13. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика (основной урок)

Показательные уравнения

Показательное уравнение вида , ,  называется простейшим.

Чтобы решить простейшее показательное уравнение, достаточно представить  в виде , то есть привести к виду , и  будет его единственным корнем.

Например, .

Если , то уравнение  не будет иметь корней, так как область значений показательной функции  . Например, .

Основные инструменты для решения простейших показательных уравнений и приведения степеней к одинаковым основаниям:

• Разложение оснований на множители.

• Использование определения степени с отрицательным и рациональным показателем, а также свойств степени.

Эти же инструменты используются при решении показательных уравнений, которые сводятся к простейшим.

Показательные уравнения, сводящиеся к простейшим

Если в обеих частях показательного уравнения есть переменная в показателе степени, то можно использовать более общий метод: , то есть из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство их показателей, независимо от того, являются эти показатели числами или выражениями, содержащими неизвестную. Идея решения не меняется: привести обе части уравнения к одному основанию.

Показательные уравнения. Замена переменных

Если в одной или обеих частях уравнения стоит сумма или разность степеней, то чаще всего такие уравнения решаются с помощью замены. При этом в качестве замены обычно выбирается степень с наименьшим основанием и показателем.

Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным

Если вы увидели в показательном уравнении одновременно слагаемые вида  и  или  и , то, скорее всего, такое уравнение сводится к квадратному с помощью замены (в данном случае: ).

Однородные показательные уравнения

Однородным уравнением называется уравнение вида: .

Обычно однородными являются те показательные уравнения, в которых переменная встречается в двух выражениях  и , причём  и  не являются степенями друг друга. После замены  и  получается однородное уравнение, которое решается по стандартной схеме (делением на одну из новых переменных в наибольшей степени).

Показательные неравенства

Простейшее показательное неравенство имеет вид: .

Для его решения, как и для уравнений, представим , а затем воспользуемся монотонностью показательной функции .

Два случая:

• . В этом случае показательная функция монотонно возрастает. Поэтому неравенство  будет выполнено для всех  (значение функции тем больше, чем больше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная ).

• . В этом случае показательная функция монотонно убывает. Поэтому неравенство  будет выполнено для всех  (значение функции тем больше, чем меньше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная ).

То есть если основание больше 1, то мы сохраняем знак неравенства между показателями, а если основание меньше 1, то меняем знак неравенства между показателями на противоположный.

Инструменты, которые используются для решения любых показательных неравенств:

• Сведение показательного неравенства к простейшему (теми же методами, что и для показательных уравнений).

• Решение полученного простейшего показательного неравенства.

Показательные неравенства. Замена переменных

Как и при решении аналогичных показательных уравнений, необходимо выделить одинаковые выражения, в которых содержится переменная, и выполнить замену.

Системы показательных уравнений и неравенств

Системы показательных уравнений решаются двумя основными методами:

• в показательных уравнениях обе части приводятся к одинаковому основанию и после этого приравниваются показатели степеней (таким образом, уравнение перестаёт быть показательным);

• выполняется замена.

Системы показательных неравенств решаются так же, как и изученные ранее системы неравенств: каждое из неравенств решается по отдельности, а затем определяется пересечение полученных множеств решений.