31. Основы планиметрии (основной урок)

Объекты планиметрии. Взаимное расположение прямых

Начнем изучение геометрии с планиметрии – геометрии на плоскости. Мы часто сталкиваемся с практическими задачами, решение которых основано на использовании свойств различных геометрических фигур. Например, как посчитать площадь участка, найти высоту дома или ширину реки подручными средствами и т.д. Для решения этих и других задач необходимо знать, какими свойствами обладают геометрические фигуры и как их можно использовать.

Начнем изучение планиметрии с того, что опишем объекты, которые в ней не определяются (строго математически), а считаются интуитивно понятными. Это точка и прямая. Действительно, мы с детства знаем, что такое точка и прямая, как их можно изображать.

Но если задуматься о строгом определении, то сформулировать его не получится. Иногда говорят, что точка – это объект, который не имеет длины и ширины. Но тогда надо определить, что такое длина, ширина и т.д. Поэтому будем определять, что такое точка и прямая, нам достаточно того, что мы понимаем, что это такое. Рассмотрим прямую  и точку .

Рассмотрим одну из частей прямой, на которые точка ее разделила. Эта часть называется лучом.  – луч. Название неслучайно. Луч солнца имеет начало (Солнце), но не имеет конца (взаимного). Если мы рассмотрим две точки , .

 – отрезок. То есть отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок имеет длину. .

Два луча, у которых совпадает начало, образуют угол.

У угла есть мера (мы уже говорили про две угловые меры – градусы и радианы). Угловая мера не зависит от того, как мы выберем точки  и  на сторонах угла. То есть .

Если два луча совпадают, то угол между ними равен . Если же два луча образуют прямую, то угол между ними называют развернутым и считают равным  или  радиан.

Рассмотрим две прямые на плоскости. Они могут либо пересекаться, либо нет. Во втором случае прямые называются параллельными.

Если две прямые пересекаются, то при пересечении образуются 4 угла.

 называются вертикальными. Аналогично: . При этом  и  – смежные.

(развернутый)

Понятно, что  и  разные во всех случаях, кроме одного.

То есть каждый из углов равен половине развернутого. Такие прямые называются перпендикулярными, а угол  – прямой.

Если угол меньше  и больше , то он называется острым. Если угол меньше  и больше , то он называется тупым.

Угол между прямыми – острый угол, образованный при пересечении.

Если прямые параллельны, то , если , то .

Рассмотрим две параллельные прямые и третью прямую, которая их пересекает.

,  – секущая.

Мы уже знаем: , ,  и т.д. Но, оказывается, можно установить связь и между углами  и .

 и  – соответственные (, ; ,  и т.д.): .

 и  – внутренние односторонние: .

 и  – внутренние накрест лежащие: .

Зная хотя бы один из углов, можно найти все.

Пример

При пересечении двух прямых один из углов в 3 раза больше другого. Найти углы.

Решение

Обозначим  и .

Ответ: , , , .

Пример

Дано: , .

Найти все углы.

Решение

 (накрест лежащие)

(смежные)

Пусть . Получаем: .

Ответ: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Что такое угол между прямыми

• Виды и свойства углов, которые образует секущая при пересечении параллельных прямых

Понимать

• Что такое точка и прямая

• Что такое параллельные прямые

Треугольники. Сумма углов треугольника

Рассмотренные нами объекты – лучи и прямые – бесконечны. На практике мы чаще встречаемся с ограниченными объектами. Поэтому подробнее остановимся на отрезках.

Система отрезков, конец каждого из которых совпадает с началом следующего, называется ломаной. При этом каждый отрезок – звено ломаной.

Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, то ломаная получается замкнутой.

Понятно, что два отрезка не могут образовать замкнутую ломаную. А вот три – могут. То есть минимальная замкнутая ломаная состоит из 3 звеньев и называется треугольником. Именно эта минимальность и определила такую популярность и изученность треугольника.

У треугольника 3 стороны, 3 угла, 3 вершины. Сумма длин отрезков, составляющих стороны треугольника, называется периметром: . Периметр треугольника может меняться. Сумма углов треугольника постоянна и равна развернутому углу (или двум прямым).

Теорема. Сумма углов треугольника равна .

Доказательство

Проведем через точку  прямую : .

Как мы уже знаем,  (НЛУ).

 (НЛУ)

Получаем,  (развернутый).

Доказано.

Это очень важный факт. Чуть позже мы докажем, что сумма углов любой замкнутой ломаной зависит только от количества звеньев в ней.

Для :

, ,  – внутренние.

Но у каждого внутреннего угла есть внешние, смежные с ним. Например,  – внешний .

 (смежные)

 (сумма углов треугольника)

Получаем: . То есть внешний угол равен сумме двух внутренних углов, которые несмежные с ним.

Пример

Дано: .

Внешний угол при вершине .

Найти:

Решение

1 способ:

 (смежные) .

 (сумма углов треугольника) .

2 способ: .

Пример

Дано: .

Найти:

Решение

Нужно постараться найти градусные меры как можно большего количества углов на рисунке. Если в треугольнике известны два угла, то можно найти и третий.

Рассмотрим : .  – смежный с ним: .

Можно рассуждать и с конца: чтобы найти  или

Пример

Дано: .

Найти: больший из , .

Решение

 ;

 ,

;

Ответ: .

Пример

Углы треугольника относятся как . Найдите меньший из них.

Решение

Как мы уже говорили:  ; ;

; ;

Ответ: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Сумма внутренних углов треугольника равна .

• Внешний угол равен сумме двух внутренних, несмежных с ним.

Понимать

• Сумма внутренних углов треугольника постоянна и равна развёрнутому углу.

Признаки равенства и подобия треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

и все соответствующие элементы равны.

Сформулируем признаки, по которым можно определить, что треугольники равны (для этого не обязательно знать, что равны все стороны и все углы).

1) По двум сторонам и углу между ними:

2) По стороне и двум любым углам (отметим, что если два угла равны, то и третьи углы тоже равны, так как суммы углов одинаковы:

3) По трем сторонам:

Два треугольника могут быть неравны, но большинство их свойств одинаковы. Такие треугольники называют подобными.

Признаки подобия:

1)

2)

3)

Рассмотрим прямоугольный треугольник (треугольник, у которого один из углов прямой, подробнее их свойства мы рассмотрим на следующем уроке).

Опустим из вершины прямого угла перпендикуляр на гипотенузу . Рассмотрим ,  и .

Пусть ,  . Тогда: ; .

Получаем, что .

Аналогично можно получить: ; .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Признаки равенства и подобия треугольников.

Понимать

• Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия.

Биссектриса, высота, медиана

Биссектриса – это линия, проходящая через вершину угла и делящая угол пополам.

 – биссектриса

Биссектрису можно определить и по-другому: геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла.

Рассмотрим  и

Можно доказать, что любая точка, не лежащая на биссектрисе, не удовлетворяет этому условию.

Основное свойство биссектрисы:

Требуется доказать: .

Доказательство:

Опустим перпендикуляры: , .

Рассмотрим  и .

Получаем .

Аналогично можно доказать, что: ((биссектриса), )  ч.т.д.

Пример

В треугольнике   – биссектриса, , . Найти .

Решение

Ответ: .

Пример

В ,  и  – биссектрисы, .

Решение

Пусть

Ответ: .

Пример

В : , ; , ,  – биссектрисы, пересекаются в точке . Найти .

Решение

,  

Из : .

Из : .

Ответ: .

Пример

Стороны треугольника равны 10, 11 и 12. Найти отрезки, на которые биссектриса делит среднюю сторону треугольника.

Решение

По свойству биссектрисы:

Ответ: 5 и 6.

Медиана

Из статистики мы помним, что медиана – центральный элемент упорядоченной выборки. В геометрии медиана – линия, которая соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Определение

Высота – линия, которая содержит перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

Длина высота – расстояние от точки  до стороны  (кратчайшее).

Пример

В : ,  – высота, . Найти .

Решение

Из : .

 (как смежные)

Ответ: .

Пример

В : ,  и  – острые.   и  – высоты, пересекающиеся в точке . Найдите угол .

Решение

Из : .

Из :

 (как смежный)

Ответ: .

Пример

Острые углы прямоугольного треугольника равны  и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенной из вершины прямого угла.

Решение

 – биссектриса

:

Ответ: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Определение биссектрисы, высоты, медианы

• Свойство биссектрисы

Теорема Фалеса. Средняя линия

Рассмотрим семейство параллельных прямых и двух секущих:  и .

Теорема Фалеса: если , то .

Можно обобщить теорему Фалеса:

Верна и обратная теорема Фалеса: если  (в том числе и 1), то .

Воспользуемся теоремой Фалеса для доказательства одного важного факта. Рассмотрим линию, соединяющую середины сторон.

 – средняя линия треугольника.

Докажем, что , .

Доказательство:  по теореме, обратной теореме Фалеса: .

ч.т.д.

Пример

Стороны треугольника 2, 3 и 4, а вершины его – середины сторон другого треугольника. Найти периметр большого треугольника.

Решение

Пример

На стороне   отмечена точка . Отрезок  пересекает медиану  треугольника в точке , причем . Найти .

Решение

Проведем через точку  прямую, параллельную :  (по теореме Фалеса).

По теореме Фалеса: .

Ответ: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Теорему Фалеса

• Определение и свойства средней линии

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели простейшие объекты планиметрии, изучили взаимное расположение прямых, а также начали изучение важнейшей геометрической фигуры (минимальной замкнутой ломаной) – треугольника. На следующем уроке мы более подробно рассмотрим треугольники, их характеристики и свойства.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Луч и угол (Геометрия, 7 класс, раздел \"Начальные геометрические сведения\")

2. Прямая и отрезок (Геометрия, 7 класс, раздел \"Начальные геометрические сведения\")

3. Геометрия. Основные понятия (Геометрия, 7 класс, раздел \"Начальные геометрические сведения\")

4. Смежные и вертикальные углы (Геометрия, 7 класс, раздел \"Начальные геометрические сведения\")

5. Перпендикулярные прямые (Геометрия, 7 класс, раздел \"Начальные геометрические сведения\")

6. Треугольники (Геометрия, 7 класс, раздел \"Треугольники\")

7. Первый признак равенства треугольников (Геометрия, 7 класс, раздел \"Треугольники\")

8. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника (Геометрия, 7 класс, раздел \"Треугольники\")

9. Второй и третий признаки равенства треугольников (Геометрия, 7 класс, раздел \"Треугольники\")

10. Параллельные прямые и задачи на углы между ними и секущей (Геометрия, 7 класс, раздел \"Паралельные прямые\")

11. Задачи на углы треугольника (Геометрия, 7 класс, раздел \"Соотношения между сторонами и углами треугольника\")

12. Первый признак подобия треугольников (Геометрия, 8 класс, раздел \"Подобные треугольники\")

13. Второй признак подобия треугольников (Геометрия, 8 класс, раздел \"Подобные треугольники\")

14. Подобные треугольники. Признаки подобия (Геометрия, 8 класс, раздел \"Повторение курса геометрии 8 класс\")