06. Кинематика

Введение

Мы каждый день решаем задачи, связанные с движением: догоняем автобус, который отъезжает от остановки; определяем, что машина ещё достаточно далеко, чтобы успеть перейти дорогу; бросаем мяч так, чтобы он не достался противнику; срезаем путь, чтобы догнать друга, и т. д. Эти задачи мы решаем без использования формул и расчётов, почти не задумываясь.

А футболисты умеют отдавать пас на ход (см. рис. 1) без помощи математики и физики. Они знают, как именно для этого нужно ударить по мячу, хотя точно вычислить это непросто.

Нет также принципиальной разницы: рассчитывать движение мяча или спутника на орбите. Сила науки в том, что технология решения разрабатывается для одних задач и затем используется во множестве других случаев.

Путь и траектория

Движение — это изменение положения тела: было в одном месте, а оказалось в другом. Утром вы вышли из дома, сходили в школу и вернулись обратно. Двигались ли вы? Конечно. Но оказались там же, где были изначально, как будто и не двигались с места. Длина пройденного маршрута и расстояние, на которое вы в результате переместились, могут оказаться разными понятиями.

От точки А до точки В можно добраться многими способами (см. рис. 2). Но результат будет один и тот же — из точки А вы переместитесь в точку В. Длину отрезка, соединяющего точку, где объект начал своё движение, и точку, где закончил, назовём модулем перемещения. Если вы сходили в школу и вернулись домой, то начальная и конечная точки движения совпали — перемещение равно нулю.

В перемещении важна не только длина отрезка, но и направление движения. Строго говоря, перемещение из точки А в В и из В в А — это не одно и то же. Подробнее об этом — далее в уроке.

Линия, вдоль которой вы двигались, чтобы переместиться из А в В, называется траекторией. Длину траектории называют путём. Всё, что вы сегодня прошли, если нарисовать эту линию (см. рис. 3) и посчитать её длину, – это преодолённый вами путь.

Физика и предприниматель

В Индии приняли закон, по которому расстояние от кафе до дороги должно быть не менее 500 метров. Один предприимчивый владелец заведения выполнил данное требование (см. рис. 1): путь от дороги до кафе составляет 520 метров, потому что попасть в него можно, только пройдя по лабиринту. При этом перемещение человека, который прошёл путь 520 метров от дороги до кафе, окажется значительно меньше 500 метров.

В повседневной жизни словом «путь» мы называем не только длину траектории, но и саму траекторию: «Пойти в школу по короткому пути? Или по пути зайти в магазин?» Путей до школы может быть много, но перемещение будет одним и тем же (см. рис. 4).

По длинному пути мы путаемся — у слов «путь» и «путаться» одинаковое происхождение.

Выход из лабиринта

Как выйти из лабиринта? Можно надеяться на удачу и идти наугад, но существует надёжный способ: необходимо всё время идти вдоль одной стены (например, той, за которую вы держитесь левой рукой), куда бы она ни сворачивала. Если эта стена соединена с внешней стеной лабиринта, то рано или поздно мы обязательно должны будем пройти через выход (см. рис. 1). Если у лабиринта есть вход и мы начинаем с него, то выход точно найдём (вход, как и выход, находится на внешней стене).

Если же мы начинаем обход изнутри лабиринта, то выбранная стена может оказаться не соединена с внешней. Тогда она представляет собой что-то наподобие острова (см. рис. 2), и мы, обойдя её, вернёмся в ту же точку, из которой начали (поэтому полезно отмечать стену, вдоль которой уже прошли). Тогда нужно найти другую стену, не соединённую с первой, и также её обойти. В итоге рано или поздно выход будет найден.

Этот подход мы можем применять для описания других примеров движения. Например, конец минутной стрелки за час возвращается в исходное положение: его перемещение равно нулю, , а путь равен длине траектории (окружности),  (см. рис. 5).

Похожая ситуация с движением Земли вокруг Солнца: за год перемещение Земли относительно Солнца равно нулю, а путь — .

Рассмотрим такую ситуацию: два человека выехали из Казани в Сочи. Один полетел на самолёте с пересадкой в Москве, а второй поехал на машине. Траектории движения разные, пути разные. А вот перемещение будет одно: они встретятся в Сочи, как и договаривались (см. рис. 6).

Ещё один пример — такси. При заказе машины мы указываем начальную и конечную точки пути. То есть нас интересует перемещение. Но при расчёте стоимости поездки учитывается объём бензина, который водитель потратил на выполнение заказа, а он зависит от пути. Если место назначения находится на противоположном берегу реки и по прямой до него 300 метров, мы всё равно заплатим за те 5 километров пути, которые мы проехали в объезд по мосту (см. рис. 7).

Путь не может быть меньше перемещения. Отрезок, соединяющий две точки, — это кратчайшее расстояние между ними. Поэтому длина любой другой траектории между двумя точками будет больше, чем длина отрезка (см. рис. 8). Путь совпадает с перемещением, если тело движется по прямой, во всех остальных случаях путь больше перемещения.

«По газонам не ходить»

Почему люди норовят пройти по газону, когда это запрещено? Обычно мы выбираем путь, который сможем пройти быстрее всего. Очевидно, что при одной и той же скорости выбор падает на самый короткий путь. Кратчайший путь между двумя точками — отрезок прямой. Действительно, если идёшь прямо к цели, то путь совпадает с перемещением (см. рис. 1).

В геометрии это свойство называется «неравенством треугольника»: любая сторона треугольника короче суммы длин двух других сторон. Иногда мы ищем кратчайший путь не между двумя точками, а от точки до прямой. Так, самым коротким путём до дороги в поле будет отрезок, перпендикулярный дороге. В геометрии это формулируется так: кратчайшее расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра (см. рис. 2).

Скорость движения

Вы гуляете с собакой. Пока вы прошли 100 метров, она успела пробежать очень длинную запутанную траекторию и прибежать одновременно с вами. Вы проделали гораздо меньший путь, чем собака, но время на него затратили одинаковое. Значит, собака двигалась быстрее. Речь идёт о скорости движения.

Скорость — это количество пути за единицу времени. Нас интересует, какое расстояние преодолевает тело за единицу времени. Мы знаем, что перемещение за единицу времени и путь за единицу времени — это часто не одна и та же скорость. Что такое перемещение за единицу времени? Назовем эту величину скоростью по перемещению. Её можно рассматривать как скорость продвижения к цели.

Вернёмся к примеру с такси. Мы за 15 минут в объезд доехали до места назначения, которое изначально было в 300 метрах от нас — это наше перемещение. Значит, можно считать, что мы каждую минуту становились в среднем на 300/15 = 20 метров ближе к цели. Скорость по перемещению равна 20 м/мин. Для задачи о такси эта информация бесполезна, а вот для других задач скорость по перемещению может быть информативной.

Чтобы оценить скорость работы почтальона, который разносит почту в каждый из домов на улице, не нужно считать длину его довольно сложной траектории (см. рис. 9). Достаточно рассмотреть его перемещение из начала улицы в конец. Если этот участок он обошёл за час, то можно оценить время обхода всех улиц района.

Теперь рассмотрим пройденный за единицу времени путь. Назовем эту величину путевой скоростью. Мы говорим: скорость автомобиля 50 км/ч. Это значит, что машина проезжает за час 50 км, независимо от формы траектории.

,

или

  — скорость (от лат. Vēlōcitās);

— время (от лат. Tempu);

— расстояние (путь).

Путь — это длина траектории, измеряется в метрах, километрах, милях и т. д. В СИ длина измеряется в метрах. Единицы измерения времени в СИ — это секунды. Так как скорость — это путь, поделённый на время, то измеряется она в единицах пути за единицу времени: в м/с (в СИ).

Задача

Навстречу друг другу из точки А и точки Б одновременно выехали два велосипедиста (см. рис. 10). Один ехал со скоростью 18 км/ч, а другой — 24 км/ч. Они встретились через полчаса. Какое расстояние между точками А и Б?

Нам известна скорость каждого из велосипедистов, обозначим их  и . Скорость — это, по определению, путь, делённый на время движения. Отсюда:

 и

Велосипедисты проехали каждый свой путь  и  и встретились, вместе эти отрезки составляют расстояние между точками А и Б. Обозначим его буквой .

На этом физика закончилась, условие задачи переписано в виде уравнений, теперь остаётся их решить.

Нам нужно найти расстояние между точками, . Пути  и  мы пока тоже не знаем, но можем выразить их через время движения и скорости велосипедистов.

Подставляем их в третье уравнение и получаем:

Остаётся провести вычисления.

Ответ: 21 км.

Решив одну задачу, мы решили множество похожих

Навстречу друг другу из точки А и точки Б выехали два велосипедиста. Первый выехал на 10 минут раньше и ехал со скоростью 18 км/ч, а второй — со скоростью 24 км/ч. Они встретились через полчаса после отправления второго велосипедиста. Какое расстояние между точками А и Б?

 и

Первый велосипедист был в пути на 10 минут больше времени, обозначим эти 10 минут  и запишем .

На этом физика заканчивается, причём отличие от первой задачи — только в одном уравнении: . Остается математика: выразить из записанных уравнений .

Остаётся математика: выразить из записанных уравнений . Выразим из первых двух уравнений пути и . Учитываем, что  – это , а  – это .

А если бы велосипедисты ехали не навстречу друг другу, а второй велосипедист догонял бы первого? Тогда путь второго велосипедиста был бы равен пути первого велосипедиста плюс расстояние между ними в начале движения:  — отличие всего лишь в одном уравнении.

Измерение скорости

Всё ли можно наблюдать и измерять непосредственно? Нет. Например, общаясь с людьми, мы наблюдаем их действия и слова, а по ним судим о намерениях, характере — «вычисляем» их. Мы не наблюдаем ветер. Мы наблюдаем колыхание веток, вращение флюгера, поднявшуюся пыль и по этим признакам «вычисляем» ветер, его направление и силу. Есть измеряемые и вычисляемые характеристики.

Рассмотрим движение автомобиля. Наблюдаем ли мы его скорость, можем ли измерить её непосредственно? Нет. Чтобы судить о скорости, нам нужно понаблюдать за автомобилем некоторое время. Только тогда мы сможем увидеть, большой ли путь он проедет за это время. То есть то, что мы непосредственно измеряем, — это путь и время. Измеряя путь, мы сравниваем его с эталоном: метром или сантиметром, миллиметром. Время тоже можно измерить, достаточно взять секундомер. А скорость мы вычисляем как путь за единицу времени. Спидометр в машине не измеряет скорость (не сравнивает её с эталонной скоростью), а измеряет среднее значение времени, за которое автомобиль проходит определённый путь. И показывает отношение измеренного пути к измеренному времени.

Как работает спидометр?

Спидометр — это измерительный прибор для определения скорости движения.

Скорость непосредственно не измеряется. Поэтому спидометры не измеряют скорость, а определяют её с помощью измерения других величин: пути и времени.

Существует множество видов спидометров, но принцип определения скорости у большинства из них один: считать количество оборотов колёс автомобиля за единицу времени. Например, к подвижной части колеса крепится магнит, который при каждом обороте проходит мимо специального устройства. Количество контактов магнита и устройства — это количество оборотов колеса за фиксированное время. Понятно, что за один оборот тело проходит путь, равный длине окружности колеса.

Значит, скорость можно вычислить по формуле:

где — количество оборотов колеса за время , а — радиус колеса. Бывают спидометры и с другим принципом работы.

Система отсчета. Изменение скорости

Представим, что вы нашли записку, в которой сказано, как найти клад: «От дуба пройти по дороге 50 метров». Путь нам задан — 50 метров. Будет ли этого достаточно, чтобы найти клад? Даже если мимо дуба проходит одна дорога, то информации не хватит: можно пойти влево, а можно вправо. Если принять одно направление положительным, а другое отрицательным, то перемещение в одном случае будет +50 м, в другом –50 м (см. рис. 11).

А если от дуба отходит несколько дорог? Или в записке сказано: «От дуба пройти 50 метров», а дуб стоит в чистом поле? В таком случае клад может находиться в любой точке окружности радиусом 50 метров и одного числа недостаточно.

На плоскости перемещение можно задать двумя числами, например 30 метров на север и 40 метров на восток (см. рис. 12), количество метров на юг и запад отметим знаком «минус».

Можно обозначить перемещение двумя другими числами: расстояние до точки, то есть наши 50 метров, и направление, например 53 градуса от северного направления по часовой стрелке (см. рис. 13).

В трёхмерном пространстве для того, чтобы задать перемещение, нужно третье число. Так, чтобы описать точное положение клада, помимо координат точки, где копать, на поверхности, нужно указать и глубину, на которой клад закопан (см. рис. 14).

Дуб и дорога — это пример координатной прямой, дуб и направления на север и восток — координатная плоскость.

Поскольку перемещение — это движение из точки А в точку Б, то, чтобы его задать, нужно знать координаты точек А и Б. Если точку начала движения поместить в начало координат, то её координаты всегда будут равны 0. Тогда перемещение можно задать координатами точки Б.

Такое представление величин как пары чисел на плоскости (или тройки чисел в пространстве) — это математический инструмент, который называется вектор. В физике его удобно использовать для величин, которые характеризуются численным значением (его ещё называют абсолютным значением, или модулем вектора) и направлением. Обозначать их договорились, добавляя стрелку над буквой: . Как отделить перемещения из точки А в точку Б и из точки Б в точку А? Используя вектор, мы учитываем, что у этих перемещений противоположные направления. Скорость перемещения тоже задаётся вектором (необходимо знать, как быстро движется тело и в каком направлении). Тело можно толкать одинаково сильно в разных направлениях, и результат будет разный, — речь о направлении силы, которую мы изучим чуть позже. Путь мы вектором считать не можем — это просто количество пройденных метров, независимо от направления или формы траектории.

Рассмотрим такой пример: тело за 10 с прошло 80 м. Найдём его скорость:

Значит ли это, что тело за любую секунду проходит 8 метров? Не обязательно. Тело за какую-то секунду может пройти 7,5 м, а за какую-то 8,5 м. А может большую часть времени двигаться со скоростью 5 м/с, а потом разогнаться до 15 м/с и всё наверстать. 8 м/с — это средняя скорость на данном участке пути, чтобы её найти, нужно весь путь разделить на всё время:

Средняя скорость. Задача

Велосипедист выехал на прогулку. Первую часть пути он ехал по асфальтированной дорожке со скоростью 20 км/ч на протяжении 15 минут. Вторую часть пути он ехал по грунтовой дороге со скоростью 10 км/ч на протяжении 45 минут. Определите среднюю скорость велосипедиста.

Обозначим скорость на первой и на второй части пути:

Средняя скорость всей прогулки — это полный путь за всю прогулку, делённый на время всей прогулки. Прогулка разбита на два участка, поэтому:

Физика на этом закончилась, осталось решить уравнения.

Из первых двух уравнений:

Подставим:

Теперь подставим численные значения, время запишем в часах, чтобы все величины были в одних единицах (скорость у нас в км/ч).

В ряде задач мы можем пренебречь изменениями скорости и считать движение равномерным (от «равные меры») — это такое движение, при котором за одинаковые промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения или проходит одинаковый путь. В нашем случае мы могли принять, что тело за любую секунду проходит 8 м.

Мы можем взять меньший участок пути и посчитать среднюю скорость на этом участке, и в нашем примере получим те самые 5 или 15 м/с. Можем посчитать скорость на очень малом участке или за очень малый отрезок времени, назовём его мгновением. Тогда получим скорость в конкретное мгновение — назовём её мгновенной скоростью.

Если мы рассматриваем равномерное движение, то скорость в любой момент времени одна и та же. Но, если тело не двигалось, а затем пришло в движение, его скорость обязательно должна была измениться. Сначала она была равна нулю, потом 0,5 м/с, потом 1, 1,5 и т. д. Аналогичная ситуация при торможении, только теперь скорость уменьшается до нуля (см. рис. 15).

Как быстро при этом изменялась скорость? Есть смысл ввести ещё одну величину — это скорость изменения скорости. Она обозначает, на сколько метров в секунду изменяется скорость каждую секунду. Эту величину назвали ускорение.

Это отношение изменения скорости  к промежутку времени , на протяжении которого скорость изменилась на . Ускорение по-английски — acceleration, поэтому его принято обозначать «a». Тогда запишем определение в виде формулы:

О направлении ускорения

Скорость — величина направленная. Поэтому изменяться она может как по модулю, так и по направлению. Ускорение — это скорость изменения скорости. Но как учесть, что скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться на одно и то же значение? Ведь это будет не одно и то же ускорение. Ускорение, как и скорость, будем считать векторной величиной. И тогда, если скорость увеличивается, то считаем, что ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость, а если уменьшается — в противоположную. Если одно из направлений принять за положительное, то это направление будет обозначаться знаком «+», а противоположное направление тогда будет отрицательным и обозначаться знаком «–». При таком рассмотрении, если скорость тела по модулю увеличивается, то скорость и ускорение одного знака, а если уменьшается — противоположного (рис. 1).

Например, если скорость положительна и , то есть она уменьшается, то ускорение  получится отрицательным.

Относительность движения

Что еще нужно понимать, чтобы описывать и предсказывать движение тел?

Вы сейчас сидите перед экраном неподвижно. Прямо сейчас наша планета движется со скоростью 108 тысяч километров в час вокруг Солнца. Хотя относительно комнаты, в которой вы находитесь, ваша скорость равна нулю. Значит, описание движения зависит от того, относительно чего мы это движение рассматриваем. В физике это называется относительностью движения.

Ещё один пример. Наверное, вам приходилось ездить в поездах? Провожающие стоят на перроне, пассажиры и их чемоданы в вагоне неподвижны. После отправления для провожающих пассажиры и поезд начали движение с одинаковой скоростью. Относительно же пассажиров вагон и все предметы в нём остались неподвижны, а двигаться начал перрон с провожающими. Набоков хорошо описал это в начале своего романа «Король, дама, валет».

Относительность движения у Набокова

«Огромная, чёрная стрела часов, застывшая перед своим ежеминутным жестом, сейчас вот дрогнет, и от её тугого толчка тронется весь мир: медленно отвернётся циферблат, полный отчаяния, презрения и скуки; столбы, один за другим, начнут проходить, унося, подобно равнодушным атлантам, вокзальный свод; потянется платформа, увозя в неведомый путь окурки, билетики, пятна солнца, плевки; не вращая вовсе колесами, проплывет железная тачка; книжный лоток, увешанный соблазнительными обложками, — фотографиями жемчужно-голых красавиц, — пройдёт тоже; и люди, люди, люди на потянувшейся платформе, переставляя ноги и всё же не подвигаясь, шагая вперёд и всё же пятясь, — как мучительный сон, в котором есть и усилие неимоверное, и тошнота, и ватная слабость в икрах, и лёгкое головокружение, — пройдут, отхлынут, уже замирая, уже почти падая навзничь...»

Список рекомендованной литературы

1. Пёрышкин А. В. Физика. 7 кл. — 14-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2010.

2. Пёрышкин А. В. Сборник задач по физике, 7–9 кл.: 5-е изд., стереотип. — М: Экзамен, 2010.

3. Лукашик В. И., Иванова Е. В. Сборник задач по физике для 7–9 классов общеобразовательных учреждений. — 17-е изд. — М.: Просвещение, 2004.

Проверь себя

1. Человек находится на движущемся эскалаторе. Будет ли человек двигаться относительно Земли и относительно эскалатора?

2. Какие величины в данном уроке считаются векторными и почему?

3. Велосипедист равномерно двигался по трассе со скоростью 8 м/с, затем дорога ушла резко вниз и скорость велосипедиста увеличилась в два раза за 10 с. Найти ускорение движения велосипедиста.