13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)

Показательные уравнения

Вы положили в банк 1000 рублей. Рассмотрим три задачи:

1) Банк пообещал выплачивать 15% годовых. Сколько денег будет на вашем счету через 2 года, 3 года, 5 лет? Будем считать, что деньги со счёта вы не снимаете.

2) Банк пообещал, что если вы не будете снимать деньги со счёта, то через 3 года на вашем счету будет 1 728 рублей. Сколько процентов годовых будет выплачивать банк в этом случае?

3) Банк пообещал выплачивать 20% годовых. Через сколько лет на вашем счету будет 1 440 рублей? 2 000 рублей?

Как видим, все перечисленные задачи вполне жизненные. А в технике и экономике аналогичные задачи встречаются на каждом шагу, поэтому нам необходимо с ними разобраться.

В каждой задаче фигурируют три величины: процентная ставка (), конечная сумма на счету () и срок вклада (). Причём в каждой задаче две из этих величин даны, а третью необходимо определить.

Ветка. Формула для вычисления сложных процентов

Предположим, что вы положили в банк 1 000 рублей. В конце каждого года банк начисляет 20% годовых на сумму денег на счету на начало года. Деньги со счета вы не снимаете.

Сколько денег будет на вашем счету через 2 года? 3 года? 10 лет?

Посчитать сумму в конце первого года несложно:

.

Сумму на конец второго года посчитать сложнее. Теперь банк начислит процент уже на 1 200 рублей, то есть:

.

И т. д.

Нужно решить задачу в общем виде, то есть определить, сколько будет денег на счету через  лет.

После 1-го года: .

После 2-го года:

.

И т.д.

После -го года: .

Несложно заметить, что для произвольного начального вклада  сумма в конце n-го года была бы равна: .

Если же ставка равна , то: .

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Если банк начисляет каждый год одну и ту же сумму (например, 20% от первоначального взноса), то на конец -го года на счету будет:  – простые проценты.

Формула для вычисления сложных процентов задает геометрическую прогрессию.

Понятно, что сложные проценты выгоднее, так как каждый год банк начисляет процент от большей суммы.

При маленькой процентной ставке (, например, 2-3%) и относительно небольших  (например, 10 лет) можно приблизительно считать, что:

.

Это следует из более общего утверждения о том, что при малых : .

Для того чтобы понять, почему это так, вспомним бином Ньютона:

.

При малых : .

Более подробно о таких вещах вы узнаете, если будете изучать приближенные вычисления.

В нашем случае: .

Для удобства обозначим выражение: . Получаем: , или, если поделить части на 1000 и обозначить : .

Таким образом, во всех трёх задачах неизвестные и данные входят в одно и то же уравнение, связывающее три переменные.

В первой задаче нам необходимо найти , то есть . Для этого необходимо возвести  в степень  (Источник).

Во второй задаче необходимо найти процентную ставку, то есть . Для этого необходимо извлечь корень:  (Источник).

В третьей задаче необходимо найти количество лет, то есть . Эта задача приводит нас к показательным уравнениям, то есть уравнениям, в которых неизвестная расположена в показателе степени.

Ветка. Решение первых двух предложенных задач

Для решения первой задачи, как мы знаем, необходимо использовать формулу сложных процентов:

Для решения второй задачи подставим данные из условия (; ; ) в формулу для сложных процентов:

.

Отметим однозначность решения каждой из этих задач, то есть в каждой задаче данные однозначно определяют ответ.

В первой задаче мы возводим число в степень. Во второй извлекаем корень. Как мы уже говорили, арифметический корень принимает единственное значение.

Решение третьей задачи также однозначно.

На самом деле далеко не всегда данные позволяют однозначно определить ответ. Например, если на часах обе стрелки на 12-00, нельзя точно сказать: полдень сейчас или полночь. Или если сделать стоп-кадр качелей, то нельзя сказать, в какую сторону они двигаются.

При решении третьей задачи необходимо найти  из уравнения . В общем виде есть два варианта: правая часть представима в виде степени с основанием  известными нам уже методами и не представима. На этом уроке мы рассмотрим решение показательных уравнений первого типа.

Если подставить в уравнение данные из третьей задачи: ,  рублей, то получим показательное уравнение: .

Как найти  из этого уравнения? Если вспомнить, что , то несложно догадаться, что  – решение. Но решить уравнение – означает найти все его корни.

Ветка. Решение третьей задачи для случая 2 000 рублей

В случае, если , мы получаем:

.

Представить 2 в виде степени 1,2 не удается.

Значит ли это, что уравнение не имеет решений?

Нет, это показательное уравнение второго типа, которые мы подробно рассмотрим на следующем уроке и которое приведет нас к необходимости введения новой функции – логарифма:

.

Кажется естественным, что если взять  меньше 2, то получится число, меньшее 1,44 (например, при : ), а если больше 2, то большее 1,44 (: ).

Ветка. Монотонность функции и количество решений уравнения

Рассмотрим уравнение , где  монотонна (возрастает или убывает) на всей области определения. Для определенности рассмотрим случай, когда  возрастает. То есть, чем больше , тем больше . Если в какой-то точке , то при всех : , а при всех : . Тогда уравнение будет иметь один корень . То есть для таких функций уравнение  имеет или 1 решение, или не имеет их вообще.

Графически это означает, что горизонтальная прямая  может пересечь монотонную функцию  не больше, чем в одной точке (с одной стороны – выше, с другой – ниже).

Для обоснования достаточно проанализировать свойства показательной функции: , , , а именно: при основании функция монотонно возрастает, а при основании  монотонно убывает. Таким образом, если при каком-то : , то при других значениях  это равенство уже выполняться не будет.

Ветка. Показательная функция и ее свойства

Показательная функции – это функция вида , , .

Исходя из определения, можно сформулировать основные свойства показательной функции:

, то есть функция определена при всех действительных значениях переменной.

, то есть функция принимает любые положительные значения.

При  функция монотонно возрастает на всей области определения.

При  функция монотонно убывает на всей области определения.

Графики показательной функции при  и имеют вид:

Таким образом, мы приходим к основному методу решения показательного уравнения , ,  (которое называется простейшим). Чтобы его решить, достаточно представить  в виде .

Тогда уравнение будет иметь вид , и  будет его единственным корнем.

Например, .

Если , то уравнение  не будет иметь корней, так как область значений показательной функции  (ссылка - ВЕТКА).

Например, .

Любое более сложное показательное уравнение решается сведением его различными методами к одному или нескольким простейшим показательным уравнениям.

Простейшие показательные уравнения

Пример

Решить уравнение .

Решение

Представим обе части уравнения как степени с одинаковыми основаниями: .

Можем приравнять показатели: .

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Пример

Вспомним, что . Значит, .

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Показательная функция принимает строго положительные значения. Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Обе части уравнения необходимо привести к одинаковому основанию. Можно приводить к 2, можно к 4, но более простым способом является приведение к 2 (так как ).

Представим обе части уравнения как степени с основанием 2.

; .

Ответ: .

Основные инструменты для решения простейших показательных уравнений и приведения степеней к одинаковым основаниям:

1) разложение оснований на множители (Источник);

2) использование определения степени с отрицательным и рациональным показателем, а также свойств степени (Источник).

Этими же инструментами мы будем пользоваться при решении показательных уравнений, которые сводятся к простейшим.

Показательные уравнения, сводящиеся к простейшим

Если в обеих частях показательного уравнения есть переменная в показателе степени, то можно использовать более общий метод: , то есть из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство их показателей, независимо от того, являются эти показатели числами или выражениями, содержащими неизвестную.

Таким образом, идея решения не меняется: привести обе части уравнения к одному основанию.

Для этого, если необходимо, основания можно разложить на произведение степеней множителей. Напомним, что любое натуральное число можно представить в виде произведения степеней простых множителей (ссылка – первый урок).

Пример

Решить уравнение .

Решение

Так как показатели степени в левой части одинаковы, то можем перемножить основания и получить простейшее уравнение:

.

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Решение

В правой части в основании стоит 36, то есть , подставляем и получаем слева и справа степени с одинаковым основанием 6:

.

Ответ: .

Пример

Решить уравнение: .

Решение

Все степени нужно привести к одному основанию. Можно приводить к 0,5; 2 или 64 – если вы всё сделаете правильно, то в конце решения любым из способов получите один и тот же правильный ответ.

Но в этом примере удобнее и быстрее будет привести все степени к основанию 2, так как: ; .

Ответ: , .

Если вы сомневаетесь в правильности своего решения, то можете подставить полученные значения переменной в исходное равенство и убедиться, что получается верное равенство. Если же слева и справа в исходном уравнении получаются разные числа, то перепроверьте своё решение.

Пример

Решить уравнение: .

Решение

Как видим, в основаниях в левой части уже стоят простые числа, поэтому представим в виде произведения степеней простых множителей правую часть:

.

Теперь, как и в задачах на преобразование степеней, сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

.

Осталось заметить, что в показателе второй степени можно вынести 2 за скобки:

.

Ответ: .

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее:

Знать

Определение степени с натуральным, целым и рациональным показателем, свойства степеней.

Уметь

Раскладывать числа на произведение степеней простых множителей.

Преобразовывать выражения, содержащие степени.

Показательные уравнения. Замена переменных

Если в одной или обеих частях уравнения стоит сумма или разность степеней, то чаще всего такие уравнения решаются с помощью замены. При этом в качестве замены обычно выбирается степень с наименьшим основанием и показателем.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Распишем степень в виде произведения степеней: .

Получаем: .

Теперь переменная встречается только в выражении , поэтому напрашивается замена: .

.

Выполняем обратную замену: .

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Как и в предыдущем примере: ;  . Тогда: .

Выполним замену: . Получим линейное уравнение, которое мы уже умеем решать:

.

Обратная замена: .

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Сначала приведём все степени к одинаковому основанию :

.

Замена:

.

Обратная замена: .

Ответ: .

Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным

Если вы увидели в показательном уравнении одновременно слагаемые вида  и  или  и , то, скорее всего, такое уравнение сводится к квадратному с помощью замены.

Решение

Решить уравнение .

Решение

Заметим, что , тогда можем сделать замену .

; ; ;

Обратная замена:

- решений нет;

.

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Как и в предыдущих примерах, распишем: . Получаем:

.

Поскольку переменная встречается только в выражении , то напрашивается замена: , получим дробно-рациональное уравнение, которое сводится к квадратному:

; .

Обратная замена:

; ;

; .

Ответ: ; .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Как и в предыдущем примере, расписываем: . Получаем:

.

Замена: , получаем:

; .

Обратная замена:

; ;

; .

Ответ: ; .

Ветка. Однородные показательные уравнения

Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида: .

Второго порядка: .

В общем виде: .

То есть в каждый одночлен входят переменные, сумма показателей степеней которых равна . Иначе говоря, если мы умножаем  и  на  и подставим, то из всех слагаемых можно вынести  и в скобках останется то же однородное уравнение.

Метод решения однородных уравнений следующий:

1)  (проверка),

2)  можно поделить на , затем замена: .

Пример:

.

1) ;  – подходит,

2) :

.

Замена:

;

 или .

Обычно однородными являются те показательные уравнения, в которых переменная встречается в двух выражениях  и , причём  и  не являются степенями друг друга. После замены:  и  получается однородное уравнение, которое решается по стандартной схеме.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример

Решить уравнение: .

Решение

Поскольку в основаниях стоят только 2 и 3, то выделим их степени:

Видим, что переменная встречается только в выражениях , . Заменим , :

.

Получили однородное уравнение первой степени. Делим обе части на , получаем:

.

Выполним замену: :

.

Обратная замена:

.

Ответ: .

Пример

Решить уравнение .

Пример

Разложим основания степеней на множители: ; ; .

.

Сделаем замену: , . Получили однородное уравнение второй степени:

.

Замена: , получаем:

; .

Обратная замена:

; ;

; .

Ответ: ; .

Для решения рассмотренных показательных уравнений необходимо следующее:

Знать

Определение степени с натуральным, целым и рациональным показателем, свойства степеней.

Уметь

Преобразовывать выражения, содержащие степени.

Решать линейные, квадратные и однородные уравнения.

Понимать

Для замены переменных необходимо, чтобы исходная переменная встречалась только в выражении (выражениях) одного вида. Например, только в степени  или в степенях ,  .

Показательные неравенства

Простейшее показательное неравенство имеет вид:

.

Для его решения, как и для уравнений, представим , а затем воспользуемся монотонностью показательной функции (ссылка – ветка):

.

Рассмотрим два случая.

1) . В этом случае показательная функция монотонно возрастает. Поэтому неравенство  будет выполнено для всех  (значение функции тем больше, чем больше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная ).

2) . В этом случае показательная функция монотонно убывает. Поэтому неравенство  будет выполнено для всех  (значение функции тем больше, чем меньше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная ).

То есть если основание больше 1, то мы сохраняем знак неравенства между показателями, а если основание меньше 1, то меняем знак неравенства между показателями на противоположный.

Более сложные показательные неравенства сводятся к простейшим. Для этого используются те же методы, что и для сведения к простейшим показательных уравнений.

Таким образом, сначала показательное неравенство сводится к простейшему уже известными нам методами, а потом решается простейшее неравенство.

Простейшие неравенства

Пример

Решить неравенство: .

Решение

Представим обе части неравенства  в виде степеней с одинаковыми основаниями:

.

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется : .

Ответ: .

Пример

Решить неравенство: .

Решение

.

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется :

.

Ответ: .

Пример

Решить неравенство: .

Решение

.

Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется : .

Ответ: .

Пример

Решить неравенство: .

Решение

Показательная функция принимает только положительные значения: , значит, . Данное неравенство не имеет решений.

Пример

Решить неравенство: .

Решение

По аналогии с предыдущим неравенством:  (а значит, ) для всех  из области определения, то есть .

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Пример

Решить неравенство .

Решение

Обратим внимание, что: . Тогда: .

Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется :

.

Ответ: .

Пример

Решите неравенство .

Решение

Приведём обе части неравенства к одному основанию. Это можно сделать разными способами. Мы приведём обе части неравенства к основанию , так как: , .

Получаем: . Так как основание 2 больше 1, то знак неравенства не меняется: .

Ответ: .

Пример

Решите неравенство .

Решение

Чтобы не ошибиться, лучше приводить обе части неравенства к основанию больше 1, так как в этом случае нет риска забыть о смене знака неравенства.

Вспомним, что: .

Поэтому:

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется .

Получаем квадратное неравенство, которое мы умеем решать методом интервалов:

; .

Ответ: .

Инструменты, которые используются для решения любых показательных неравенств:

1) Сведение показательного неравенства к простейшему (теми же методами, что и для показательных уравнений).

2) Решение полученного простейшего показательного неравенства.

Для решения показательных неравенств необходимо следующее:

Знать

Определение степени с натуральным, целым и рациональным показателем, свойства степеней.

Уметь

Преобразовывать выражения, содержащие степени.

Решать линейные и квадратные неравенства, а также применять метод интервалов.

Понимать

Если основание степеней в правой и левой частях неравенства меньше 1, то знак неравенства между показателями степени меняется на противоположный. Если основания больше 1, то не меняется.

Показательные неравенства. Замена переменных

Как и при решении аналогичных показательных уравнений, необходимо выделить одинаковые выражения, в которых содержится переменная, и выполнить замену.

Пример

Решите неравенство .

Решение

.

Замена: .

.

Обратная замена: .

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется :

Ответ: .

Сводящиеся к квадратным

Пример

Решите неравенство: .

Решение

Замена:

;

Обратная замена:

Ответ: .

Пример

Решите неравенство: .

Решение

Замена:

;

Обратная замена:

Ответ: .

Однородные показательные неравенства

Пример

Решите неравенство: .

Решение

Замена: ,

Замена:

;

Обратная замена:

Ответ: .

Для решения рассмотренных показательных неравенств необходимо следующее:

Знать

Определение степени с натуральным, целым и рациональным показателем, свойства степеней.

Уметь

Преобразовывать выражения, содержащие степени.

Решать линейные и квадратные неравенства, а также применять метод интервалов.

Понимать

Для замены переменных необходимо, чтобы исходная переменная встречалась только в выражении (выражениях) одного вида. Например, только в степени  или в степенях , .

Системы показательных уравнений и неравенств

Системы показательных уравнений решаются двумя основными методами: либо в показательных уравнениях обе части приводятся к одинаковому основанию и после этого приравниваются показатели степеней (таким образом, уравнение перестаёт быть показательным), либо выполняется замена.

Пример

Решите систему уравнений:

.

Решение

Мы видим, что в первом уравнении в основании стоят степени 2, а во втором – 5. Поэтому используем первый метод: решаем каждое из уравнений по отдельности, преобразуя в систему линейных уравнений.

1) :

2) :

Получаем систему:

Ответ: .

Пример

Решите систему уравнений:

.

Решение

В обоих уравнениях стоят суммы степеней, поэтому используем замену переменных:

Замена: ;

;

;

Обратная замена:

Ответ: .

Пример

Решить систему уравнений:

.

Решение

Снова в обоих уравнениях стоят суммы и разности степеней, к тому же основания у этих степеней разные. Поэтому используем второй метод – замена переменных:

Замена: ;

Обратная замена:

Ответ: .

Системы показательных неравенств

Системы показательных неравенств решаются так же, как и другие системы неравенств, которые мы ранее рассматривали. А именно: каждое из неравенств решается по отдельности (показательные неравенства мы уже научились решать), а затем определяется пересечение полученных множеств решений.

Пример

Решить систему неравенств:

.

Решение

1)

Замена:

;

.

Обратная замена:

.

2) 

.

3)

Ответ: решений нет.

Для решения систем показательных уравнений и неравенств необходимо следующее:

Знать

Определение степени с натуральным, целым и рациональным показателем, свойства степеней.

Уметь

Решать показательные уравнения и неравенства.

Находить пересечение интервалов.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение показательных уравнений, неравенств и их систем.

На следующем уроке мы поговорим о логарифмах.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) Показательные функции уравнения неравенства (алгебра, 11 класс, раздел «Повторение») 

2) Показательная функция. Ее свойства. Простейшие показательные уравнения (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции») 

3) Повторение. Показательная функция. Показательные уравнения. Теория (алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЕГЕ») 

4) Показательная функция. Ее свойства и простейшие показательные неравенства (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции») 

5) Повторение. Показательная функция. Показательные уравнения (алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЕГЕ») 

6) Показательные уравнения. Более сложные случаи (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции») 

7) Показательные неравенства. Более сложные случаи (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции») 

8) Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Теория (алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЕГЕ») 

9) Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Практика (алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЕГЕ»)