09. Урок 9. Обратные тригонометрические функции

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 9. Обратные тригонометрические функции.

Практика

Конспект урока

Главным образом умения работать с аркфункциями нам пригодятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Задания, которые мы сейчас рассмотрим, делятся на два вида: вычисление значений обратных тригонометрических функций и их преобразования с использованием основных свойств.

Вычисления значений аркфункций

Начнем с вычисления значений аркфункций.

Задача №1. Вычислить 

Как видим все аргументы аркфункций положительные и табличные, а это значит, что мы можем восстановить значение углов по первой части таблицы значений тригонометрических функций для углов от до. Этот диапазон углов входит в область значений каждой из аркфункций, поэтому просто пользуемся таблицей, находим в ней значение тригонометрической функции и восстанавливаем, какому углу оно соответствует.

а)

б)

в)

г)

Далее будем работать с углами в радианах, т.к. это чаще используется в современной науке.

Ответ..

Задача №2. Вычислить.

В данном примере мы уже видим отрицательные аргументы. Типичная ошибка в данном случае – это просто вынести минус из-под функции и просто свести задачу к предыдущей. Однако это делать можно не во всех случаях. Вспомним, как в теоретической части урока мы оговаривали четность всех аркфункций. Нечетными из них являются арксинус и арктангенс, т.е. из них выносится минус, а арккосинус и арккотангенс – это функции общего вида, для упрощения минуса в аргументе у них имеются специальные формулы. После расчета во избежание ошибок проверяем, чтобы результат входил в область значений.

а)

б)

в)

г)

Когда аргументы функций упрощены до положительной формы, выписываем из таблицы соответствующие им значения углов.

Ответ..

Может возникнуть вопрос, почему бы не выписывать значение угла, соответствующего, например, сразу из таблицы? Во-первых, потому что таблицу до запомнить тяжелее, чем до, во-вторых, потому что отрицательных значений синуса в ней нет, а отрицательные значения тангенса дадут по таблице неверный угол. Лучше иметь универсальный подход к решению, чем запутаться в множестве различных подходов.

Задача №3. Вычислить.

а) Типичная ошибка в данном случае – это начать выносить минус и что-то упрощать. Первое, что необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения

.

Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя.

б) Стандартная ошибка в данном случае заключается в том, что путают местами значения аргумента и функции и дают ответ. Это неверно! Конечно, возникает мысль, что в таблице косинусу соответствует значение, но в таком случае перепутано то, что вычисляются аркфункции не от углов, а от значений тригонометрических функций. Т.е., а не.

Кроме того, поскольку мы выяснили, что является именно аргументом арккосинуса, то необходимо проверить, чтобы он входил в область определения. Для этого вспомним, что, т.е., а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя.

Кстати, например, выражение имеет смысл, т.к., но поскольку значение косинуса, равное не является табличным, то и вычислить арккосинус с помощью таблицы нельзя.

Ответ. Выражения не имеют смысла.

В данном примере мы не рассматриваем арктангенс и арккотангенс, т.к. у них не ограничена область определения и значения функций будут для любых аргументов.

Задача №4. Вычислить.

По сути дела задача сводится к самой первой, просто нам необходимо отдельно вычислить значения двух функций, а потом подставить их в исходное выражение.

Аргумент арктангенса табличный и результат принадлежит области значений.

Аргумент арккосинуса не табличный, но нас это не должно пугать, т.к. чему бы не был равен арккосинус, его значение при умножении на ноль даст в результате ноль. Осталось одно важное замечание: необходимо проверить принадлежит ли аргумент арккосинуса области определения, поскольку если это не так, то все выражение не будет иметь смысла в независимости от того, что в нем присутствует умножение на ноль. Но, поэтому мы можем утверждать, что имеет смысл и в ответе получаем ноль.

Ответ. 0.

Приведем еще пример, в котором необходимо уметь вычислить одну аркфункцию, зная значение другой.

Задача №5. Вычислить, если известно, что.

Может показаться, что необходимо из указанного уравнения вычислить сначала значение икса, а затем подставить его в искомое выражение, т.е. в арккотангенс, но этого делать не нужно.

Вспомним, по какой формуле связаны между собой указанные функции:

И выразим из нее то, что нам нужно:

Для уверенности можете проверить, что результат лежит в области значений арккотангенса.

Ответ:.

! Преобразования аркфункций с использованием их основных свойств

Теперь перейдем к серии заданий, в которых нам придется использовать преобразования аркфункций с использованием их основных свойств.

Задача №6. Вычислить.

Для решения воспользуемся основными свойствами указанных аркфункций, только обязательно проверяя при этом соответствующие им ограничения.

а)

б).

Ответ. а); б).

Задача №7. Вычислить.

Типичная ошибка в данном случае – это сразу же написать в ответ 4. Как мы указывали в предыдущем примере, для использования основных свойств аркфункций необходимо проверить соответствующие ограничения на их аргумент. Мы имеем дело со свойством:

 при

Но. Главное на этом этапе решения не подумать, что указанное выражение не имеет смысла и его нельзя вычислить. Ведь четверку, которая является аргументом тангенса, мы можем уменьшить при помощи вычитания периода тангенса, и это не повлияет на значение выражения. Проделав такие действия, у нас появится шанс уменьшить аргумент так, чтобы он вошел в указанный диапазон.

, т.к. поскольку, следовательно,, т.к.

Ответ..

Задача №8. Вычислить.

В указанном примере мы имеем дело с выражением, которое похоже на основное свойство арксинуса, но только в нем присутствуют кофункции. Его надо привести к виду синус от арксинуса или косинус от арккосинуса. Поскольку преобразовывать прямые тригонометрические функции проще, чем обратные, перейдем от синуса к косинусу с помощью формулы «тригонометрической единицы».

Как мы уже знаем:

В нашем случае в роли. Вычислим для удобства сначала.

Перед подстановкой его в формулу выясним ее знак, т.е. знак исходного синуса. Синус мы должны вычислить от значения арккосинуса, каким бы это значение ни было, мы знаем, что оно лежит в диапазоне. Этому диапазону соответствуют углы первой и второй четвертей, в которых синус положителен (проверьте это сами с помощью тригонометрической окружности).

Ответ..

На сегодняшнем практическом занятии мы рассмотрели вычисление и преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции