54. Силы упругости (основной урок)

Деформация. Природа деформации

При ударе о пол мяч немного сжимается, но после отскока восстанавливает круглую форму; сетка батута сначала прогибается при падении акробата на нее, а затем выпрямляется и подбрасывает акробата; если вы растянули пружины эспандера, а потом перестали их тянуть, то пружины сожмутся до своей первоначальной длины.

Упомянутые предметы сделаны из упругих (эластичных) материалов или устройств (резина, капроновая веревка, стальная пружина). Есть и неупругие (пластичные) материалы такие, как свинец, глина, пластилин, тесто и пр. Под воздействием других тел они могут деформироваться, но не возвращаются к первоначальной форме после прекращения действия сил.

Деформации и упругость – свойства не только твердых тел. Жидкости и газы не сохраняют форму, поэтому деформация их формы не вызывает упругих сил. Но попытка сжатием изменить их объём вызывает упругую реакцию.

С атомарной точки зрения упругое поведение возникает из взаимодействия атомов. На рисунке силы взаимодействия атомов моделируются пружинками.

Силы притяжения между атомами преобладают над силами отталкивания при увеличении расстояния между атомами.

И, наоборот, отталкивание преобладает при сближении атомов.

На определённом расстоянии между атомами эти силы уравновешиваются.

При сжатии тела межмолекулярное расстояние уменьшается, начинают преобладать силы отталкивания; при растяжении тела всё происходит наоборот. Таким образом, сила упругости всегда возникает при деформации тела, направлена противоположно деформации и стремится вернуть тело в начальное состояние.

Один и тот же материал может быть упругим или пластичным в зависимости от силы, времени ее действия, температуры и пр. В наших руках стальной брусок – упругий материал, но под ударами тяжелого молота, особенно если брусок нагрет, он вполне может считаться пластичным.

В зависимости от внешних воздействий деформация может изменяться. Например, по мере увеличения внешних сил упругий предмет сначала теряет упругость (его форма после прекращения воздействия не возвращается полностью к первоначальной), а затем может разрушиться. Струну гитары можно растянуть так, что ее длина навсегда останется больше первоначальной, а при дальнейшем растяжении можно даже порвать её.

Силы, при которых материал так резко меняет свои свойства, называют соответственно, пределом упругости и пределом прочности.

Если упругую стальную пластину согнуть и продержать в таком состоянии несколько лет, то она не разогнется полностью. Такая деформация называется остаточной. Она тем больше, чем дольше тело было в деформированном состоянии. С другой стороны, при кратковременной деформации свинцовая пластинка может вести себя также упруго, как стальная.

Как видите упругость и пластичность – относительные понятия. Упругими принято называть вещества, у которых в обычных условиях упругая деформация переходит в пластическую только за длительный период (годы).

Пластичными называют вещества, у которых упругая деформация переходит в пластическую за секунды (доли секунд).

Виды деформаций

Деформировать тело, т.е. изменить его форму или размеры, можно многими способами: сжать, изогнуть, закрутить и т.д. Его можно одновременно, например, сжать и закрутить. Рассмотрим классификацию видов деформации.

1. Растяжение-сжатие

В школьных задачах особенно часто рассматриваются продольные деформации (растяжение или сжатие). Примеры продольных деформаций: пружина, растягиваемая грузом или сжимаемая руками, леска удочки, деформация гвоздя при забивании и пр.

Упругие материалы достаточно хорошо выдерживают продольные нагрузки. Например, в высотном строительстве одна вертикальная колонна из стальной балки длиной метров под действием нагрузки в тонн сжимается только на мм. Даже после окончания строительства, когда над такими колоннами возвышается дом в этажей, они сжимаются лишь на см.

2. Изгиб

Большие деформации испытывают балки, когда их устанавливают горизонтально. Они прогибаются под нагрузкой. Такая деформация называется изгибом.

Например, такой изгиб.

Взглянув на рисунок, нетрудно убедиться, что верхняя часть балки растягивается, а нижняя – сжимается.

Другой пример: балка закреплена на обоих концах, а нагрузка расположена посередине.

Балка прогнется. Теперь она сверху сжимается, а снизу растягивается.

Таким образом, изгиб является сочетанием двух типов деформации: растяжения и сжатия.

При изгибе зависимость сил упругости, возникающих внутри балки, линейно изменяется вдоль сечения балки (см. рис.).

Мы видим, что средние слои несут нагрузку меньше, чем удаленные от средней линии.

Следовательно, вблизи средней линии балку можно делать менее прочной, не теряя общей прочности. То есть тоньше вблизи средней линии, чем по краям. Двутавровая балка сделана по этому принципу. Оптимальная форма должна быть сложнее, но и эта уже приносит существенную экономию металла.

Вы сами давно знаете этот способ уменьшения веса металлических конструкций – рама вашего велосипеда сделана из труб, а не из сплошных стержней, которым трубы по упругости и прочности практически не уступают.

3. Сдвиг

Если действовать на книгу горизонтальной силой, то форма книги изменится. На виде сбоку она потеряет форму прямоугольника, оставшись параллелограммом.

Такая деформация называется сдвигом. При сдвиге сила параллельна поверхности, к которой она приложена, а не перпендикулярна, как при продольных деформациях (натяжение-сжатие).

Сдвиг вызывается парой сил. В опыте с книгой на нижнюю поверхность действует сила трения, направленная противоположно силе , которая действовала на верхнюю поверхность.

4. Кручение

Кручение – это особый случай сдвига. Кручением называется деформация, например, в стержне, если его концы закручивать в разных направлениях.

Если на поверхности стержня вдоль него нарисована прямая линия, то при кручении она примет форму винтовой линии.

Кручение – часто встречающаяся деформация (в валах двигателей, машин, в отвертке и т.п.)

Частные силы упругости

Мы много раз имели дело с упругими силами, не называя их так. Если тело лежит на твердой поверхности, то мы считаем, что сила тяжести уравновешена силой реакции опоры. Природа этой силы – упругая. Под весом тела поверхность деформируется – напряжение материала, возникающее при этой деформации изгиба, создает упругую силу, направленную вверх.

Аналогично, когда мы рассматриваем тело, подвешенное на нити, то говорим, что натяжение нити уравновешивает вес тела. Натяжение нити – упругая сила. Чем больше растянется (деформируется) нить, тем больше будет сила ее натяжения.

Если плотно закрыть выходное отверстие велосипедного насоса, то насос будет вести себя как пружина: чем дальше мы попытаемся продвинуть поршень насоса, тем больше сжатый воздух будет сопротивляться этому продвижению. Здесь мы имеем дело с упругими свойствами, только не твердого тела, а сжатого газа.

Закон Гука

Есть экстремальное развлечение «банджи» – прыгать в пропасть или с моста в реку, привязав к ногам резиновый канат, который закреплен наверху. В этом полете особые смельчаки долетают почти да самого дна. Спасает их от удара канат. В некоторый момент канат начинает растягиваться и тормозить падение своим натяжением до нулевой скорости, а затем канат начинает сокращаться и тянуть прыгуна за ноги вверх. Иногда канат, растягиваясь, увеличивает свою длину в два и более раз, а сила, с которой сокращаясь он тянет человека, настолько велика, что тот буквально взлетает (конечно, не до первоначальной высоты).

Поскольку люди отличаются весом, для соблюдения безопасности длина каната должна быть тщательно подобрана.

Такое и многие похожие явления моделирует знакомое всем простое устройство – пружину.

Пусть стальная пружина, закрепленная на одном конце, расположена горизонтально. Не будем учитывать силу трения. Пружина находится в равновесии – она не сжата и не растянута. Направим ось вдоль пружины, а ее начало совместим со свободным концом пружины в положении равновесия.

Если растягивать пружину (вправо), взявшись рукой за ее свободный конец, пружина будет сопротивляться и тянуть руку влево.

Чем сильнее мы растягиваем пружину, тем сильнее она тянет нас. Это заставляет нас вспомнить третий закон Ньютона: сила , c которой мы действуем на пружину, равна по величине и противоположно направлена силе , с которой действует на нашу руку пружина.

Аналогично при сжатии пружины (влево). Пружина будет толкать руку вправо. В обоих случаях пружина действует с силой, противоположной приложенной внешней силе и, соответственно, противоположной направлению перемещения конца пружины.

Величина развиваемой пружиной силы прямо пропорциональна смещению конца пружины от положения равновесия. Это соотношение называется законом Гука.

Закон Гука в обозначениях, указанных на рисунке, и в проекции на ось ее записывается так: , где  – проекция силы действия пружины,  – расстояние конца пружины от его положения равновесия,  – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины (чем он больше, тем труднее сжать или растянуть пружину).

В реальности закон Гука выполнен только в некоторых пределах, что показано на рисунке.

Пока выполнен закон Гука, график зависимости силы упругости от деформации – прямая линия. При увеличении деформации сверх значения предела пропорциональности график отклоняется от прямой линии – это значит, что закон Гука здесь перестаёт выполняться, но деформация еще упругая (она исчезнет, когда перестанет действовать сила).

При дальнейшем увеличении деформации можно достичь предела упругости. Такие деформации не исчезают полностью при снятии нагрузки. Если увеличивать деформацию за предел упругости, можно достичь предела прочности материала – это разрушающая деформация.

Пример

Коэффициент жесткости пружины  равен Н/м. Найти величину силы, необходимой для того, чтобы:

а) сжать пружину на см от положения равновесия;

б) растянуть пружину на см от положения равновесия.

Ось  направлена вдоль пружины в сторону ее растяжения, начало координат в положении равновесия пружины.

Решение

Силы, с которыми мы сжимаем или растягиваем пружину, приложены к концу пружины. Со стороны пружины к этой точке приложена сила упругости, модуль которой по закону Гука равен .

Пружина пребывает в равновесии, значит, применим первый закон Ньютона для обоих случаев:

В проекции на заданную координатную ось запишем для обоих случаев:

а)

 б)

Пример

Пружину, на которую подвесили груз массой кг, за свободный конец поднимают вертикально вверх с ускорением м/с². Жесткость пружины Н/м. Пренебрегая массой пружины, определите, на сколько увеличилась ее длина по сравнению с недеформированным состоянием. Какую скорость приобретет этот груз через с после начала движения?

Решение

Тело движется с ускорением под действием нескольких сил: такой процесс описывает второй закон Ньютона.

Выберем систему координат: ось  направим вдоль прямой, по которой движется тело, например, вверх.

Рассмотрим силы, действующие на тело. На тело действует сила тяжести , направленная вниз, и направленная вверх сила , равная силе упругости пружины . Ускорение направлено вверх, значит, сила  больше веса .

По второму закону Ньютона, запишем:

.

В проекции на ось  получим:

.

Скорость при равноускоренном движении из состояния покоя (через время после начала движения) равна:

.

Остается только найти из полученных уравнений скорость и деформацию.

Подведем итоги. Для решения задач на упругость необходимо следующее.

Знать

1) Закон Гука.

2) Второй закон Ньютона.

Уметь

1) Выбирать удобную систему координат.

2) Применять второй закон Ньютона.

Понимать

Закон Гука выполняется только при упругой деформации, которая обычно наблюдается при небольших растяжениях и сжатиях.

Жесткость пружины. Модуль Юнга

Зная закон Гука, решим следующую задачу.

Пример

Пружина с витками имеет жесткость . Пружину разрезали на две равные части – пружины с витками. Какой будет жесткость половинной пружины: или ?

Решение

Вспомним, что такое жесткость пружины. Это сила, которую нужно приложить к пружине, чтоб деформировать её на единицу длины. Чем жестче пружина, тем больше эта сила. Причём деформировать – значит как сжать, так и растянуть: закон Гука справедлив для обоих случаев.

Мысленно разделим -витковую пружину на две между -м и -м витками.

Пружина находится в равновесии, в равновесии и две ее половины. На правую половину пружины действуют две равные и противоположные силы: внешняя сила  и сила со стороны левой части пружины . По третьему закону Ньютона, правая половина действует на левую, с равной, но противоположно направленной силой, т.е. с силой .

Сжатие каждой половины пружины равно половине сжатия целой. Получается, что под действием одинаковой силы -витковая половина пружины сжимается вдвое меньше, чем -витковая пружина. Это означает, что жесткость половины пружины вдвое больше жесткости целой.

Можно сделать и общий вывод. Жесткость пружины обратно пропорциональна числу ее витков (разумеется, при прочих равных условиях).

Закон Гука применим не только к пружинам. Такая же зависимость получается для всех упруго деформирующихся тел: для стального стержня (но его жесткость очень велика, чтобы мы заметили изменение длины, растягивая или сжимая стержень руками); для резинового жгута (понятно, что при приложении одной и той же силы жгут растянется тем больше, чем он длиннее).

Основная характеристика упругости стержня: коэффициент жесткости зависит от конкретных параметров – материала, размеров (длины и площади сечения). Можно учесть эти параметры в законе Гука, поменяв обозначения. Чтобы не следить за знаками, рассмотрим закон Гука для модуля силы , обозначим модуль деформации , длину стержня – , площадь его сечения – :

Умножим и разделим правую часть этого выражения на произведение :

.

Представим полученное выражение  в виде 

И, введя новые обозначения, получим .

В полученной формулировке закона Гука:  – называется механическим напряжением,  – паскаль; – деформация (относительная деформация), безразмерная величина;  – модуль упругости (или модуль Юнга), = паскаль.

Такая формулировка закона Гука () является универсальной. Коэффициент жесткости зависит не только от материала, но и от размеров и формы упругого тела: у каждой пружины свой коэффициент жесткости. Модуль Юнга уже не зависит от размеров образца и определяется свойствами материала, его значение можно посмотреть в таблице для данного вещества.

Максимальная приложенная к упругому телу сила, при которой оно разрушается, тоже для каждого тела своя: тонкую резинку порвать легче, чем толстую. Механическое напряжение – это удельная сила на единицу площади поперечного сечения, оно не зависит от размеров тела.

Если же в задаче рассматривается конкретное тело (пружина, трос, жгут) и нас интересует связь между силой упругости и абсолютным удлинением тела, удобно пользоваться формулой .

Пример

Кирпич покоится на плоской поверхности. Какая плоскость кирпича , или будет испытывать большее напряжение, если кирпич положить этой стороной вниз?

Решение

По определению механическое напряжение равно: .

Вес кирпича и реакция опоры будут одинаковы в каждом случае, а поверхность имеет наименьшую площадь, следовательно, на эту грань будет действовать большее механическое напряжение.

Ответ: .

Пример

Для надежной работы подъемника стальной трос, на котором подвешена кабина, должен работать с десятикратным запасом прочности. Определите площадь поперечного сечения троса, если максимальная масса, которую поднимает подъемник, – т (вместе с кабиной), максимальные ускорения при работе подъемника составляют  м/с².

Решение

На груз действует сила тяжести и сила натяжения троса.

Выберем систему координат: лифт движется по вертикали, значит, проведем ось вертикально, например, вверх.

Результирующая сила создает ускорение, применим второй закон Ньютона: .

В задаче не сказано, в какую сторону направлено ускорение. Сказано лишь, что нагрузки максимальные. Направим ускорение пока произвольно, например, вверх.

В этом случае ускорение прибавляется, сила натяжения максимальна. В противном случае перед ускорением был бы минус и сила натяжения была бы меньше.

Десятикратный запас прочности троса значит, что в тросе возникает механическое напряжение, в раз меньшее предельно допустимого для данного материала: . Значение границы прочности для стали находим в таблице: .

По определению механическое напряжение равно , в нашем случае: .

Остается лишь выразить и посчитать площадь сечения троса.

Подведем итоги. Для решения задач, подобных рассмотренной, на упругость необходимо следующее.

Знать

1) Закон Гука.

2) Второй закон Ньютона.

3) Определение механического напряжения.

Уметь

Применять второй закон Ньютона и закон Гука.

Понимать

Закон Гука, использующий понятия механического напряжения, относительного удлинения и модуль Юнга, не учитывает размеры и форму деформируемого тела. Например, если коэффициент жесткости и граничная сила разная для всех тросов, то модуль Юнга и граничное механическое напряжение определяется лишь материалом троса.

Жесткость системы пружин

Пример

Пружины жесткостями Н/м и Н/м соединили:

а) параллельно;

б) последовательно.

Пружиной с какой жесткостью можно заменить такую систему пружин?

Решение

Рассмотрим сначала случай (а).

Будем пользоваться законом Гука для пружин .

Направим ось координат, как показано на рисунке.

Если две пружины с жесткостями  и , закреплены одним концом к неподвижной стене, а другими концами к общей планке, то такое соединение назовем параллельным.

Если теперь передвинуть планку на расстояние так, чтобы обе пружины растянулись на эту величину, тогда сила натяжения каждой из них будет  и . Если система находится в равновесии, то равнодействующая сил, действующих на планку, будет равна нулю, по первому закону Ньютона: .

В проекции на ось :

Следовательно, жесткость системы параллельно соединенных пружин равна сумме их жесткостей: .

Если две пружины (с жесткостями  и ) соединены концами, то мы получаем как бы единую пружину. Один ее конец закреплен неподвижно, а другой растягивается силой . Эту систему назовем последовательным соединением пружин.

При таком соединении складываются деформации пружин, а силы натяжения каждой пружины равны . Последнее следует из условия равновесия, если одна пружина растягивается силой , то с такими же силами она сопротивляется растяжению и сама растягивает вторую пружину.

Значит,  и , откуда  и . Общее удлинение .

Следовательно, .

Жесткость двух последовательно соединенных пружин (меньше жесткости каждой из них).

Пример

Палка длиной м и массой кг подвешена за концы к потолку двумя пружинами и находится в состоянии покоя. Пружины имеют одинаковую длину в ненапряженном состоянии. Коэффициенты жесткости пружин Н/м и Н/м. Найти угол, который палка образует с горизонтом.

Решение

На палку действуют две равные силы упругости  и сила тяжести .

Палка пребывает в равновесии, значит, к ней применим первый закон Ньютона: равнодействующая сил равна нулю:

.

Силы действуют вдоль вертикальной прямой, поэтому удобно направить координатную ось вертикально, например, вниз. Тогда в проекции на ось запишем:

.

По закону Гука, силы упругости равны соответственно:

Из прямоугольного треугольника, образованного палкой, горизонтом и более растянутой пружиной, найдем угол: .

Получили систему уравнений, которую лишь остается решить и найти угол.

Подведем итоги. Для решения задач c системой пружин необходимо следующее.

Знать

1) Закон Гука.

2) Законы Ньютона.

Уметь

Применять законы Ньютона и закон Гука.

Понимать

Независимо от того, используется пружина отдельно или в системе из нескольких пружин, в ней возникает своя сила упругости и к ней применим закон Гука.

Заключение

На этом уроке мы изучили:

• Деформацию и ее виды;

• Силу упругости;

• Закон Гука;

• Коэффициент жесткости.

Теперь вы можете приступать к решению задач, в которых действуют силы упругости.

На следующем уроке мы обсудим:

• Трение;

• Наклонную плоскость.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Урок «Сила упругости» (физика, 7 класс, раздел «Взаимодействие тел»)

2. Урок «Основные типы сил в механике» (физика, 10 класс, раздел «Силы в механике»)

3. Урок «Взаимодействие тел. Второй закон Ньютона» (физика, 10 класс, раздел «Законы механики Ньютона»)

4. Урок «Свойства твёрдых тел» (физика, 10 класс, раздел «Основы молекулярно-кинетической теории»)