12. Промежуточный срез № 2. Повторение (основной урок)

Решение уравнений

Уравнения, сводящиеся к линейным.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Попробуйте решить этот пример самостоятельно. Если у вас получился ответ , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то стоит внимательно изучить решение этого примера.

Для решения этого задания нам понадобится следующее.

Эквивалентные преобразования уравнений:

• к обеим частям уравнения можно добавить одно и то же действительное число,

• обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же действительное число, отличное от 0.

Попробуем эквивалентными преобразованиями привести уравнение к такому виду, решение которого мы знаем.

Сначала избавимся от знаменателей, домножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей: 12.

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и приведем подобные слагаемые.

Получили уравнение вида , то есть линейное уравнение.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Попробуйте решить этот пример самостоятельно. Если у вас получился ответ  и , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то стоит внимательно изучить решение этого примера.

Для решения этого задания нам понадобятся формулы для корней квадратных уравнений : .

Попробуем эквивалентными преобразованиями привести уравнение к такому виду, решение которого мы знаем.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные слагаемые.

Получили уравнение вида , то есть квадратное уравнение.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Попробуйте решить этот пример самостоятельно. Если у вас получился ответ  и , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то стоит внимательно изучить решение этого примера.

Для решения этого задания будем использовать следующее.

• ОДЗ дробно-рационального уравнения,

• Сложение/вычитание дробей.

Данное уравнение дробно-рациональное. Сначала найдем ОДЗ (знаменатели дробей не должны равняться 0).

ОДЗ:

Теперь эквивалентными преобразованиями приведем уравнение к линейному или квадратному. Перенесем все слагаемые в одну сторону: .

Приведем дроби к общему знаменателю . Для этого домножим первую дробь на , вторую – на , а третью – на .

Мы получили такое уравнение: , то есть отношение двух многочленов равно 0.

Если мы умножим обе части уравнения на многочлен  – знаменатель, то получим уравнение: . То есть если дробь равна 0, то числитель должен равняться 0 (а знаменатель при этом не должен равняться 0):

Проверим, входят ли полученные корни в ОДЗ исходного уравнения.

 – входит в ОДЗ, а значит, является корнем исходного уравнения.

 – входит в ОДЗ, а значит, является корнем исходного уравнения.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Попробуйте решить этот пример самостоятельно. Если у вас получился ответ ; ; , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то стоит внимательно изучить решение этого примера.

Для решения этого задания будем использовать:

• следствие из теоремы Безу;

• деление многочленов в столбик.

Нам необходимо решить уравнение третьей степени. Уравнения степени выше второй мы умеем решать только с помощью разложения на множители. Для того чтобы найти один из множителей, попробуем подобрать корень, чтобы затем воспользоваться следствием из теоремы Безу (ссылка). Так как старший коэффициент 1, то корни будем искать среди делителей свободного коэффициента (15). Будем проверять числа , , , , , пока не встретим корень.

При :  – подходит.

1 – корень, значит, по следствию из теоремы Безу,  делится на  без остатка.

Значит, .

Получаем уравнение . Произведение множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен 0, а остальные при этом определены.

или

,

Ответ: ; ; .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Попробуйте решить этот пример самостоятельно. Если у вас получился ответ , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то стоит внимательно изучить решение этого примера.

Для решения этого задания нам понадобится определение модуля: .

Нам необходимо решить уравнение с несколькими модулями.

1) Находим нули подмодульных выражений.

,

,  

2) Нули подмодульных выражений разбивают числовую ось на несколько интервалов. Расставим знаки подмодульных выражений на этих интервалах.

3) На каждом интервале раскрываем модули и решаем полученное уравнение. После нахождения корня проверяем, чтобы он принадлежал интервалу, на котором мы в данный момент работаем.

1. :

Мы получили верное равенство, значит, любой  из этого промежутка является решением.

2. :

 – не подходит

3. :

Данное равенство неверно при любом , значит, на этом промежутке решений нет.

Ответ: .

Решение неравенств методом интервалов

Пример

Решить неравенство .

Решение

Попробуйте решить этот пример самостоятельно. Если у вас получился ответ  то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то стоит внимательно изучить решение этого примера.

Для решения этого задания нам понадобится:

• разложение квадратного трёхчлена на множители: ;

• метод интервалов.

Чтобы воспользоваться методом интервалов, в правой части неравенства должен стоять 0. Попробуем привести данное неравенство к такому виду.

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства, а потом приведем их к общему знаменателю.

Общий знаменатель .

Приведём подобные слагаемые:

Мы получили рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Находим ОДЗ.

ОДЗ:

Находим нули:

Можем переписать наше неравенство в таком виде, разложив квадратные трёхчлены на множители: .

Отмечаем на числовой оси нули и ОДЗ. 

Определим знаки на каждом промежутке: : возьмем .

 : возьмем .

: возьмем .

: возьмем .

: возьмем .

Нам необходимо найти те значения переменной, при которых выполняется .

Значит, нам подходят промежутки со знаком  и нули.

Пример

Решить неравенство .

Решение

Попробуйте решить этот пример самостоятельно. Если у вас получился ответ , то можете переходить к следующему заданию. Если нет, то стоит внимательно изучить решение этого примера.

Решим данное иррациональное неравенство методом интервалов.

1) Приведем неравенство к виду : .

2) Найдём ОДЗ. Неравенство содержит корень четной степени, выражение под ним должно быть неотрицательным.

ОДЗ:         

3) Найдем нули, то есть найти корни уравнения .

Возведем обе части уравнения в квадрат.

Выполним проверку:

:         

- верно

4) Определить промежутки, на которые нули разбивают ОДЗ.

Получили два интервала.

5) Определим знаки на каждом интервале. Сначала определим знак на интервале . Возьмем точку из этого интервала (например, 3) и подставим в выражение.

:

Возьмем точку .

6) Записать ответ.

Так как мы ищем решения неравенства , то нам подходят промежутки, на которых  принимает отрицательные значения (со знаком ) и нули.

Уравнения высших степеней

Пример

Решить уравнение .

Решение

Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получим уравнение четвертой степени, которое мы умеем решать только с помощью подбора корней. Но нет гарантии, что нам удастся подобрать корень.

Поэтому необходимо использовать другой метод решения. Обратим внимание на то, что свободные коэффициенты в скобках обладают следующим свойством: . Перегруппируем множители и раскроем попарно скобки:

Если , то  – неверно. Значит, , поэтому можем поделить обе части уравнения на .

Мы видим, что теперь переменная  встречается в уравнении только в выражении  (благодаря перегруппировке множителей). Сделаем замену: .

Осталось выполнить обратную замену и найти корни исходного уравнения:

Иррациональные уравнения

Пример

Решить уравнение .

Решение

Вспомним свойство корня чётной степени, а именно: . Значит, в левой части уравнения получаем: .

Получаем модульное уравнение вида . Раскрываем модуль. Для этого находим ноль подмодульного выражения:

При :

0 – принадлежит промежутку , значит, является корнем.

1 - принадлежит промежутку , значит, является корнем.

При :

 – не принадлежит промежутку , значит, не является корнем.

 – не принадлежит промежутку , значит, не является корнем.

Сложные дробно-рациональные неравенства

Пример

Решить неравенство .

Решение

Это неравенство вида , значит, можно попробовать решить его методом интервалов.

Найдем ОДЗ (знаменатели дробей не равны 0, подкоренное выражение неотрицательное):

ОДЗ:

ОДЗ: .

Найдем нули левой части неравенства: .

Произведение равно 0 только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а остальные при этом определены.

Определяем промежутки, на которые нули разбивают ОДЗ.

Получили четыре промежутка. Определим знак на каждом промежутке. Перед этим упростим выражение в скобках: . Так как 3 не входит в ОДЗ, то получаем, что необходимо определять знак выражения: .

, возьмем точку .

, возьмем точку .

, возьмем точку .

, возьмем точку .

Так как мы ищем решения неравенства , то нам подходят промежутки, на которых принимает отрицательные значения (со знаком ) и нули.

Заключение

На этом уроке мы повторили изученные ранее темы: в частности, решение линейных и квадратных уравнений, уравнений с модулями и высших степеней, решение неравенств методом интервалов.

На следующем уроке мы начнём изучение новой темы – «Показательные и логарифмические функции. Тригонометрия»

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Урок «Линейные уравнения и системы линейных уравнений» (алгебра, 11 класс, раздел «Повторение»)

2. Урок «Первые представления о решении рациональных уравнений» (алгебра, 8 класс, раздел «Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями»)

3. Урок «Линейное уравнение с одной переменной» (алгебра, 7 класс, раздел «Математический язык. Математическая модель»)

4. Урок «Решение уравнений» (математика, 6 класс, раздел «Решение уравнений»)

5. Урок «Решение рациональных уравнений» (алгебра, 8 класс, раздел «Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями»)

6. Урок «Иррациональные неравенства» (алгебра, 11 класс, раздел «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»)

7. Урок «Решение рациональных неравенств методом интервалов» (алгебра, 9 класс, раздел «Системы рациональных неравенств»)

8. Урок «Иррациональные неравенства» (алгебра, 8 класс, раздел «Квадратные уравнения. Продолжение»)