24. Экстремальные задачи. Нахождение экстремумов функции (на оси и на отрезке) (основной урок)

Промежутки возрастания и убывания функции

Непрерывная функция возрастает в окрестности точки только в том случае, если значение производной в этой точке положительно. И убывает, если отрицательно.

Верно и обратно утверждение: если производная положительна, то функция возрастает, а если отрицательна, то убывает.

Таким образом, если функция дифференцируема в некоторой области (то есть в каждой точке промежутка у функции есть производная), то для определения промежутков возрастания/убывания функции в этой области, достаточно вычислить производную функции и определить её знак.

Экстремумы функции. Нахождение максимума/минимума функции на отрезке

Точка  называется точкой локального максимума, если существует её окрестность, для всех значений  которой, за исключением самой точки , выполнено неравенство . При этом  называется локальным максимумом.

Точка  называется точкой локального минимума, если существует её окрестность, для всех значений которой, за исключением самой точки , выполнено неравенство . При этом  называется локальным минимумом.

Точки экстремума – это иксовые значения. Экстремумы – игрековые значения.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Замечание: термин «локальный максимум» не тождественен термину «максимальное значение функции».

Таким образом, если производная функции в точке  меняет свой знак с минуса на плюс, то в этой точке у функции локальный минимум. Если же с плюса на минус, то – локальный максимум. При этом значение самой производной в этой точке должно равняться нулю.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна  или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

• найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,

• найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,

• выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Выпуклость функции. Точки перегиба

Если вторая производная положительна, то функция выпукла вниз, а если отрицательна – то вверх. (Например, у  вторая производная равна , то есть положительна, а сама парабола выпукла вниз, а  – вторая производная отрицательна, а сама парабола выпукла вверх).

Если же вторая производная меняет свой знак в некоторой точке, то эта точка называется точкой перегиба, то есть в этой точке функция меняет направление своей выпуклости (примером такой точки может быть точка ноль для кубической параболы: ).

Экстремальные задачи

Когда есть два параметра и более, которые меняются в противоположные стороны, то возникает задача на оптимизацию. Необходимо подобрать соотношение параметров таким образом, чтобы интересующий нас результат был оптимальным.

Алгоритм решения экстремальных задач:

1. Выделить изменяемый параметр, который мы ищем.

2. Выразить оптимизируемую величину через параметр из п. 1, используя данные в условии ограничения.

3. Найти экстремум полученной в п. 2 функции и значения изменяемого параметра, при которых он достигается.

4. Проанализировать полученные результаты.

Некоторые выводы из решенных экстремальных задач:

• кривая заданной длины будет ограничивать фигуру максимальной площади, если она является окружностью;

• из всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.

Исследование функции

Схема исследования функции:

• Область определения функции и, если возможно, область значений функции.

• Нули функции (точки пересечения с осью ) и точка пересечения с осью .

• Чётность/нечётность, периодичность функции.

• Промежутки монотонности, экстремумы (первая производная).

• Выпуклость функции, точки перегиба (вторая производная).

• График функции.