35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)

Определение окружности, круга и их элементов

Мы подробно рассмотрели треугольники и четырехугольники. Остальные многоугольники в целом не представляют интереса для изучения, так как общих свойств у них не так много, а выделение различных классов (по равным углам и сторонам, прямым углам) достаточно трудоёмкая задача.

Однако есть класс -угольников, который можно выделить для любого . Это правильные -угольники.

Определение

Правильным называется -угольник, у которого все углы и стороны равны. Мы подробно изучали правильный треугольник и правильный четырёхугольник (квадрат).

Однако у правильных -угольников есть свойства, которые можно охарактеризовать для любого . Мы знаем, что сумма углов -угольника равна . Так как у -угольника все углы равны, то угол правильного -угольника равен . Несложно убедиться в справедливости этой формулы для  () и  ().

По пути мы выясним, что так как , то любой правильный многоугольник является выпуклым (все углы меньше развернутого).

Рассмотрим правильный -угольник с центром .

 – высота

 – равнобедренный .

Из прямоугольного треугольника : .

Несложно получить, что: .

Рассмотрим теперь тот же правильный -угольник.

Сразу можем записать, что . Рассмотрим последовательность многоугольников () таких, что у них  не меняется.

Пусть . Тогда ; так как  постоянная, то должны меняться  (длины сторон).

. В этом случае . При : ; .

Получаем, что с увеличением  длина стороны правильного многоугольника стремится к нулю, а расстояние от центра до сторон и до вершин будет становиться практически одинаковым. При этом множество вершин такого многоугольника – это множество точек, удаленных от данной точки  на одно и то же расстояние . Таким образом, при  правильный многоугольник превращается в окружность: множество всех точек на плоскости, равноудалённых от данной.

По пути мы получили, что вокруг каждого правильного -угольника можно описать окружность (радиуса ) и в каждый правильный -угольник можно вписать окружность (радиуса ).

Поскольку окружность – ГМТ, равноудаленная от данной, то:

  – радиус

 – хорда

 – наибольшая хорда – диаметр

 – центральный угол, опирающийся на дугу .

 – вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

Любая прямая на плоскости либо не имеет общих точек с окружностью, либо имеет одну общую точку (касается), либо пересекает окружность в двух точках.

Во втором случае  – касательная, в третьем – секущая.

Две окружности могут не иметь общих точек:

Могут иметь одну общую точку:

Пересекаться:

Рассмотрим линию центров окружностей.

Докажем, что .

 – равнобедренный ().

 − середина  – высота.

Аналогично  – высота , ,  лежат на одно прямой и .

Если окружность – линия, ограничивающая часть плоскости, то эта часть плоскости вместе с самой окружностью образует круг. Запомнить несложно – около круга.

Разница важна: окружность, как линия, будет характеризоваться длиной, а круг, как фигура, – площадью.

Пример

Найти угол правильного десятиугольника.

Решение

, сумма углов -угольника .

Значит, так как все углы равны, то .

Пример

На рисунке ,  – центр окружности. Найдите .

 – радиусы - равнобедренный .

 - смежный с   .

Пример

На рисунке хорда  пересекает диаметр  в точке , , , . Найдите длину .

Решение

,  так как : ,  (вертик.) .

Рассмотрим : ; .

Пример

Две окружности с центрами  и  пересекаются в точках  и , каждая из окружностей проходит через центр другой. Докажите, что , .

Решение

 – одновременно радиус обеих окружностей.  (первая окружность).  (вторая окружность).

.

Аналогично . Значит, , .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Определение и свойства правильного n-угольника

• Определения окружности и круга, а также их основных элементов

Понимать

• Окружность – линия, ограничивающая круг

• Круг – часть плоскости вместе с границей

Вписанные и центральные углы и их свойства

В предыдущей части мы рассматривали такую задачу.

 ,  – центр окружности. Найдите . Мы получили, что . Получилось, что .

Пусть .

Пусть , тогда .

 – равнобедренный .

Аналогично .

В :

Но  – равнобедренный , а . Получается, что вписанный угол всегда в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Дуги, как и углы, измеряются в градусах. При этом градусная мера показывает, какую часть окружности составляет данная дуга. Вся окружность – . Если дуга составляет  часть окружности, то ее мера в градусах: .

Здесь прослеживается аналогия с процентами. Когда мы говорим, что наша часть прибыли , это означает, что получили пятую часть, независимо от величины прибыли (10 рублей или 10000 рублей).

Градусные меры этих двух дуг равны  части окружности (), хотя длины разные. Градусная мера дуги окружности равна градусной мере центрального угла, на которую она опирается.

.

Как мы только что доказали, , то есть вписанный угол в 2 раза меньше дуги окружности, на которую он опирается.

Из этого следует сразу несколько утверждений.

1) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Можно и так: .

2) Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны: .

Про это мы уже говорили, когда рассматривали геометрический смысл теоремы синусов: множество точек, из которых данный отрезок () виден под одним и тем же углом – дуга окружности.

3) Можно доказать, что:

а)

;

б)

;   

Пример

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

Решение

 – равносторонний .

.

Пример

Радиус окружности равен 1. Найти величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную .

Решение

Рассмотрим .

Найдем  – центральный: .

Пример

Найдите , если вписанные углы  и  опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.

Решение

Зная, что .

Не зная этого, .

:

Пример

Найти величину  в градусах.

Решение

Нужно найти вписанный угол. Значит, нужно найти градусную меру . Как это сделать? Поскольку дополнительных подсказок нет, то надо попытаться найти, какую часть дуги  составляет от всей окружности. Обратим внимание, что дуга  стягивает хорду длиной 4 клетки. Если мысленно достроить до квадрата, то получим: квадрат вписан в окружность  – центр окружности .

Теперь несложно решить аналогичную задачу.

Несложно понять, что .

Доказать, что ГМТ, из которой данный отрезок видно под углом , – дуга окружности.

Рассмотрим отрезок  и произвольную точку , такую что . Вокруг  можно описать окружность. Все точки на этой окружности (её дуге ) удовлетворяют условию: вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

Рассмотрим произвольную точку вне дуги.

 т.  не подходит.

Аналогично, если  внутри окружности.

Из этого факта есть много полезных следствий (о многих мы уже говорили). Сформулируем еще одно.

Если в четырёхугольнике , то вокруг него можно описать окружность.

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Свойство вписанных и описанных углов

Уметь

• Находить градусные меры дуг по рисунку

• Определять углы, которые нужно найти

Хорды, секущие и касательные

Напомним, что секущая – прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Часть секущей, лежащая внутри окружности, – это хорда. Наибольшая хорда – диаметр.

Рассмотрим две пересекающиеся хорды.

(вписанные углы, опирающиеся на ).

(вписанные углы, опирающиеся на ).

Значит,  – произведение длин отрезков, пересекающих хорд одинаково.

Хорды, стягивающие равные дуги, равны.

 (центральные)

 – радиусы

Рассмотрим теперь свойства касательных к окружности.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Свёртка. Доказательство

Метод от противного. Пусть . Пусть .

Тогда  – гипотенуза :  поскольку , то точка  лежит внутри окружности, кроме , и прямая не будет касательной

Рассмотрим теперь две касательных, проведенных к окружности из одной точки.

- общая.

 – радиусы  – отрезки касательной, проведенной из одной точки, равны.

Рассмотрим касательную и секущую к окружности.

Докажем сначала, что .

Это логично, если учесть, что касательная – предельное положение секущей. Получаем, что  – предельное положение вписанного угла.

Пусть . - равнобедренный .

Значит, .

Используя этот факт, вернемся к ситуации с секущей и касательной: (впис.).

 – общий .

Пример

Прямая  касается окружности в т. . Найдите , где  – центр окружности, если .

( – равнобедренный).

.

Пример

Две окружности имеют общий центр (такие окружности называются концентрическими). К меньшей из них провели две взаимно перпендикулярные касательные  и , пересеченные в точке . Найдите , если , а меньший из радиусов окружностей равен 4 см.

Решение

Опустим радиусы из точки  к точке касания:  и .

,   – прямоугольник.

 (радиусы)  – квадрат.

, .

В : - высота, а - равнобедренный .

.

Пример

К окружности провели касательные  и . Касательная к окружности в т.  пересекает  и  в точках  и  соответственно. Найдите , если периметр  равен 16 см.

Решение

 но ,  (отрезки касательных) .

Но  (отрезки касательных) .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Свойства касательных, хорд и секущих

Уметь

• Применять свойства подобных треугольников и находить пары подобных треугольников при решении задач

Длина окружности. Площадь круга и его частей

Как мы уже говорили, окружность, как линия, характеризуется своей длиной.

 – длина окружности. То есть отношение длины окружности к её диаметру – величина постоянная: .

Длина дуги окружности определяется пропорционально:  (радиан).

 ( радиан).

Например:

.

В общем виде:   или .

Круг, как фигура, характеризуется своей площадью.

 – сектор; по аналогии с длиной дуги:  (можно и в градусах).

 – сегмент: .

Пример

Груз поднимают с помощью блока. На сколько поднимается груз за 6 оборотов блока, если радиус блока равен 6 см?

Решение

За каждый оборот блок груз поднимается на величину, равную длине окружности блока. За 6 оборотов:

.

Пример

Четырехугольник  – квадрат со стороной ; , , ,  – дуги с центрами , ,  и  соответственно и радиусами, равными . Найти длину линии, ограничивающей заштрихованную фигуру.

Решение

Эта линия состоит из 4 одинаковых дуг: .

, причем .

Получаем: .

Пример

Найдите (в ) площадь кольца, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите .

Решение

;

;

Пример

На клетчатой бумаге нарисовано 2 круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найти площадь заштрихованной фигуры.

; , где  – длина стороны клетки.

; .

Пример

Найти площадь заштрихованной фигуры.

 все углы по .

.

.

; ; .

.

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Формулы для вычисления длины окружности, площади круга

Уметь

• Находить площадь сектора и сегмента по центральному углу

Решение задач

Пример

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки: ; .

Но  (по условию) , .

.

Пример

На клетчатой бумаге изображен круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

На первый взгляд, точно установить угол не получается. Опустим перпендикуляр  на диаметр :  ( – сторона квадрата), но . 

.

Пример

Окружности радиусов 2 и 3 с центрами  и  соответственно касаются в точке . Прямая, проходящая через точку , вторично пересекает меньшую окружность в точке , а большую – в точке . Найдите площадь , если .

Точки , ,  лежат на одной прямой. . (вертик.) .

Можем найти:  – из - по теореме косинусов (). Значит, .

Аналогично . : , , .

.

Пример

На стороне прямого угла с вершиной  взята точка , причем . С центром в точке  проведена окружность  радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся .

Раз окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе угла: , .

, ,  – на одной прямой: . Запишем теорему косинусов для .

; ;

,

Пример

В окружности проведены хорды  и , причем , . Найдите .

 – равнобедренный .

Аналогично . Но   все четыре угла равны.

Вывод: .

Но тогда как вписанный, опирающийся на равные хорды (дуги) ,  – равнобедренная трапеция.

 – равнобедренная трапеция

Из : . Из : .

Ответ: 4.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели круг и окружность, научились находить их площадь и длину соответственно. Кроме того, изучили свойства различных элементов окружности (вписанных и центральных углов, касательной, хорды, секущей). На следующем уроке мы попрактикуемся в решении различных задач по планиметрии.

1. Урок «Вписанные и описанные окружности» (геометрия, 9 класс, раздел «Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы»)

2. Урок «Окружность» (геометрия, 9 класс, раздел «Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы»)

3. Урок «Окружность и круг» (математика, 5 класс, раздел «Дробные числа»)

4. Урок «Касательная к окружности» (геометрия, 8 класс, раздел «Окружность»)

5. Урок «Взаимное расположение прямой и окружности» (геометрия, 8 класс, раздел «Окружность»)

6. Урок «Введение. Длина дуги окружности» (алгебра, 10 класс, раздел «Тригонометрические функции»)

7. Урок «Длина окружности. Площадь круга» (математика, 6 класс, раздел «Отношения и пропорции»)

8. Урок «Центральный угол. Градусная мера дуги окружности» (геометрия, 8 класс, раздел «Окружность»)