01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)
58 мин
02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)
1 ч 4 мин
03. Дробно-рациональные уравнения (основной урок)
36 мин
04. Корень n-ной степени из действительного числа. Обобщение понятия степени. Практика (основной урок)
1 ч 5 мин
05. Повторение. Промежуточный срез №1. Практика
55 мин
06. Квадратные уравнения. Линейные уравнения. Практика (основной урок)
50 мин
07. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения высших степеней. Практика (основной урок)
40 мин
08. Уравнения с модулем. Системы уравнений. Практика (основной урок)
55 мин
09. Решение текстовых задач (основной урок)
39 мин
10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)
46 мин
11. Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
43 мин
12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)
40 мин
13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)
1 ч 17 мин
14. Логарифмы. Практика (основной урок)
1 ч 9 мин
15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы (основной урок)
59 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
49 мин
17. Основные тригонометрические формулы (основной урок)
1 ч 7 мин
18. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства (основной урок)
1 ч 15 мин
19. Промежуточный срез №3. Повторение (основной урок)
1 ч 30 мин
20. Функции. Свойства функции (основной урок)
49 мин
21. Виды функций. Графики функций (основной урок)
1 ч 0 мин
22. Производная (основной урок)
54 мин
23. Геометрический и механический смысл производной (основной урок)
43 мин
24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)
44 мин
25. Интеграл (основной урок)
42 мин
26. Промежуточный срез №4. Повторение
42 мин
27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)
1 ч 23 мин
28. Комбинаторика. Понятие вероятности. Математическая статистика (основной урок)
55 мин
29. Математическая статистика (основной урок)
28 мин
30. Промежуточный срез №5. Повторение
1 ч 43 мин
31. Основы планиметрии (основной урок)
55 мин
32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)
41 мин
33. Решение треугольников (основной урок)
39 мин
34. Четырехугольники (основной урок)
1 ч 15 мин
35. Окружность, круг и их элементы (основной урок)
47 мин
36. Практика по планиметрии (основной урок)
48 мин
37. Промежуточный срез № 6. Повторение
34 мин
38. Основы стереометрии
42 мин
39. Расстояние между элементами геометрических тел
34 мин
40. Углы в геометрических телах
23 мин
41. Площади поверхности и объемы геометрических тел
50 мин
42. Решение задач по стереометрии
25 мин
43. Векторы и координаты. Ч.1
35 мин
44. Векторы и координаты. Ч.2
31 мин
45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)
42 мин
16. Основы тригонометрии (основной урок)
Видео доступно после авторизации
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике и тригонометрическая окружность
Расстояние от Москвы до Владивостока равно приблизительно 6430 км. Как можно его вычислить? Ведь понятно, что никто не ходил с линейкой или рулеткой и не мерял это расстояние вручную.
Но прежде чем говорить о том, как измерять такие большие расстояния, давайте рассмотрим более практическую и лёгкую задачу.
Как измерить высоту дерева? Задача одновременно и лёгкая, и нет. Вроде бы дерево – вот оно, рядом, но не полезем же мы на него ради определения высоты. Как же посчитать высоту дерева, находясь на земле? Один из самых простых методов - метод линии прямой видимости.
Отойдите на любое расстояние от дерева. Попросите кого-то подержать палку в вертикальном положении на любом расстоянии в направлении дерева. Ложитесь на спину, таким образом, чтобы за концом палки увидеть вершину дерева. Точно измерьте расстояние от своей головы до палки (), затем измерьте расстояние от головы, где вы лежали до основания дерева (). Точно измерьте длину палки ().
Чтобы узнать высоту дерева (), используйте следующую формулу: . Понятно, что если взять палку большего или меньшего размера, то высота дерева не изменится – просто вашему товарищу придётся подойти ближе к вам или к дереву.
Откуда же берётся эта формула? Конечно же, из подобия треугольников. Давайте взглянем на полученный метод со стороны. Мы получили гораздо более важный результат, чем просто измерение высоты дерева. Мы пользовались тем, что в подобных треугольниках отношение соответствующих сторон одинаковое. Если теперь вспомним, что у любых подобных треугольников соответственные углы равны, то получим следующий вывод: соотношение сторон в прямоугольных треугольниках (катетов, катета и гипотенузы) зависит только от соответствующего острого угла. Действительно, во всех треугольниках с равными острыми углами отношения катетов; катета и гипотенузы будут постоянными. Таким образом, в прямоугольном треугольнике отношение длин любых двух сторон зависит только от угла, то есть является функцией от угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник.
Рассмотрим, например, угол . Определим соотношения сторон в этом треугольнике следующими функциями угла:
- отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом, т.е. ;
- отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом, т.е. ;
- отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом, т.е. ;
- отношение прилежащего катета к противолежащему называется котангенсом, т.е. .
Все эти функции называют тригонометрическими. А сам угол при этом является аргументом тригонометрической функции.
Обратим внимание, что мы выбирали угол произвольным образом. Поэтому для второго острого угла можно записать аналогичные соотношения.
Как видим, выполняются соотношения: , , , . Поэтому тригонометрические функции и получили такие названия: синус/косинус, тангенс/котангенс.
Поскольку мы уже говорили, что в подобных треугольниках отношения сторон равны, то введённые таким образом функции не будут зависеть от длин сторон треугольника, а только от угла. То есть в любом прямоугольном треугольнике с острым углом , к примеру, будет принимать одно и то же значение.
Ветка. Зачем нужно так много тригонометрических функций
Первое, о чём стоит сказать, - это то, что синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы – избыточное многообразие тригонометрических функций. Действительно, котангенс – это величина, обратная тангенсу. А синус и косинус связаны с помощью тригонометрической единицы. Таким образом, важно понимать, что такое большое количество тригонометрических функций используется для удобства и простоты записи. А на самом деле достаточно было бы и одного синуса.
Зачем вообще ввели такие функции от угла? Всё очень просто: угол измерить обычно легче, чем расстояние, поэтому необходимо было каким-то образом связать длины и меры углов. За это и отвечают введённые тригонометрические функции.
Фактически мы получили, что в прямоугольном треугольнике, зная две любые стороны или любую сторону и любой острый угол, можно найти все остальные элементы. Согласитесь, что гораздо больше задач можно решить, если для их решения надо знать всего две величины, а не 3.
Ветка. Вывод значений тригофункций углов , , .
Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом .
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в , в 2 раза меньше гипотенузы: .
По определению: .
По теореме Пифагора: , значит, .
По определению: .
Для угла , так как , используя полученные ранее формулы.
Теперь рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник (с острыми углами по ).
По теореме Пифагора: .
По определению: . Аналогично: .
После такого определения тригонометрических функций может возникнуть вопрос: а существует ли, например, ? Ведь угла в прямоугольном треугольнике быть не может.
Определим тригонометрические функции для любых значений аргумента с помощью так называемой единичной тригонометрической окружности. Она представляет собой окружность с единичным радиусом, изображенную так, что ее центр находится в начале координат декартовой плоскости.
Будем откладывать углы от луча (положительного направления оси ), при этом против часовой стрелки откладывается положительное значение угла, а по часовой стрелке – отрицательное. Это просто договорённость, не более того. Исходя из этих договоренностей, отложим сначала острый угол . Именно для таких острых углов мы уже знаем определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть (так как гипотенуза является радиусом данной окружности, т.е. ее длина 1).
Аналогично косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе, то есть . Это можно записывать в таком виде: .
Обобщим это определение для любых значений углов, а именно: синусом угла будем называть ординату точки на единичной окружности, а косинусом – абсциссу. Теперь определим тангенс и котангенс.
Тангенс – отношение противолежащего катета к прилежащему, т.е. . Но так как , , то получаем: . Аналогично котангенс – отношение прилежащего катета к противолежащему, т.е.: . Но так как , , то получаем: .
Для того чтобы ввести функции тангенса и котангенса на тригонометрической окружности, необходимо изобразить дополнительные элементы: касательную к окружности в точке (по ней определяется значение тангенса угла ) и касательную в точке (по ней определяется значение котангенса угла ).
Таким образом, мы определили тригонометрические функции для любых значений аргументов, при этом для острых углов это определение совпадает с определением для прямоугольного треугольника.
Может показаться, что углы, лежащие вне диапазона от 0 до 360 градусов, являются придуманными и в реальной жизни не встречаются. Однако как ответить на вопрос: «На какой угол повернется стрелка часов за сутки?» За такое время она выполнит два полных оборота, а за один оборот пройдет , т.е. за сутки повернется на . Как видите, такие значения имеют вполне практический смысл. Знаки углов используются для обозначения направления вращения – одно из направлений договариваются измерять положительными углами, а другое – отрицательными. Как же это учитывать в тригонометрической окружности?
На окружности с такими углами работают следующим образом.
1) Углы больше откладываются против часовой стрелки с прохождением начала отсчета столько раз, сколько это нужно. Например, для построения угла необходимо пройти два полных оборота и еще . Для окончательного положения и вычисляются все тригонометрические функции. Несложно увидеть, что значение всех тригонометрических функций для и для будут одинаковыми.
2) Отрицательные углы откладываются точно по тому же принципу, что и положительные, только по часовой стрелке.
Уже по способу построения больших углов можно сделать вывод, что значения синусов и косинусов углов, которые отличаются на , одинаковы. Если проанализировать значения тангенсов и котангенсов, то они будут одинаковы для углов, отличающихся на . Такие минимальные ненулевые числа, при добавлении или вычитании которых к аргументу не меняется значение функции, называют периодом этой функции.
Период синуса и косинуса равен , а тангенса и котангенса . А это означает, что при добавлении или вычитании этих периодов от рассматриваемых углов, значения тригонометрических функций не изменяются. Например, , а и т.д.
То есть, зная значение тригонометрической функции на периоде, можно вычислить её значение для любого аргумента.
Свойства тригонометрических функций. Основные тождества
Синусы и косинусы могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Различные знаки значений этих тригонометрических функций в зависимости от того, в какую четверть попадает рассматриваемый угол, принято изображать следующим образом.
Так как значение – это координата по оси ординат, то в первой и второй четвертях синус положительный, а в третьей и четвертой четвертях – отрицательный. Аналогично можно определить знаки для косинуса.
Поскольку тангенс – это отношение синуса к косинусу, то можем по знакам синуса и косинуса определить знаки тангенса. Тангенс и котангенс – обратные величины, поэтому их знаки совпадают.
Также можно сделать вывод: поскольку наибольшая координата точки на единичной окружности и по оси абсцисс, и по оси ординат равна единице, а наименьшая минус единице, то и значения синуса и косинуса ограничены этими числами:
По определению тангенса и котангенса с помощью тригонометрической окружности, видим, что значения этих функций не ограничены: , .
Основные тригонометрические тождества. Таблица значений
Между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента существуют определенные соотношения, которые часто используются и называются основными тригонометрическими тождествами:
1) , так называемая тригонометрическая единица.
2) .
3) , .
Ветка. Доказательство основных тригонометрических тождеств
Докажем основные тригонометрические тождества.
1) Запишем левую часть первого тождества .
Синус и косинус распишем по их определению в прямоугольном треугольнике и и воспользуемся теоремой Пифагора . Так доказывается это тождество для острых углов.
В общем случае для доказательства используется уравнение единичной окружности: . По определению тригонометрических функций: , . Если подставить в уравнение окружности, то получим тождество.
2) Второе тождество следует из определения тангенса и котангенса: , . Как видим, тангенс и котангенс – взаимно обратные величины.
3)
Тождество доказывается аналогично.
Из первого тождества есть два полезных следствия, которые могут пригодиться при решении многих типов заданий. После несложных преобразований можно выразить синус через косинус того же угла и наоборот.
Два возможных знака выражений появляются, т.к. извлечение арифметического квадратного корня дает только неотрицательные значения, а синус и косинус, как мы уже видели, могут иметь и отрицательные значения. Определить знак перед корнем можно, используя дополнительные условия. Например, если дана четверть, в которой лежит угол.
Градусы и радианы. Таблица значений тригонометрических функций
В быту мы измеряем углы в градусах. Принято считать, что полный оборот соответствует 360 градусам, то есть 1 градус соответствует части окружности. Но углы можно измерять и в других единицах измерения – радианах. Один радиан – это угол, образованный двумя радиусами, которые стягивает дуга, равная по длине радиусам (см. рис.). То есть 1 радиан соответствует дуге окружности, равной по длине её радиусу.
Измерять углы в радианах принято долями числа пи, например, или . При этом значение числа , можно подставлять, но это делается редко.
Поскольку длина окружности равна , а 1 радиан соответствует дуге, равной по длине радиусу, то полный оборот соответствует углу радиан. То есть . Используя пропорцию, можно выразить градусную меру любого угла в радианах и наоборот.
Например, переведем в радианы: . Для перевода из радианов в градусы обычно просто подставляют вместо . Например, .
Значения тригонометрических функций обычно вычисляются приближённо (с необходимой степенью точности). Для этого составлены специальные таблицы (Брадиса), а также выведены специальные формулы.
Приведём таблицу значений тригонометрических функций наиболее часто встречающихся при решении задач углов.
Градусы | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Радианы | ||||||||
Функция | ||||||||
Ветка. Для каких углов тангенс и котангенс не имеют смысла
В таблице значений тригонометрических функций основных углов тангенс , а также котангенс и не определены. Давайте выясним, почему так, на примере тангенса .
Это легко увидеть, если применить второе основное тригонометрическое тождество . Как мы знаем из таблицы, , а . Тогда , а как мы знаем делить на ноль нельзя. Поэтому тангенс не определен. Это можно пояснить и с помощью оси тангенсов. Углу на окружности соответствует точка на оси . В этом случае прямая параллельна оси тангенсов и не пересекает её. Соответственно, тангенс не определён.
Аналогично можно показать и то, что не имеет смысла котангенс и .
Итак, для решения примеров у нас есть следующие инструменты.
Определение тригонометрических функций (для острых углов – через стороны прямоугольного треугольника, для произвольных углов – через единичную окружность).
Значение тригонометрических функций для некоторых углов.
Знаки тригонометрических функций в зависимости от четверти, в которой лежит аргумент.
Связь между градусной и радианной мерами углов.
Основные тригонометрические тождества, с помощью которых можно выразить значение тригонометрической функции через любую другую.
Вычисление значений тригонометрических функций
Одной из важнейших задач в тригонометрии является умение вычислять значения тригонометрических функций. Как правило, задача сформулирована так, что для этого можно или воспользоваться таблицей значений тригонометрических функций, или свести задачу к этому, используя периодичность тригонометрических функций.
Пример 1
Вычислить значение выражения: .
Все значения тригонометрических функций в данном примере являются табличными:
.
Пример 2
Вычислить значение выражения: .
Все значения тригонометрических функций в данном примере являются табличными:
.
Пример 3
Вычислить .
Как видим, такого угла в таблице нет. Вообще, в таблице есть значения некоторых углов от 0 до . Мы знаем, что все тригонометрические функции – периодические. У синуса и косинуса период равен . При увеличении или уменьшении аргумента функции на величину периода значение функции не меняется. Поэтому можем уменьшить аргумент функции, так, чтобы он попал в промежуток от 0 до , вычитая из него период столько раз, сколько потребуется. Чтобы не делать много операций, можем использовать деление в столбик: поделим аргумент функции на период с остатком. . Значит, если вычесть из аргумента период 4 раза, то получим: .
Ответ: .
Пример 4
Вычислить .
Значения тангенса от этого угла также нет в таблице. Значит, попробуем уменьшить аргумент, вычитая из него период тангенса, – . Для этого в аргументе выделим целую часть: .
Ответ: .
Все тригонометрические функции угла можно найти, зная хотя бы одну из них. Правда, не всегда можно определить знаки тригонометрических функций. Для этого обычно даются дополнительные условия: например, четверть, в которой лежит угол.
Пример 1
Вычислить значение косинуса угла , если известно, что и .
Достаточно помнить основное тригонометрическое тождество: . Подставим в него данное в условии значение синуса: . Отсюда: . Чтобы определить знак, воспользуемся дополнительной информацией, которая дана в условии: . То есть угол лежит во второй четверти. Мы знаем, что в этой четверти косинус принимает отрицательные значения.
Значит, .
Ответ: .
Пример 2
Вычислить значение косинуса угла , если известно, что и .
Поскольку дан тангенс, а найти необходимо косинус, то необходимо использовать тригонометрическое тождество, в котором есть одновременно тангенс и косинус, а именно: . Подставим в это тождество данное в условии значение тангенса: . Откуда: .
Как и в предыдущем примере, определим знак, используя дополнительную информацию в условии: угол лежит в IV четверти (), поэтому значение косинуса положительное: .
Ответ: .
Пример 3
Вычислить значение синуса угла , если известно, что и .
Мы уже умеем находить косинус, зная тангенс, и синус, зная косинус. Таким образом, можем разбить решение на два этапа, каждый из которых мы уже умеем выполнять. Найдём косинус: .
Используя то, что угол лежит в I четверти: . Теперь найдём синус, используя: . Получаем, что: . С учётом того, что угол лежит в I четверти, получаем: .
Ответ: .
Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.
Знать
Таблицу значений;
Основные тригонометрические тождества;
Знаки тригонометрических функций.
Понимать
Добавление или вычитание периода из аргумента тригонометрической функции не меняет значение функции.
Преобразование выражений, содержащих тригонометрические функции
Для преобразования тригонометрических выражений, в которых аргументом выступает одна и та же переменная, используются основные тригонометрические тождества, а также все методы преобразования выражений, которые мы использовали до этого:
раскрытие скобок;
использование формул сокращённого умножения;
вынесение общего множителя за скобки;
действия с дробями.
Пример 1
Упростить выражение .
Раскроем скобки (это можно сделать с помощью формулы разности квадратов, но можно и просто умножить каждое слагаемое на каждое): .
Теперь осталось вспомнить, что сумма квадратов синуса и косинуса равна 1, а значит, полученное выражение равно .
Пример 2
Упростить выражение .
Сначала раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
Можем вынести общий множитель 2 за скобки, тогда в скобках останется левая часть основного тригонометрического тождества, то есть 1.
Ответ: .
Пример 3
Упростите выражение .
В заданиях, где встречаются тангенс и котангенс, чаще всего необходимо расписать их по определению через синус и косинус: , . Подставим эти выражения в исходное, приведём дроби к общему знаменателю и сократим множители:
Пример 4
Упростить выражение .
И снова расписываем тангенс по определению: , приводим в числителе дроби к общему знаменателю: .
Пример 5
Упростить выражение .
Этот пример можно решить, как и предыдущие, если расписать тангенс и котангенс по определению. Но можно решить немного быстрее, если заметить, что в знаменателях дробей стоят левые части тригонометрических тождеств: .
Ответ: .
Пример 6
Вычислить значение выражения , если .
Упростить выражение, значение которого надо найти, уже рассмотренными методами не получается. Поэтому необходимо обратиться ко второй части условия и снова расписать тангенс по определению: . Из этого равенства можем выразить синус через косинус и подставить в выражение: : .
Обратим внимание, что если заменить , , то получим уже известное нам задание: найти значение , если (ссылка – практика).
Ответ: .
Пример 7
Доказать тождество .
Упростим выражение в левой части равенства, используя формулу разности квадратов.
Пример 8
Доказать тождество .
Распишем тангенс и котангенс по определению, приведём в правой части дроби к общему знаменателю.
Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.
Знать
Основные тригонометрические тождества.
Уметь
Выполнять различные действия для преобразования выражений.
Заключение
На этом уроке мы рассмотрели:
определение основных тригонометрических функций;
свойства тригонометрических функций;
основные тригонометрические тождества.
На следующем уроке мы рассмотрим различные формулы для преобразования тригонометрических выражений.
Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/vvedenie-dlina-dugi-okruzhnosti?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/chislovaya-okruzhnost-2?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/reshenie-zadach-po-teme-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/sinus-i-kosinus?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/tangens-i-kotangens-2?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/trigonometricheskie-funktsii-chislovogo-argumenta-2?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/trigonometricheskie-funktsii-chislovogo-argumenta-tipovye-zadachi?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/trigonometricheskie-funktsii-uglovogo-argumenta-2?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/trigonometricheskie-funktsii-uglovogo-argumenta-i-tipovye-zadachi?seconds=0
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/periodichnost-funktsiy-y-sin-t-y-cos-t?seconds=0