24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)

Промежутки возрастания и убывания функции

 Предположим, вы бросаете камень под углом к горизонту.

Как зависит дальность полёта от угла, под которым вы его бросите? Жизненный опыт подсказывает, что если бросить камень под очень маленьким углом, то он быстро упадёт на землю. А если под очень большим, то он поднимется высоко, но упадёт тоже не очень далеко. Значит, есть смысл до определённой степени увеличивать угол, но при каком-то значении угла дальнейшее его увеличение не будет увеличивать дальность полёта, а, наоборот, будет уменьшать.

Сразу оговоримся, что камень бросаем с одинаковой по модулю начальной скоростью, а также не учитываем сопротивление ветра и т.д. То есть камень падает только под действием силы тяжести. Определим, при каких изменениях угла дальность полёта будет возрастать, а при каких – убывать. Если мы сможем построить график зависимости дальности полёта от угла, то определить это не составит труда. Но лучше будет уметь определять промежутки возрастания и убывания функции, не прибегая к исследованию её графика. Для этого используется производная функции.

Ветка. Вывод формулы для дальности полёта

По оси  на тело действует сила тяжести, направленная вниз, поэтому движение будет равноускоренным. Запишем изменение ординаты с течением времени: . Знак минус, так как ускорение направлено вниз (против направления оси ).

По оси  движение тела равномерное, так как никакие силы не действуют. Запишем изменение абсциссы с течением времени: .

Из прямоугольного треугольника получаем:

Получаем: . Мы ищем расстояние, которое пролетит камень до падения. В этот момент времени . Решим уравнение: . Получим два значения времени: ; .

Нас интересует второй момент времени, так как в первый камень находился в самом начале своей траектории. Подставляем полученное значение в первую формулу: . Абсцисса точки в этот момент времени и будет равна расстоянию, которое преодолело тело.

Мы уже знаем примеры функций, которые монотонно возрастают на всей области определения. Например, , , . При  эти функции будут уже монотонно убывать. Также мы знаем примеры функций, которые на некоторых промежутках возрастают, а на некоторых – убывают. Например,  убывает на промежутке  и возрастает на промежутке . Давайте вспомним определение возрастания и убывания функции. Функция  монотонно возрастает на промежутке, если для любых ,: , то есть, чем больше , тем больше .

Функция  монотонно убывает на промежутке , если для любых , : , то есть, чем больше , тем меньше .

Ветка. Убывание/возрастание непрерывной функции в концах промежутка

Может показаться странным, что мы включаем точку, в которой производная равна нулю и происходит смена знака производной, и в промежуток возрастания, и в промежуток убывания.

Напомним, что, по определению, функция  монотонно возрастает на , если для любых , : . Но если в т.  производная функции равна нулю и меняет знак, то в ней у функции максимум, поэтому  для всех . Поэтому точку  можно включить в промежуток возрастания – определение будет выполняться. Аналогично для промежутка , на котором функция убывает.

Поэтому экстремум можно включать в оба промежутка – и возрастания, и убывания. Хотя правильнее считать, что функция в этой точке не растёт и не убывает. Ведь мы же не относим нуль ни к положительным, ни к отрицательным числам

Как определить, возрастает или убывает функция на том или ином интервале? Как мы уже знаем, скорость роста (или убывания) функции равна значению её производной. Можно показать, что непрерывная функция возрастает в окрестности точки только в том случае, если значение производной в этой точке положительно. И убывает, если отрицательно.

Ветка. Доказательство

Рассмотрим непрерывную функцию, которая возрастает в некоторой окрестности точки .

По определению производной в точке, . Если мы рассматриваем случай , то так как функция возрастает, то и . Значит, и числитель, и знаменатель дроби положительны, и производная в точке положительна. Аналогично получается, что для убывающей функции производная отрицательна.

Можно доказать и обратное утверждение: если производная положительна, то функция возрастает, а если отрицательна, то убывает.

Таким образом, мы получаем, что если функция дифференцируема в некоторой области (то есть в каждой точке промежутка у функции есть производная), то для определения промежутков возрастания/убывания функции в этой области достаточно вычислить производную функции и определить её знак.

Вернёмся к нашему примеру с дальностью полёта камня. Дальность полёта зависит от угла броска и начальной скорости следующим образом: . Вычислим производную от данной функции по углу: .

Нас будут интересовать значения угла от нуля до 90 градусов. Найдём нули производной:  . На промежутке  находится только один ноль производной: . Определяем знаки производной на интервалах и получаем, что дальность полёта растёт при увеличении угла от нуля до 45 градусов, а при дальнейшем увеличении угла дальность полёта начинает убывать. Из этого несложно сделать вывод, что дальность полёта будет максимальной при угле 45 градусов.

Пример

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение

Производная положительна в точке, если в окрестности этой точки функция дифференцируема, непрерывна и возрастает. Значит, подходящие точки: , , , .

Ответ: .

Пример

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Функция возрастает на тех промежутках, на которых ее производная неотрицательна. Значит, это промежутки , , , самый длинный из них , его длина равна 6.

Пример

На рисунке изображен график  производной функции  и восемь точек на оси абсцисс: , , , . В скольких из этих точек функция  возрастает?

Решение

Функция возрастает в тех точках, на которых ее производная принимает неотрицательные значения. Значит, нам подходят точки: , , .

Ответ: .

Пример

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение

Область определения функции: . Найдем производную заданной функции: . Теперь найдем критические точки, то есть точки, в которых производная равна 0 или не определена. Область определения функции  не ограничена, поэтому перейдем к поиску точек, в которых она равна нулю.

Критические точки разбивают область определения производной на три промежутка, найдем ее знак на каждом промежутке.

Функция возрастает на тех промежутках, на которых ее производная неотрицательна, то есть  возрастает на промежутках , .

Функция убывает на тех промежутках, на которых ее производная неположительная, то есть  убывает на промежутке .

Пример

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение

Область определения функции: : .

Найдем производную заданной функции: .

Теперь найдем критические точки, то есть точки, в которых производная равна 0 или не определена. Функция  не определена в точке .

Теперь найдем нули функции .

Критические точки разбивают область определения производной на три промежутка, найдем ее знак на каждом промежутке.

 возрастает на промежутках , .

 убывает на промежутке .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Уметь

• Находить производную функции.

• Решать неравенства методом интервалов.

Понимать

Функция возрастает в тех точках, в которых производная положительна, и убывает в тех точках, в которых производная отрицательна.

Экстремумы функции. Нахождение максимума/минимума функции на отрезке

Как мы выяснили в задаче про дальность полёта камня, максимальная дальность полёта достигается при угле 45 градусов, то есть в той точке, в которой производная равна нулю.

Действительно, если функция сначала росла, а затем начала убывать, то в точке, в которой произошла смена знака, она достигла своего максимума. И наоборот: если в точке функция сменила убывание на рост, то в этой точке она достигла минимума.

Определение

Точка называется точкой локального максимума, если существует её окрестность, для всех значений  которой, за исключением самой точки , выполнено неравенство . При этом  называется локальным максимумом.

Точка  называется точкой локального минимума, если существует её окрестность, для всех значений  которой, за исключением самой точки , выполнено неравенство . При этом  называется локальным минимумом.

Точки экстремума – это иксовые значения. Экстремумы – игрековые значения. Функция может иметь любое количество экстремумов. Например, у синуса бесконечно много локальных минимумов и максимумов.

Важно! Термин «локальный максимум» не тождественен термину «максимальное значение функции». Рассмотрим такой пример. Вы двигаетесь по холмистой местности. Предположим, вы шли в гору, и с некоторого момента начинаете двигаться вниз. Это значит, что вы взобрались на вершину холма (локальный максимум). Но ведь вы не можете знать, не начнётся ли через некоторое время движение опять в гору и не придётся ли вам взбираться на ещё более высокий холм. То есть если функция достигает в некоторой точке локальный максимум, то это означает только то, что в некоторой окрестности этой точки все значения функции будут меньше.

Можно рассмотреть и такой пример: если в вашем классе выбрали самого высокого мальчика, то он не обязательно будет самым высоким в школе. Но для вашего класса он (локально) будет самым высоким. С другой стороны, если среди всех классов школы отобрали самых высоких мальчиков, то искать самого высокого мальчика школы нужно именно среди них. То есть глобальный экстремум непрерывной функции (если она не уходит на плюс или минус бесконечность) можно искать только среди её локальных экстремумов. Например, любая парабола с отрицательным старшим коэффициентом имеет в своей вершине глобальный максимум. В задачах, если не оговорено иное, мы будем искать локальные экстремумы

Найдем экстремумы непрерывной дифференцируемой функции.

Как видим, слева от максимального значения функция возрастает, а справа – убывает. Аналогично для минимума: сначала функция убывает, затем возрастает. Значит, чтобы в точке у функции был экстремум, её производная в этой точке должна менять свой знак. То есть если производная функции в точке  меняет свой знак с минуса на плюс, то в этой точке у функции локальный минимум. Если же с плюса на минус, то – локальный максимум. При этом значение самой производной в этой точке должно равняться нулю.

Соответственно, алгоритм поиска локальных экстремумов следующий.

1) Найти нули производной.

2) Определить точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус: максимумы.

3) С минуса на плюс: минимумы.

Важно помнить, что если производная в точке равна нулю (такие точки называются стационарными), то это ещё не означает, что в этой точке у функции будет максимум или минимум. Рассмотрим, например, функцию . В точке  её производная равна нулю, однако не меняет знак, то есть остаётся положительной. И по графику мы видим, что в этой точке экстремума у функции нет. Таким образом, условие равенства производной нулю является необходимым, но не достаточным для существования экстремума.

Пример

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции .

Решение

Точками экстремума являются точки локального максимума или минимума функции, то есть те точки, в окрестности которых функция принимает не большие или не меньшие значения, чем значение функции в данной точке. Таких точек на графике семь.

Пример

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка  функция  принимает наибольшее значение?

Решение

На промежутке  производная  принимает неположительные значения, а значит, функция на этом промежутке убывает, поэтому наибольшее значение она принимает в левом конце отрезка, то есть в точке -3.

Пример

Функция  определена и непрерывна на отрезке . На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция принимает наименьшее значение, если .

Решение

Наименьшее значение функция может принимать в точках минимума или на концах области определения. Необходимо найти точки минимума функции, то есть те точки, в которых производная равна нулю и меняет свой знак с минуса на плюс. Такая точка одна: 3. Значение функции в точке 5 не может быть меньше значения функции в точке 3, так как на промежутке  – функция возрастает. А значение функции в точке  больше значения функции в точке 5 по условию (), следовательно, оно также не может быть меньше, чем значение функции в точке 3.

Ответ: наименьшее значение функция принимает в точке 3.

Кроме нахождения локальных экстремумов функции на всей области определения, может возникнуть задача исследовать функцию на каком-то отрезке. Найдем максимум или минимум непрерывной и дифференцируемой функции на отрезке. Мы можем найти все локальные экстремумы функции на этом отрезке (достаточно найти все точки локальных экстремумов и выбрать из них те, которые принадлежат рассматриваемому отрезку). Однако мы не знаем, как себя ведёт функция вне концов отрезка, поэтому возможны ситуации, когда функция достигает экстремальное значение на концах отрезка.

Поэтому алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке выглядит следующим образом.

1) Найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку.

2) Найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка.

3) Выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Пример

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

Решение

Функция определена на всём отрезке. Найдем ее производную: .

Найдём критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не определена. Производная не определена в точке . Производная равна нулю в точке .

Рассматриваемому отрезку  принадлежит только одна точка экстремума (минимума): . Найдем значение заданной функции в этой точке и на концах отрезка.

Поскольку натуральный логарифм – монотонно возрастающая функция, то . Значит, . Получаем, что минимальное значение: .

Пример

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Пример

Вычислим производную: . Приравняем её к нулю: . На указанном промежутке только один ноль производной: . Вычислим значение функции в концах промежутках и в нуле производной.

Максимальное значение функции на отрезке равно 12.

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Условие существования экстремума функции.

Уметь

Находить нули производной.

Понимать

Экстремальные значения функции на отрезке могут достигаться не только в точках локальных экстремумов, но и на концах отрезка.

Выпуклость функции. Точки перегиба

Рассмотрим графики двух парабол:  и . Про первую параболу говорят, что она выпукла вниз, а про вторую – что она выпукла вверх. Глядя на графики, интуитивно это понятно. Найдем отличия этих функций. Если мы соединим любые две точки первой параболы, то график окажется под отрезком. А если второй, то над отрезком.

Хоть это и нельзя назвать строгим определением выпуклости функции, для рассматриваемых нами гладких функций этого достаточно. Но определить, на каком промежутке функция выпукла вверх, а на каком – вниз, по такому определению не всегда можно. Для этого надо уметь строить график функции. Но если бы мы умели находить такие промежутки без графика, то, наоборот, могли бы использовать полученные результаты для построения графика функции. Для этого применяется вторая производная функции.

Если вторая производная положительна, то функция выпукла вниз, а если отрицательна, то вверх. Запомнить это легко с помощью рассмотренных парабол. У  вторая производная равна 2, то есть положительна, а сама парабола выпукла вниз (её график вы вряд ли забудете), а  – вторая производная отрицательна, а сама парабола выпукла вверх.

Если же вторая производная меняет свой знак в некоторой точке, то эта точка называется точкой перегиба, то есть в этой точке функция меняет направление своей выпуклости.

Примером такой точки может быть точка ноль для кубической параболы: . Рассмотрим несколько примеров на нахождение промежутков выпуклости функции с использованием второй производной.

Пример

Найти интервалы выпуклости вверх и вниз и точки перегиба графика .

Решение

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдём вторую производную:

Найдём критические точки второй производной.

Определим знаки второй производной на полученных интервалах.

Таким образом, график функции  является выпуклым на интервале  и вогнутым на . При переходе через  вторая производная меняет знак, поэтому в данной точке существует перегиб графика.

Пример

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика .

Решение

Функция определена и непрерывна на . Найдем вторую производную.

Найдём критические точки второй производной.

,

Определим знаки второй производной на интервалах.

Таким образом, график функции  является выпуклым на интервале  и вогнутым на , . В обеих критических точках существуют перегибы графика (так как вторая производная при переходе через них меняет знак).

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Как зависит выпуклость функции от знака её второй производной в точке.

Уметь

Вычислять значение первой и второй производной функции в точке.

Экстремальные задачи

В жизни мы иногда сталкиваемся с задачами на поиск оптимального решения. Например, при покупке обуви в магазине. Предположим перед вами выбор: купить недорогую обувь , срок изнашиваемости которой – полгода. Или купить дорогую обувь , срок изнашиваемости которой – 3 года. Понятно, что в первом случае вы одномоментно тратите меньше денег, чем во втором случае, но зато на длинной дистанции можете потратить значительно больше (за три года вам придётся купить 6 пар недорогой обуви) – всё зависит от соотношения стоимости и целей использования обуви.

Или если туристы собираются идти в поход, то они могут набрать много воды, но тогда они быстро устанут от тяжести и не смогут уйти далеко. А если воды взять мало, то она быстро закончится, и они тоже не смогут далеко уйти.

Наконец, с похожей проблемой мы столкнулись в задаче про бросание камня: слишком пологая или слишком навесная траектории уменьшали дальность бросания камня. В любом случае, когда у нас есть два и более параметра, которые меняются в противоположные стороны, то возникает задача на оптимизацию. Необходимо подобрать соотношение параметров таким образом, чтобы интересующий нас результат был оптимальным. 

Ветка. Задача Дидоны

Представим, что нам дана нитка и задача ограничить на карте государство наибольшей площади. Как нам поступить?

Наибольшую площадь мы выделим, если ограничим круг. Так и сделала Дидона.

Согласно легенде, город Карфаген основала Дидона. Она попросила местного царя предоставить ей участок земли для создания небольшого поселения. Царь долго не соглашался, но в итоге разрешил Дидоне и её свите взять себе столько земли, на сколько хватит шкуры одного быка. Забив самого большого быка, которого только смогли найти её люди, Дидона разрезала его шкуру на очень узкие полоски и обнесла ими максимальную по площади территорию, выложив их в форме окружности. Царь был удивлён и покорён умом Дидоны и отдал ей то, что она просила.

Вывод можно сформулировать так: кривая заданной длины будет ограничивать фигуру максимальной площади, если она является окружностью

Пример

Имеется проволока длины . Требуется согнуть её так, чтобы получился прямоугольник, ограничивающий по возможности наибольшую площадь.

Решение

Обозначим одну из сторон прямоугольника через . Тогда другая его сторона будет , а площадь  или . Поскольку мы ищем прямоугольник максимальной площади, то нам необходимо найти максимум этой функции. Такую задачу мы уже умеем решать.

Вычисляем производную и находим её нули: ; . Слева от этой точки производная положительна, справа отрицательна. Значит, в этой точке функция достигает максимума.

Тогда другая его сторона будет , т.е. наш прямоугольник оказывается квадратом. Полученное решение задачи можно резюмировать в форме следующей теоремы.

Теорема: из всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.

Проанализируем ход решения задачи. Сначала мы обозначили за неизвестное параметр , который мы можем менять. В данном случае это была сторона прямоугольника. Затем выразили параметр, который мы оптимизируем (в данном случае – площадь) через , используя данные в условии ограничения (периметр прямоугольника должен равняться длине проволоки). Дальше задача сводится к уже известной – найти максимум или минимум функции. В конце необходимо проанализировать полученный результат (понятно, что сторона прямоугольника не могла иметь отрицательную длину и т.п.).

Запишем этот алгоритм в виде схемы.

1) Выделить изменяемый параметр, который мы ищем.

2) Выразить оптимизируемую величину через параметр из п.1, используя данные в условии ограничения.

3) Найти экстремум полученной в п.2 функции и значения изменяемого параметра, при которых он достигается.

4) Проанализировать полученные результаты.

Пример

Из имеющихся досок можно построитъ забор длиною в 200 м. Требуется огородить этим забором прямоугольный двор наибольшей площади, используя для одной стороны двора стену.

Трехчлен теорема производная функция.

Решение

Обозначим (черт. 2) одну из сторон двора через . Тогда другая его сторона будет равна , а его площадь будет:

Наибольшее значение этой функции достигается ею при . Итак, сторона двора, перпендикулярная к стене, должна равняться 50 м, откуда для стороны, параллельной стене, получается значение 100 м, т.е. двор должен иметь форму половины квадрата.

Пример

Разложить данное положительное число  на два слагаемых так, чтобы их произведение оказалось наибольшим.

Решение

Обозначим одно из искомых слагаемых через . Тогда второе слагаемое будет равно , а их произведение  или .

Наибольшее значение при . В таком случае  и, стало быть, оба слагаемых должны быть равны друг другу. Например, число 30 допускает такие разложения.

Все полученные произведения меньше, чем .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

Алгоритм решения задач на оптимизацию.

Уметь

Находить экстремум функции.

Исследование функции

Cформулируем схему исследования функции.

1) Область определения функции и, если возможно, область значений функции.

2) Нули функции (точки пересечения с осью ) и точка пересечения с осью .

3) Чётность/нечётность, периодичность функции.

4) Промежутки монотонности, экстремумы (первая производная).

5) Выпуклость функции, точки перегиба (вторая производная).

6) График функции.

Пример

Провести полное исследование и построить график функции: .

Решение

1) Область определения функции: : .

2) Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью : . Пересечение с осью : .

Следовательно, график функции пересекает обе координатные оси в начале координат .

3) Область определения функции симметрична относительно начала координат и .

Следовательно, функция четная, ее график симметричен относительно оси .

4) Найдем производную функции и критические точки первого рода. Имеем:

.

Критическая точка  и точки разрыва  разбивают область определения функции на четыре части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, функция возрастает на интервалах  и , функция убывает на интервалах  и . Точка  – точка максимума. Максимум функции: .

5) Найдем вторую производную функции. Получаем:

График функции не имеет точек перегиба. Точки разрыва  разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервалах  и .

6) На основании проведенного исследования строим следующий график.

Пример

Провести полное исследование и построить график функции .

Решение

1) Область определения функции: : .

2) Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью : .

Пересечение с осью : .

Следовательно, график функции пересекает обе координатные оси в начале координат  и пересекает ось  еще и в точке .

3) Область определения функции симметрична относительно начала координат, но .

Следовательно, функция общего вида и ее график не является симметричным относительно оси  или начала координат.

4) Найдем производную функции и критические точки первого рода. Имеем:

Таким образом, критическими точками первого рода являются точки , , . Критические точки разбивают область определения функции на четыре части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, функция возрастает на интервалах  и , функция убывает на интервале . Точка  – точка максимума, точка  – точка минимума. Максимум функции и минимум функции:

; .

5) Найдем вторую производную функции и критические точки второго рода. Имеем:

Таким образом, критическими точками второго рода являются точки , . Критические точки разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:

Следовательно, график функции выпуклый на интервале , график функции вогнутый на интервале . Точка  – точка перегиба графика функции.

6) На основании проведенного исследования строим следующий график.                                      

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели связь производной и монотонности функции. Научились находить экстремальные точки функции, а также экстремумы функции на отрезке и решать экстремальные задачи. Кроме того, изучили связь второй производной и выпуклости функции, а также провели полное исследование нескольких функций.

На следующем уроке мы рассмотрим интегралы.

Ссылки на роки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)

2. Построение графика функции f(x)=x3-3x+4 с помощью производной, сопутствующие задачи (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)

3. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)

4. Исследование функции y=3x5-5x3+2 с помощью производной (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)

5. Исследование функций (Алгебра, 11 класс, раздел «Повторение»)

6. Исследование функций  (Алгебра, 11 класс, раздел «Повторение курса Алгебры 10 класс»)

7. Исследование функции y=(x3-4)÷(x-1)3 и сопутствующие задачи (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)

8. Исследование функции, ее график, сопутствующие задачи на примере функции f(x)=3x5-5x3+2. Задача с параметром (Алгебра, 10 класс, раздел «Производная»)

9. Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции) (Алгебра, 11 класс, раздел «Повторение»)