14. Урок 14. Закрепление пройденного материала. Применение ГМТ и графиков функций к решению различных задач. Решение различных задач повышенной сложности

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 14. Закрепление пройденного материала. Применение ГМТ и графиков функций к решению различных задач

Практика

Повторение подходов к решению стандартных задач темы

В первую очередь повторим подходы к решению ключевых задач темы.

Задача № 1. Указать область определения функции: а) ; б) ; в) .

а)

Для корней чётной степени существует ограничение на подкоренное выражение:

 решаем «методом интервалов».

.

б)

Вспомним, что на ноль делить нельзя:

.

в)

Используем ограничение на подкоренное выражение, на выражение под знаком логарифма и на знаменатель дроби:

Изобразим это на числовой оси:

.

Задача № 2. Определить тип чётности функции: а) ; б) ; .

Для определения типа чётности подставим аргумент с обратным знаком.

а)  – чётная функция;

б)  – функция общего вида;

в)  – нечётная функция.

Задача № 3. Указать промежутки монотонности функции по её графику:

а)

б)

Вспомним, что в промежутках возрастания функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции; в промежутках убывания большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Исходя из этого:

а) : таких промежутков нет

: , точка ноль выколота, и функция в ней не определена.

б) : таких промежутков нет

: , в точках  и  функция не определена.

Задача № 4. Построить графики функций: а) ; б) .

Построим «по точкам»:

б) Построим «по вершине»:

Т. к. , то ветки направлены вверх.

Координаты вершины

Задача № 5. Построить график функции .

Для построения выполним преобразования простейшей функции  в порядке арифметических действий ; ; .

График простейшей функции :

График функции , который получаем смещением предыдущего на вправо вдоль оси абсцисс:

График функции , который получаем растяжением предыдущего в два раза от оси абсцисс вдоль оси ординат:

График функции , который получаем смещением предыдущего на вверх вдоль оси ординат:

Более сложные задачи с использованием функций и их графиков

А сейчас давайте рассмотрим более сложные задачи с использованием функций и их графиков. Они могут нам встретиться в уровне сложности «С».

Задача № 6. Решить уравнение .

Это сложное иррациональное уравнение не решается стандартным подходом возведения обеих частей уравнения в куб, так как мы получим уравнение девятой степени.

В решении нам помогут свойства функций. Необходимо обратить внимание, что левая и правая часть имеют сходства – это и одинаковые числа и третья степень с кубическим корнем. Оказывается, что функции, указанные слева и справа, являются взаимообратными, это и объясняет их схожесть. Давайте это покажем. Запишем левую часть как функцию и выразим аргумент.

Если теперь заменить на привычные обозначения , так как выражено аналитическое представление обратной функции , то можно увидеть, что это и есть правая часть.

Поскольку построение графика обратной функции можно просто представить, как переименование осей (), то график функции и обратной к ней симметричны друг к другу относительно прямой  (биссектрисы прямого угла между осями координат). Например, для (красная кривая) обратная функция (зелёная кривая):

По примеру видно, что пересекаться графики будут там же, где и один из них с функцией , то есть наше уравнение можно заменить на более простое, приравняв более компактную его часть к «».

.

Это кубическое уравнение мы не умеем решать в общем виде, но можем попробовать подобрать целые корни, как делители свободного члена «» (вспомните, почему так). После недолгого перебора подойдёт корень . Покажем это подстановкой в уравнение:

– верное тождество.

Теперь необходимо найти еще два корня уравнения, так как в кубическом уравнении их не более трёх, или доказать, что их нет. Проще всего это сделать выделив множитель , что можно сделать по теореме Безу. Это можно сделать или методом группировки или делением многочленов  и  «уголком». Проделайте это самостоятельно, мы укажем конечный результат.

Кубический многочлен раскладывается так:

( мы уже решили, это даёт первый корень).

Следовательно,

.

Ответ: .

Различных задач повышенной сложности на использование свойств функций множество, многие из них имеют специальные подходы к решению, догадаться до которых сложно, что и демонстрирует приведённый пример. Для решения задач подобного рода необходимо уверенно ориентироваться во всех областях школьной алгебры.

ГМТ при решении задач

И напоследок укажем, как используется ГМТ при решении задач.

Задача № 7. Решить систему уравнений .

Легко можно показать, что стандартный метод подстановки не приведёт к быстрому результату, а усложнит первое уравнение. Для решения системы необходимо построить графическое изображение обоих уравнений и найти их точки пересечения. Второе уравнение представляет собой простейшую функцию квадратного корня, график которой мы умеем строить, а вот в первом уравнении игрек ещё не выражен, и мы не будем этого делать, так как в процессе преобразований нам придётся извлекать квадратный корень, что сузит область значений игрека.

Графическим изображением первого уравнения будет ГМТ, а оно представляет собой неявно заданную многозначную функцию.

Итак, познакомимся с тем, что графическим изображением выражения вида  является окружность с центром в точке с координатами и радиусом . А мы уже знаем, что окружность является ГМТ.

К такому типу относится и первое уравнение нашей системы, для него координаты центра окружности , а радиус .

Построим в одной системе координат оба уравнения – первое зелёной кривой, а второе красной кривой:

Как видим, их графическое изображения пересекаются точно в одной точке, причём можно подозревать, что это точка с координатами . Проверим это подстановкой в уравнения: –

 верные тождества.

То есть мы нашли корень системы  и доказали, что он только один.

Ответ: .

Конечно же, данный способ угадывания корня не особо нам помог бы в случае нецелых «» и «», но числа в заданиях подобного рода обычно специально подобраны.

Аналогичным образом, обыкновенно, решаются системы уравнений, содержащие уравнения, которые строятся в виде ГМТ. В них строятся графические изображения обоих уравнений и определяется количество точек пересечения, которое равно количеству корней, затем эти корни подбираются.

На этом практическом занятии мы повторили и обобщили тему «Функции».

После изучения всех материалов урока вы можете проверить, как усвоили тему, с помощью среза знаний № 3.