27. Последовательности. Прогрессии (основной урок)

Последовательности

Вспомним, что функцией называется такое соответствие между множеством  (область определения функции) и множеством  (область значений функции), что каждому элементу из  (аргументу функции) соответствует ровно один элемент из  (значение функции).

До этого мы рассматривали преимущественно функции, которые были непрерывными на всей оси или на каком-то отрезке. Однако у функции могут иметь разные области определения. Рассмотрим функцию среднесуточной температуры , где  – среднесуточная температура в -й день с начала наблюдения. Обратим внимание на небольшое отличие рассмотренной функции: в качестве аргумента у нас выступает количество дней с начала наблюдения, то есть натуральные числа.

Функция, область определения которой состоит только из натуральных чисел, называется последовательностью. Часто говорят проще: последовательность – это функция натурального аргумента.

Почему последовательности рассматриваются как отдельный класс функций? Дело в том, что у последовательности можно определить понятие «соседний». Действительно, множество натуральных чисел упорядочено и счётно. За 2 всегда идёт только 3, а перед 10 только 9. Таким образом, у 5-го элемента последовательности всегда два соседа – 4-й и 6-й.

В случае если функция определена, к примеру, на множестве действительных чисел, то «соседнего» аргумента не существует. Действительно, между 2 и 3 есть 2,5. Между 2 и 2,5 есть 2,25. И т.д.

Последовательности обычно обозначаются следующим образом: , ,… Элемент последовательности, соответственно: , , …

При этом индекс указывает номер члена последовательности. Например,  – 1-й член последовательности ,  – 5-й и т.д. Индекс – это, по сути, аргумент функции. То есть можно записать в более привычном виде: , где  – функция натурального аргумента, которая задаёт последовательность.

Основные способы задания последовательности такие же, как и способы задания функций.

1) Аналитический.

Когда -й элемент последовательности задаётся с помощью формулы. Например: . В привычной нам записи для функции: . Тогда, к примеру, , .

2) Табличный.

Обычно используется для конечных последовательностей. Например, количество учащихся в школе по классам можно записать следующим образом.

В этом случае: , ,

3) Словесный (описательный).

Например: последовательность, состоящая из двузначных натуральных чисел. В этом случае: , ,

Но, кроме перечисленных, последовательности могут задаваться с помощью ещё одного способа.

4) Рекуррентный.

В этом случае элементы последовательности задаются с помощью формулы, но, в отличие от аналитического способа, в формуле фигурируют предыдущие члены последовательности. При этом должны быть заданы один или несколько начальных членов такой последовательности.

Например: , .

В этом случае: .

Ветка. Числа Фибоначчи

Одна из самых известных рекуррентных последовательностей – последовательность чисел Фибоначчи.

Эта последовательность чисел вида: 1 1 2 3 5 8 13…, где каждый следующий член последовательности равен сумме двух предыдущих. Рекуррентная формула выглядит следующим образом: ().

Эта последовательность обладает множеством различных свойств и встречается в самых разных областях науки, техники, а также в живой природе.

Пример

Последовательность  задана формулой -го члена . Является ли членом этой последовательности число: 1) 149; 2) 47? В случае положительного ответа укажите номер этого члена.

Решение

Проверим, является ли 149 членом последовательности .

Так как значение  получилось натуральным, то 149 является членом последовательности с номером 21.

Проверим, является ли 47 членом последовательности .

Так как значение  получилось не натуральным, то 47 не является членом последовательности.

Пример

Найдите номер первого отрицательного члена последовательности , заданной формулой -го члена .

Решение

Нас интересует номер первого отрицательного члена последовательности, значит, должно выполняться .

Получили, что при  члены последовательности будут отрицательными, тогда номер первого отрицательного члена – 13.

Пример

Последовательность  задана формулой -го члена: . Задайте ее рекуррентно.

Решение

Для того чтобы задать последовательность рекуррентно, необходимо выразить  через .

Проще всего выразить  через , так как : .

Мы знаем, что . Получили рекуррентную формулу.

Пример

Найдите формулу -го члена последовательности, заданной рекуррентно: , .

Решение

Такие задачи можно решать следующим образом: выписать несколько первых членов последовательности и попробовать подобрать формулу. Затем эту формулу доказать, используя метод математической индукции.

В данном случае это можно сделать: , , , , … Можно предположить, что всё это – степени двойки без единицы. То есть формула . Но мы попробуем вывести эту формулу без подбора:

Чуть позже мы будем рассматривать геометрические прогрессии, и тогда несложно будет преобразовать данную сумму: .

Ветка. Метод математической индукции

Метод математической индукции состоит в следующем: если утверждение доказано в одном или нескольких частных случаях, а также доказан переход (если утверждение верно для , то оно верно и для ), то утверждение считается доказанным для всех .

Действительно, если вы стоите на первой ступеньке лестницы и можете подниматься с любой ступеньки на следующую, то с первой можно перейти на вторую, со второй на третью и так далее. Значит, вы сможете подняться на любую ступеньку, каким бы большим ни был её номер.

Этот метод часто используется в математике для доказательства гипотез.

Например:

База: :  - верно.

Переход: пусть при : .

Рассмотрим :

.

Переход доказан: если формула верна при , то она верна и при , следовательно, она верна при всех .

В жизни мы часто пользуемся индукцией (рассуждениями от частного к общему): например, если в окно вы увидели 5 человек в тёплой одежде, то, скорее всего, на улице холодно. При этом важно использовать индукцию аккуратно: если первые 5 человек на улице – девушки, это вряд ли может означать, что сегодня на улицах будут ходить только девушки.

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Определение последовательности.

• Способы задания последовательности.

Уметь

Находить -й член аналитически заданной последовательности.

Арифметическая прогрессия

Существует отдельный класс последовательностей – прогрессии. Прогрессии – это последовательности, которые рекуррентно заданы следующим образом: . То есть каждый следующий член одинаковым образом зависит от предыдущего (второй выражается через первый так же, как третий через второй и т.п.).

Наиболее распространены два основных вида прогрессии: арифметическая и геометрическая.

Рассмотрим самый простой пример последовательности – натуральный ряд: 1, 2, 3, … Обратим внимание, что любые два соседних члена натурального ряда отличаются на одно и то же число: 1. Последовательности, у которых любые два соседних члена отличаются на одно и то же число, называются арифметическими прогрессиями. В данном случае прогрессия рекуррентно задаётся следующим образом: , где  – некоторое число.

Работать с рекуррентной формулой не очень удобно: чтобы найти 15-й член, нужно найти 14-й, а до этого 13-й и т.д. Получим аналитическую формулу.

…

Получаем формулу для -го члена арифметической прогрессии: .

Ветка. Аналогия с линейной функцией

Обратите внимание, что .

Как мы уже знаем, последовательность – это функция натурального аргумента, получаем . То есть арифметическая прогрессия – это натуральный аналог линейной функции.

При : , при .

 называется разностью арифметической прогрессии (так как равно разности между любыми двумя соседними членами). Если , то прогрессия возрастает, а если , то прогрессия убывает.

Предположим, что вы стоите возле дома с номером 6. А вам необходимо попасть в дом с номером 18. Сколько домов вам нужно пройти?

Мы знаем, что номера домов на этой стороне – чётные числа, то есть: 2, 4, 6, 8, …

Номер каждого следующего дома на 2 больше, чем предыдущий. Задача свелась к тому, чтобы определить, сколько раз по 2 нужно добавить к 6, чтобы получить 18. Разность этих чисел 12, поэтому 2 надо добавить 6 раз. Значит, 7-й по счёту дом будет с номером 18.

На самом деле номера домов – арифметическая прогрессия с разностью 2. Мы знаем, что , , . Найти нужно . Для этого запишем формулу -го члена арифметической прогрессии: .

Пример

Какой номер имеет первый отрицательный член арифметической прогрессии ; ; ; ?

Решение

Найдем разность арифметической прогрессии: . Нас интересует первый отрицательный член а.п., то есть . По формуле n-го члена а.п.:

Значит, номер первого отрицательного члена а.п. – 17.

Пример

Найдите номер члена арифметической прогрессии ; ; ; … , который равен .

Решение

Найдем разность арифметической прогрессии: . По формуле -го члена а.п.: . Нам нужен номер .

Пример

Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия , если , а разность ?

Решение

Нам необходимо найти количество . По формуле -го члена а.п.:

При всех  члены арифметической прогрессии будут положительны, значит, номер последнего положительного члена . Всего 19 положительных членов.

Пример

Найдите первый член арифметической прогрессии , если  и .

Решение

По формуле -го члена арифметической прогрессии:

Прогрессия называется арифметической неслучайно. Любой член последовательности равен среднему арифметическому своих соседей: .

Это свойство называется характеристическим. То есть последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любых трёх последовательных её членов выполнено данное соотношение.

Свёртка. Доказательство

Можно доказать и более строго:

Задача

Рассмотрим такую задачу: рабочие бурят колодец. За первый пробуренный метр они берут 1000 рублей. За каждый следующий – на 500 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег они получат за 10-метровый колодец? А за 30-метровый?

Решение

Понятно, что для небольшой глубины можно просто сложить стоимость работы за каждый метр: 1000 + 1500 + 2000 + …

Но для глубокого колодца это будут громоздкие расчёты.

Заметим, что стоимость оплаты каждого следующего пробуренного метра увеличивается на одно и то же число. То есть мы имеем дело с арифметической прогрессией: , . При этом нам даны возможные значения ; . А найти необходимо сумму первых  членов данной прогрессии: .

Распишем каждый из членов арифметической прогрессии: . Воспользуемся тем, что . Получаем: .

Эту же формулу можно переписать по-другому, используя формулу n-го члена: .

Свёртка. Доказательство

Ветка. Метод Гаусса

Существует легенда, что метод для нахождения суммы первых  членов арифметической прогрессии вывел будущий король математики Гаусс ещё в семилетнем возрасте. По легенде учительница дала задания детям сосчитать сумму чисел от  до , чтобы занять их на какое-то время. Однако через пару минут Гаусс принес ответ: . Как ему удалось так быстро посчитать?

Сложим оба равенства, получим: .

Этот метод обобщит не только для  чисел, а и для любого натурального :

Мы использовали этот метод для вывода формулы суммы первых членов арифметической прогрессии.

Пример

Сумма второго и девятого членов арифметической прогрессии равна 6. Чему равна сумма первых десяти членов этой прогрессии?

Решение

Перепишем условие: . По формуле -го члена а.п. получаем:

Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии: .

Пример

Арифметическая прогрессия  задана формулой общего члена . Найдите сумму двадцати первых членов прогрессии.

Решение

1 способ:

Сумма первых 20 членов а.п.: .

Вычислим  и .

2 способ:

Сумма первых 20 членов а.п.: .

Вычислим  и .

Пример

Найдите первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 4, а сумма первых пятидесяти членов равна 5500.

Решение

Сумма первых пятидесяти членов арифметической прогрессии:

Пример

Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен , а четвертый равен .

Решение

По формуле -го члена арифметической прогрессии: .

По условию , , получаем: .

Сумма первых  членов арифметической прогрессии:

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Определение арифметической прогрессии.

• Формулу n-го члена.

• Формулу суммы арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия

Мы уже получали формулу сложных процентов (ссылка): если вкладчик положил на счёт в банке сумму  под  годовых и не снимает деньги со счёта, то через  лет на счету будет: . Если годовая ставка 20%, то каждый год сумма денег на счету будет увеличиваться в 1,2 раза.

Последовательности, у которых каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называются геометрическими прогрессиями. Последовательность сумм на счету вкладчика в конце каждого года – это пример геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия рекуррентно задаётся следующим образом: , где  – некоторое число.

Получим аналитическую формулу.

…

Получаем формулу для  члена геометрической прогрессии: .

Ветка. Аналогия с показательной функцией

Обратите внимание, что .

Как мы уже знаем,  – функция натурального аргумента: .

Получаем, что геометрическая прогрессия – натуральный аналог показательной функции.

Если , если .

 называется знаменателем геометрической прогрессии (так как равно отношению между любыми двумя соседними членами). Если , то прогрессия возрастает, а если , то прогрессия убывает. Если , то прогрессия является знакочередующейся.

Пример

Какие два числа нужно поставить между числами 2,5 и 20, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Решение

Обозначим эти числа как ; ; ; .

По формуле -го члена геометрической прогрессии :

Тогда ; .

Пример

Какие три положительных числа надо вставить между числами 3 и 48, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Решение

Обозначим эти числа как ; ; ; ; .

По формуле -го члена геометрической прогрессии :

Так как по условию необходимо вставить три положительных числа, то . Тогда ; ; .

Пример

Произведение трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равно 216. Чему равен второй член этой прогрессии?

Решение

Обозначим эти числа как , , . По формуле -го члена г.п:

Тогда произведение этих чисел: .

Прогрессия называется геометрической неслучайно. Любой член последовательности равен среднему геометрическому своих соседей: . Это свойство называется характеристическим. То есть последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда для любых трёх последовательных её членов выполнено данное соотношение.

Свёртка. Доказательство

 (считаем, что ).

Или:

Пример

При каком положительном значении  значения выражений , ,  являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Решение

Чтобы значения выражений являлись последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо выполнение характеристического свойства:

;

По условию нам подходят только положительные значения, значит, .

Ветка. Среднее геометрическое

Средним геометрическим двух положительных чисел  и  называется такое число : .

Откуда такое название? Вспомним свойство прямоугольного треугольника.

Существует легенда, которая связана с изобретением шахмат. Шах решил отблагодарить мудреца, который придумал шахматы, и разрешил ему просить всё что угодно. Тогда мудрец попросил положить на первую клетку шахматной доски 1 зерно пшеницы, на следующую – 2, затем – 4 и т.д. Выяснилось, что всей пшеницы на земле не хватило бы, чтобы выполнить просьбу мудреца.

Количество зёрен на клетках доски – это геометрическая прогрессия: , , . Если мы захотим вычислить общее количество зёрен на доске, то нам необходимо будет найти сумму  членов геометрической прогрессии: .

Распишем каждый из членов геометрической прогрессии: . Воспользуемся тем, что . Получаем: .

Свёртка. Доказательство

Пример

Вычислите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии , если , а знаменатель .

Решение

По формуле -го члена геометрической прогрессии:

Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии:

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Определение геометрической прогрессии.

• Формулу -го члена.

• Формулу суммы геометрической прогрессии.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Рассмотрим прямоугольник со сторонами 2 и 1. Разрежем его пополам, затем один из полученных квадратов – опять на 2 и т.д.

Рассмотрим последовательность площадей полученных прямоугольников: , , , …

Сумма площадей этих прямоугольников (в пределе) равна площади исходного прямоугольника, то есть . То есть, несмотря на увеличение количества слагаемых до бесконечности, сумма всё равно будет приближаться сколь угодно близко к 2, но не превысит её.

На самом деле это далеко не очевидный результат. Можно доказать, что сумма  может принимать сколь угодно большие значения при увеличении количества слагаемых. Однако в рассмотренном примере мы получили, что сумма геометрической прогрессии , при  равна 2.

Оказывается, что аналогичный результат можно получить для любой геометрической прогрессии, у которой , . Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими.

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Сумма  членов равна: . Если мы будем увеличивать , то , так как . Действительно, в этом случае , так как каждый раз мы умножаем на число, которое по модулю меньше 1.

Наглядно это демонстрирует тот факт, что , а . Таким образом, мы получаем, что при : .

В таком случае говорят о сумме бесконечной геометрической прогрессии (без указания количества членов): . Несложно проверить справедливость этой формулы на нашем примере с площадями прямоугольников.

Пример

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии , если , .

Решение

По формуле -го члена геометрической прогрессии:

Поделим второе уравнение на первое:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии: .

Пример

Чему равен второй член бесконечной геометрической прогрессии, сумма и знаменатель которой равны соответственно  и ?

Решение

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

По формуле -го члена геометрической прогрессии: .

Пример

Представьте бесконечную периодическую дробь  в виде обыкновенной дроби.

Решение

Рассмотрим последовательность ; ; ; … , это геометрическая прогрессия, найдем ее знаменатель: .

Так как знаменатель по модулю меньше 1, то это бесконечная г.п. Найдем ее сумму:

Пример

Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии ; ; …

Решение

Найдем знаменатель геометрической прогрессии: .

Сумма бесконечной прогрессии: .

Подведём промежуточные итоги. Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Понимать

Для бесконечной прогрессии ищут сумму всей прогрессии, а не какого-то количества её членов.

Решение различных задач

Пример

Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 150 и делятся нацело на 4.

Решение

Наименьшее трехзначное число, которое делится нацело на 4, – 100. Наибольшее трехзначное число, которое меньше 150 и делится нацело на 4, – 148.

Все эти числа (100, 104, …, 148) образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна 4 (). Найдем количество членов данной арифметической прогрессии, для этого найдем номер . По формуле -го члена а.п.:

Найдем сумму 13 членов данной прогрессии: .

Пример

Целое число  является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли  равняться 8?

б) Может ли  равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать .

Решение

а) Число 8 является суммой четырех последовательных членов арифметической прогрессии. Например, .

б) Пусть число 1 является суммой первых членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью . Тогда , значит, число  – делитель 2, что противоречит условию .

в) Любое натуральное число  является суммой арифметической прогрессии ; …; ; , состоящей из  членов. Если заменить все члены этой прогрессии на противоположные, то получится арифметическая прогрессия, состоящая из  членов, сумма которой равна − .

В предыдущем пункте мы показали, что  не может равняться 1. Аналогично можно показать, что  не может равняться −1. Число  может равняться 0, например, для прогрессии −1; 0; 1. Таким образом,  может принимать любые целые значения, кроме −1 и 1.

Ответ: а) да; б) нет; в) любые целые значения, кроме −1 и 1.

Пример

Последовательность задана формулой , где , .

а) Может ли число 15 являться членом последовательности?

б) Верно ли, что данная последовательность является бесконечной арифметической прогрессией?

в) Может ли последовательность являться геометрической прогрессией?

г) Могут ли три подряд идущих члена последовательности являться сторонами прямоугольного треугольника?

Решение

а) Пусть . Ясно, что . Проверив , , увидим, что натуральных , , удовлетворяющих равенству , не существует.

б) Верно, так как . Значит, – арифметическая прогрессия с разностью 3.

в) Не может. Если эта последовательность является геометрической прогрессией, то выполняется равенство: . Перепишем его по-другому: . Раскроем скобки: . Ясно, что это равенство невозможно. Противоречие.

г) Не может. Ясно, что гипотенуза треугольника – это больший член последовательности. Тогда, по теореме Пифагора, получаем равенство: .

Раскроем скобки:

.

После упрощений получается: , или . А последнее уравнение, как легко видеть, решений в натуральных числах не имеет.

Ответ: а) может; б) верно; в) не может; г) не может.

Пример

Несколько натуральных чисел образуют арифметическую прогрессию, начиная с четного числа. Сумма нечетных членов прогрессии равна 33, четных – 44. Найдите эти числа.

Решение

Пусть прогрессия возрастающая, тогда четных чисел больше, так как их сумма больше. Значит, последний член прогрессии – четный, и всего их нечетное число. Пусть  – первый член прогрессии,  – ее разность,  – количество членов.  – нечетное число, иначе все члены последовательности были бы четными. Из условия получаем уравнения  и . Вычитая из первого второе, получим, что . Тогда . Получаем, что . Возможны такие варианты: ,  и , .

Таким образом, получаются прогрессии: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 и 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Ясно, что годятся и прогрессии, составленные из тех же чисел в обратном порядке. Пусть теперь прогрессия убывающая. Если последний ее член четный – то это уже разобранный выше случай. Если же последний член нечетный, то пусть их всего . Из условия получаем уравнения:  и . Вычитая из первого второе, получаем равенство: . Если , то прогрессия состоит из двух членов: 44, 33, если , то , ,но тогда не все члены прогрессии натуральные (прогрессия получается такая: 14, 13, 12,..., −6, −7).

Таким образом, получаем ответ: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, или 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, или 44, 33.

Ответ:2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, или 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, или 44, 33.

Пример

Дана бесконечная последовательность чисел, в которой первый член равен 1, а каждый последующий в 2 раза меньше предыдущего.

а) Можно ли из данной последовательности выделить бесконечную геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна ?

б) Можно ли из данной последовательности выделить бесконечную геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна ?

Решение

а) Рассмотрим прогрессию с первым членом  и знаменателем . Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, её сумма равна .

б) Пусть первый член прогрессии – это , а знаменатель – это , где ,  – натуральные числа. Тогда по условию получаем уравнение: . После преобразований получается равенство: . Если , то решений в натуральных числах нет, а если , то  нечетно, и не может иметь никаких простых делителей, кроме 5. Тогда , что тоже невозможно.

Ответ: а) да; б) нет.

Пример

Решите уравнение , если .

Решение

Последовательность , , …  является бесконечной геометрической прогрессией.

Найдем ее сумму: .

Пример

Постройте график функции

Решение

ОДЗ:

Последовательность , , …  является геометрической прогрессией, ее знаменатель . , значит, прогрессия бесконечная.

Найдем ее сумму: .

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели последовательность и её частные случаи: арифметическую и геометрическую прогрессии. На следующем уроке мы будем рассматривать различные комбинаторные задачи, а также понятие вероятности.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Числовая последовательность и способы ее задания (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

2. Свойства числовой последовательности (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

3. Определение и свойства арифметической прогрессии, формула ее n-го члена (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

4. Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

6. Типовые задачи по теме «Арифметическая прогрессия» (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

7. Типовые задачи по теме \"Арифметическая прогрессия\" (продолжение) (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

8. Обзорный урок по теме \"Арифметическая прогрессия\" (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

9. Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

10. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

11. Характеристическое свойство геометрической прогрессии (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

12. Типовые задачи по теме \"Геометрическая прогрессия\" (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

13. Типовые задачи по теме «Геометрическая прогрессия» (продолжение) (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

14. Задачи по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)

15. Обзорный урок по теме «Прогрессии» (Алгебра, 9 класс, раздел «Прогрессии»)