01. Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы

Введение

С помощью этого урока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».

Определение многогранника

Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Примеры многогранников

Рассмотрим следующие примеры многогранников:

1. Тетраэдр – это поверхность, составленная из четырех треугольников: , , и (рис. 1).

2. Параллелепипед  – это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).

Основные элементы многогранников

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра – это стороны граней.

Вершины – это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр (рис. 1). Укажем его основные элементы.

Грани: треугольники , , , .

Ребра: , , , , , .

Вершины: , , , .

Рассмотрим параллелепипед (рис. 2).

Грани: параллелограммы , , , , , .

Ребра: , , , , , , , , , , , .

Вершины: , , , , , , , . 

Треугольная призма

Важным частным случаем многогранника является призма.

Рассмотрим треугольную призму (рис. 3).

Равные треугольники и  расположены в параллельных плоскостях и так, что ребра ,  параллельны.

То есть – треугольная призма, если:

1) Треугольники и   равны.

2) Треугольники и расположены в параллельных плоскостях и : .

3) Ребра , ,  параллельны.

и  – основания призмы.

, ,  – боковые ребра призмы.

Если с произвольной точки  одной плоскости (например, ) опустить перпендикуляр  на плоскость , то этот перпендикуляр называется высотой призмы.

Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.

Прямая призма

Рассмотрим треугольную призму (рис. 4). Эта призма – прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Например, ребро  перпендикулярно плоскости .  Ребро является высотой этой призмы.

Заметим, что боковая грань перпендикулярна к основаниям и , так как она проходит через перпендикуляр к основаниям.

Наклонная призма

Теперь рассмотрим наклонную призму (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки  перпендикуляр на , то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок – это проекция отрезка  на плоскость .

Тогда угол между прямой  и плоскостью это угол между прямой  и её проекцией на плоскость, то есть угол .

Четырехугольная призма

Рассмотрим четырехугольную призму  (рис. 6). Рассмотрим, как  она получается.

1) Четырехугольник равен четырехугольнику : .

2) Четырехугольники и лежат в параллельных плоскостях и : .

3) Четырехугольники и расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: .

Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Например, – диагональ четырехугольной призмы .

Определение. Если боковое ребро  перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.

Параллелепипед

Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед изображен на рис. 7.

Рассмотрим, как он устроен:

1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае – равные параллелограммы и : .

2) Параллелограммы и лежат в параллельных плоскостях и : .

3) Параллелограммы и расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: .

Из точки  опустим перпендикуляр на плоскость . Отрезок является высотой.

Шестиугольная призма

Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).

1) В основании лежат равные шестиугольники и : .

2) Плоскости шестиугольников и параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: .

3) Шестиугольники и расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: .

Определение. Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.

Правильная призма

Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим правильную треугольную призму .

Треугольная призма – правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники.

Итак, если треугольная призма – правильная, то:

1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: .

2) В основании лежит правильный треугольник: – правильный.

Площадь поверхности призмы

Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается .

Определение. Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается .

Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:

.

Теорема о площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство проведем на примере треугольной призмы.

Дано:  – прямая призма, т. е. .

.

Доказать: .

Доказательство.

Треугольная призма  – прямая, значит, , , – прямоугольники.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников , , :

.

Получаем, , что и требовалось доказать.

Итоги урока

Мы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «shkolo.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?

2. Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?

3. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.

4. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет . Найдите площадь полной поверхности призмы.