Значит, чтобы , аргумент необходимо уменьшить на (напомним, что от аргумента можно вычитать , , при этом значение функции не меняется, может измениться только знак.
Получаем: , получаем: .
2. Найти значение выражений , Решение:
Согласно первому свойству, . Значит, .
Отметим, что мы свели задачу к предыдущей: после использования первого свойства нам необходимо вычислить значение обратной функции от прямой, что мы делали в предыдущем примере.
Рассмотрим первое выражение: . Обозначим: . Перепишем условие: (по первому свойству), а необходимо найти .
Такие задачи мы уже решали на прошлом уроке, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и косинус: . Получаем: . Осталось определить знак. Мы знаем область значений арккосинуса: .
3. Построить графики функций: ,
Прежде чем строить графики функций выпишем ОДЗ функций.
:
:
Получаем по третьему свойству: .
По третьему свойству при : .
По аналогии с первым примером: : . И т.д.
Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.
Знать
Определение и свойства обратных тригонометрических функций.
Уметь
Преобразовывать тригонометрические выражения.
Понимать
Обратные тригонометрические функции принимают значения на определённых промежутках. При этом арксинус и арккосинус определены только при значениях аргумента от -1 до 1, а арктангенс и арккотангенс при любых значениях аргумента.
Простейшие тригонометрические уравнения
Мы рассмотрели решение уравнения () на промежутке . В этом случае . Однако мы знаем, что для того чтобы выписать множество всех решений уравнения (), необходимо найти все его решения на одном периоде ().
Отметим корни данного уравнения на тригонометрической окружности.
Видим, что для на одном периоде два корня: , .
Например, : ; .
Поэтому решением уравнения будет две серии: и .
Эти две серии удобнее записать в одну: , .
Для случая : , .
Для случая : , .
Для случая : решений нет.
Для уравнения :
: ;
Получаем две серии решений: ; .
Их обычно объединяют в одну: , .
Для случая : , .
Для случая : , .
Для случая : , .
Для случая : решений нет.
Для уравнений , будет только одна серия решений, так как тангенс и котангенс на периоде каждое значение принимают ровно 1 раз, поэтому , , .
| ||||
Решений нет | ||||
Решений нет | ||||
Запоминать эти формулы необязательно. Их можно вывести, используя тригонометрическую окружность или график тригонометрической функции.
Рассмотрим примеры.
1. Решить уравнение: а) ; б) ; в) ; г)
а) , ;
б) , т.к.
, ;
в) , т.к. , ;
г) .
Поскольку , что не лежит в области значений функции, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ. а) , ; б) ; в) ; г) решений нет.
Замечание. Иногда в задачах на решение тригонометрических уравнений и их систем требуется найти не все решения, а выбрать только некоторые из них, которые лежат в определенном промежутке. Рассмотрим такой тип заданий на примере уравнения «в».
Дополнительная задача к пункту «в». Указать количество корней уравнения , которые принадлежат промежутку и перечислить их.
Общее решение нам уже известно: , .
Для того чтобы указать корни, принадлежащие указанному промежутку, их необходимо по очереди выписать, подставляя конкретные значения параметра . Подставлять будем целые числа, начиная с , т.к. корни нас интересуют из диапазона, который близок к нулю.
:
:
При подстановке мы получим еще большее значение корня, поэтому нет смысла этого делать. Теперь подставим отрицательные значения:
:
Подставлять по тем же соображениям не имеет смысла. Следовательно, мы нашли единственный корень уравнения, который принадлежит указанному диапазону.
Ответ: ; указанному диапазону принадлежит одно значение корня уравнения.
Уравнения со сложным аргументом
Рассмотрим уравнения, которые сводятся к простейшим с помощью замены аргумента.
2. Решить уравнение
Уравнения такого вида легко свести к простейшим с помощью замены аргумента.
Выполним замену:. Получим простейшее тригонометрическое уравнение, которое мы уже умеем решать: , .
,
Теперь выполним обратную замену.
,
,
,
Ответ: , .
Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.
Знать
Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
Уметь
1) Решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью тригонометрической окружности и графиков тригонометрических функций.
2) Выполнять замену аргумента для сведения уравнения к простейшему.
Различные тригонометрические уравнения
Метод решения любого тригонометрического уравнения состоит в том, чтобы различными способами свести это уравнение к простейшему (или нескольким простейшим).
Для этого у нас есть следующие инструменты.
• Стандартные методы решения уравнений, которые мы уже много раз использовали:
1) Разложение на множители: .
2) Замена переменных.
• Специальные методы решения тригонометрических уравнений – то есть те методы, которые можно использовать только для решения тригонометрических уравнений. Эти методы основаны на использовании свойств тригонометрических функций, а также на использовании различных тригонометрических формул и тождеств.
Рассмотрим решение различных тригонометрических уравнений на конкретных примерах.
1. Решить уравнение
Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель.
,
Выполним замену : , т.к. , , .
Выполняем обратную замену.
,
,
Обратите внимание: при записи общей формулы корней второго уравнения мы используем другую переменную . Это связано с тем, что мы решаем совокупность независимых уравнений, поэтому в них необходимо использовать независимые переменные. В результате получаем два независимых семейства решений.
Ответ: , ; , .
2. Решить уравнение
Мы видим, что в обеих частях уравнения стоит произведение тригонометрических функций, но общих множителей среди них нет.
Поскольку известными нам общими методами решить данное уравнение не получается (общий множитель вынести не получается, замену также подобрать не удаётся), то необходимо использовать специальные методы, то есть использовать тригонометрические формулы.
В обеих частях стоит произведение синусов, поэтому напрашивается использование формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму .
Воспользуемся четностью косинуса и приведём подобные слагаемые: .
Перенесем все в одну сторону и воспользуемся формулой разности косинусов .
В принципе это уже окончательный ответ. Однако его можно записать компактнее в виде одного семейства решений, а не двух. Заметим, что при значения переменной из первой серии совпадает со значениями переменной из второй серии. Таким образом, второе семейство корней входит в первое, и итоговый ответ можно записать как , .
Ответ: , .
3. Решить уравнение
Одно из общих правил решения тригонометрических уравнений – попробовать уменьшить количество различных тригонометрических функций.
В данном случае в левой части стоит квадрат косинуса, который можно выразить через синус с помощью основного тригонометрического тождества: . Подставим в уравнение: .
Поскольку теперь неизвестная встречается только в выражении , то с помощью замены , можно свести уравнение к квадратному: .
Решаем квадратное уравнение: .
Выполним обратную замену: .
Первое уравнение не имеет решений, т.к. синус не может быть меньше -1. Из второго уравнения получаем: , .
Ответ: , .
4. Решите уравнение
Мы уже встречались с похожими уравнениями. Действительно, если выполнить замену , то получим однородное уравнение: .
Поделим обе части уравнения на .
Заменим : .
Выполняем обратную замену : .
Давайте теперь отдельно рассмотрим случай, когда .
Тогда исходное уравнение имеет вид: .
Поскольку синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно обращаться в ноль, не является решением уравнения, значит, .
Ответ: , , , .
Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.
Знать
1) Тригонометрические формулы.
2) Методы решения уравнений (вынесение общего множителя, замена переменных).
Уметь
1) Решать простейшие тригонометрические уравнения.
2) Находить корни уравнения, принадлежащие данному промежутку.
Системы тригонометрических уравнений
Методы решения систем тригонометрических уравнений такие же, как и любых других систем уравнений: метод подстановки, умножения/сложения, замены переменных и т.п.
Кроме этих методов, могут понадобиться тригонометрические формулы для преобразования выражений, входящих в уравнение системы.
Рассмотрим примеры.
1. Решить систему уравнений .
Первое уравнение линейное, поэтому решаем систему методом подстановки:
.
Решаем второе уравнение: . Используя дополнительный аргумент, получаем в левой части:
,
, .
Подставим полученное решение в выражение для :
, .
В данном случае мы используем одну и ту же переменную для обоих семейств решений, т.к. они зависимы друг от друга.
Ответ: , ; , .
2. Решить систему уравнений
Оба уравнения в системе являются частными случаями простейших уравнений, мы умеем их решать, и система сводится к линейной: .
Параметры в обоих уравнениях различны, т.к. мы решаем уравнения независимо друг от друга.
Решаем систему: , , .
Обратите внимание на запись решения системы, когда переменные зависят одновременно от двух параметров. Для того чтобы выписать численные значения корней - в таком случае подставляются по очереди все целые значения параметров и , которые не зависят друг от друга.
Ответ: ; , , .
Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.
Знать
1) Тригонометрические формулы.
2) Методы решения систем уравнений.
Тригонометрические неравенства и их системы
Простейшие тригонометрические неравенства – это неравенства вида . Вместо синуса может стоять любая тригонометрическая функция, а знак неравенства также может быть любым.
Существуют формулы для решения простейших тригонометрических неравенств, однако они слишком громоздкие и сложные. Поэтому научимся решать простейшие тригонометрические неравенства с помощью тригонометрической окружности и графиков тригонометрических функций.
1. Решить неравенство
Изобразим на тригонометрической окружности горизонтальную линию, соответствующую значению синуса равному , и покажем промежуток углов, удовлетворяющих неравенству.
Очень важно понять, как именно указывать полученный промежуток углов, т.е. что является его началом, а что – концом. Началом промежутка будет угол, соответствующий точке, в которую мы попадём в самом начале промежутка, если будем двигаться против часовой стрелки. В нашем случае это точка, которая находится слева, т.к., двигаясь против часовой стрелки и проходя правую точку, мы, наоборот, выходим из необходимого промежутка углов. Правая точка будет, следовательно, соответствовать концу промежутка.
Теперь необходимо понять значения углов начала и конца нашего промежутка решений неравенства. Чтобы интервал начинался с угла правой точки, а заканчивался углом левой точки, необходимо, чтобы первый указанный угол был меньше второго. Для этого угол правой точки нам придется отмерять в отрицательном направлении отсчета, т.е. по часовой стрелке – и он будет равен . Тогда, начиная движение с него в положительном направлении по часовой стрелке, мы попадем в правую точку уже после левой точки и получим для нее значение угла . Теперь начало промежутка углов меньше конца , и мы можем записать промежуток решений без учета периода: .
Общее решение с учетом периода синуса : , .
Круглые скобки ставим из-за того, что неравенство строгое, и точки на окружности, которые соответствуют концам промежутка, мы выкалываем.
Ответ: , .
2. Решить неравенство
Ответ: , .
3. Решить неравенство
Ответ: , .
4. Решить неравенства: а) ; б)
Ответ: а) решений нет; б) .
5. Решить неравенство
Как и в случае с простейшими тригонометрическими уравнениями, сведём данное неравенство к простейшему, используя замену аргумента: .
Простейшее неравенство мы уже умеем решать. Получаем:
, ,
, ,
, .
Ответ: , .
Давайте сформулируем общий метод решения простейших тригонометрических неравенств:
1) нарисовать тригонометрическую окружность или график функции,
2) провести прямую , , в зависимости от функции,
3) определить часть окружности или графика, которые нужно выбрать по знаку неравенства,
4) определить концы выбранного промежутка,
5) записать ответ с учётом периода.
Системы тригонометрических неравенств
Системы тригонометрических неравенств решаются так же, как и все остальные системы неравенств. По отдельности решается каждое из неравенств (уже рассмотренными методами), а затем находится пересечение множеств решений.
Рассмотрим конкретный пример.
1. Решить систему неравенств .
Каждое из простейших неравенств мы уже умеем решать. Для наших неравенств имеем два промежутка решений , и , .
Для этих двух промежутков необходимо указать пересечение. Изобразим это на тригонометрической окружности.
Видно, что пересечением областей решений являются промежутки:
, .
Ответ: , .
Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.
Знать
Тригонометрические формулы
Уметь
1) Решать простейшие тригонометрические неравенства.
2) Находить пересечение множеств решений неравенств.
Заключение
На этом уроке мы рассмотрели решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем.
На следующем уроке мы закрепим знания по теме «Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения, неравенства и их системы», а также рассмотрим решение более сложных примеров.
Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/pervye-predstavleniya-o-reshenii-trigonometricheskih-uravneniy?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkosinus?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkosinus-i-reshenie-uravneniya-cos-t-a?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arksinus?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arksinus-i-reshenie-uravneniya-sin-t-a?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arktangens-i-reshenie-uravneniya-tg-x-a?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arktangens-i-reshenie-uravneniya-tg-x-a-prodolzhenie?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkotangens-i-reshenie-uravneniya-ctg-x-a?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkotangens-i-reshenie-uravneniya-ctg-x-a-prodolzhenie?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/prosteyshie-trigonometricheskie-uravneniya?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/reshenie-zadach-i-uravneniy?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/reshenie-zadach-i-uravneniy-prodolzhenie?seconds=0
1http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/reshenie-zadach-i-uravneniy-prodolzhenie-2?seconds=0