31. Основы планиметрии (основной урок)

Основные объекты планиметрии

Луч – часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от этой точки.

Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок имеет длину: .

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла).

Если два луча совпадают, то угол между ними равен . Если два луча образуют прямую, то угол между ними называют развернутым и считают равным  или  радиан.

Если угол меньше половины развёрнутого (), его называют острым; если угол равен половине развёрнутого (), его называют прямым; если угол больше половины развёрнутого, но меньше развёрнутого (), его называют тупым.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной точке, либо не иметь общих точек (в этом случае прямые называются параллельными).

Если две прямые пересекаются, то при пересечении образуются 4 угла.

;  – вертикальные углы;

и - смежные углы: .

Если при пересечении двух прямых образуются прямые углы, такие прямые называются перпендикулярными.

Угол между прямыми – это острый угол, образованный при их пересечении.

Угол между параллельными прямыми считается равным .

Параллельные прямые

При пересечении двух параллельных прямых третьей (секущей) образуется 8 углов.

,  – секущая

и  – соответственные: ;

и  – внутренние односторонние: ;

и  – внутренние накрест лежащие: .

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса. Дан угол . Проведены параллельные прямые , пересекающие стороны этого угла. Тогда если , то .

Обобщенная теорема Фалеса. Дан . Проведены параллельные прямые , пересекающие стороны этого угла. Тогда .

Обратная теорема Фалеса. Дан . Проведены прямые , , , пересекающие стороны этого угла. Тогда если , то .

Треугольник

Замкнутая ломаная, состоящая из 3 звеньев, называется треугольником.

Сумма длин отрезков, составляющих стороны треугольника, называется его периметром: .

Сумма углов треугольника постоянна и равна развёрнутому углу – .

Для :

, ,  – внутренние;  – внешний для .

Свойство внешнего угла: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, которые несмежные с ним: .

Равенство треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. Все соответствующие элементы таких треугольников равны.

Признаки равенства треугольников

1) по 2 сторонам и углу между ними;

2) по стороне и 2 любым углам;

3) по 3 сторонам.

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если длины их сторон пропорциональны, а углы равны:

, ; ; .

 называется коэффициентом подобия. Длины всех соответствующих элементов подобных треугольников пропорциональны с коэффициентом подобия.

Площади подобных треугольников пропорциональны с коэффициентом : .

Признаки подобия треугольников:

1. три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника;

2. две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, углы между этими сторонами равны;

3. два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника.

Основные элементы в треугольнике

Биссектриса – это линия, проходящая через вершину угла и делящая угол пополам (эквивалентное определение: геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла).

Основное свойство биссектрисы

Медиана – линия, которая соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Высота – линия, проходящая через вершину перпендикулярно противоположной стороны.

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины сторон треугольника.

,

Свойство средней линии: , .