16. Основы тригонометрии (основной урок)

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник.

Возьмем, к примеру, угол . Определим соотношения сторон в этом треугольнике следующими функциями угла:

• отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом, т.е. ;

• отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом, т.е. ;

• отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом, т.е. ;

• отношение прилежащего катета к противолежащему называется котангенсом, т.е. .

Все эти функции называют тригонометрическими. А сам угол при этом является аргументом тригонометрической функции.

Для второго острого угла можно записать аналогичные соотношения:

То есть выполняются соотношения: , , , .

Тригонометрическая окружность

Определить тригонометрические функции для любых значений аргумента можно с помощью так называемой единичной тригонометрической окружности – окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Углы отсчитываются от положительного направления оси , при этом против часовой стрелки откладывается положительное значение угла, а по часовой стрелке – отрицательное. По определению (несложно показать, что это определение согласуется с определением тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике):

Это можно записать в таком виде: . Таким образом, синус – это ордината соответствующей точки на единичной окружности, а косинус – абсцисса.

Тангенс и котангенс определяются следующим образом: , .

Для того чтобы ввести функции тангенса и котангенса на тригонометрической окружности, необходимо изобразить дополнительные элементы: касательную к окружности в точке  – по ней определяется значение тангенса угла , и касательную к окружности в точке  – по ней определяется значение котангенса угла .

Особенности работы с тригонометрической окружностью:

• углы, больше , откладываются против часовой стрелки с прохождением начала отсчета столько раз, сколько это нужно. Например, для построения угла  необходимо пройти два полных оборота и еще . Для окончательного положения и вычисляются все тригонометрические функции. Несложно увидеть, что значение всех тригонометрических функций для  и для  будут одинаковыми;

• отрицательные углы откладываются точно по тому же принципу, что и положительные, только по часовой стрелке.

Периоды тригонометрических функций

Минимальные ненулевые числа, при добавлении которых к аргументу, не меняется значение функции, называют периодом этой функции.

Период синуса и косинуса равен , а тангенса и котангенса . А это означает, что при добавлении этих периодов к рассматриваемым углам или вычитании их от тех же рассматриваемых углов, значения тригонометрических функций не изменяются (например, , а ).

Свойства тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций в зависимости от того, в какую четверть попадает рассматриваемый угол.

Области значений тригонометрических функций:

Основные тригонометрические тождества. Таблица значений

Основные тригонометрические тождества:

•  (тригонометрическая единица)

• ,

Некоторые следствия:

Один радиан – это угол, образованный двумя радиусами, которые стягивает дуга, также равная по длине радиусу. Измерять углы в радианах принято долями числа , например,  или .

1.  (так как длина окружности равна , то вся окружность содержит  радиан). Используя пропорцию, можно выразить градусную меру любого угла в радианах и наоборот. Например, переведем  в радианы: .

2. Для перевода из радианов в градусы обычно подставляют:  (например, ).

Таблица значений тригонометрических функций наиболее часто встречающихся при решении задач углов.

Для решения примеров есть следующие инструменты.

• Определение тригонометрических функций (для острых углов – через стороны прямоугольного треугольника, для произвольных углов – через единичную окружность).

• Значение тригонометрических функций для некоторых углов.

• Знаки тригонометрических функций в зависимости от четверти.

• Связь между градусной и радианной мерами углов.

• Основные тригонометрические тождества, с помощью которых можно выразить значение тригонометрической функции через любую другую.

Преобразование выражений, содержащих тригонометрические функции

Для преобразования тригонометрических выражений, в которых аргументом выступает одна и та же переменная, используются основные тригонометрические тождества, а также все методы преобразования выражений, которые мы использовали до этого:

• раскрытие скобок;

• использование формул сокращённого умножения;

• вынесение общего множителя за скобки;

• действия с дробями.