34. Четырехугольники (основной урок)

Виды четырехугольников и их свойства

Замкнутая ломаная может содержать любое количество звеньев. В случае если в ней содержится  (много) звеньев, она называется -угольником (многоугольником). Есть одно ограничение, о котором нам не надо было упоминать при изучении треугольников: в замкнутой трехзвенной ломаной звенья не могли пересекать друг друга (не считая вершин). Если же звеньев больше трех, то возможна такая ситуация:

Многоугольником называется замкнутая, не пересекающая сама себя ломаная. В этом уроке мы подробно остановимся на четырехугольниках, т.е. замкнутых ломаных, содержащих четыре звена.

На рисунке изображены три фигуры.

Каждая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Первая фигура не является четырехугольником, потому что три точки ,  и  лежат на одной прямой. Или эквивалентно: смежные отрезки  и  лежат на одной прямой.

Вторая фигура тоже не четырехугольник, т.к. стороны  и  пересекаются. Или эквивалентно: несмежные отрезки  и  имеют общую точку.

Только третья фигура – четырехугольник. Но этот четырехугольник не очень-то похож на интуитивно представляемый нами типичный четырехугольник.

Четырехугольник справа лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Такие четырехугольники называются выпуклыми. Четырехугольник слева – невыпуклый, т.к. если провести прямую через точки  и  (или  и ), то она разделит четырехугольник на две части. В задачах обычно нам будут встречаться выпуклые четырехугольники.

Обозначают четырехугольники буквами, которыми отмечены его вершины. Например,  или . Порядок букв может быть разным, но рядом стоящие буквы должны соответствовать смежным вершинам.

Соседними называются вершины четырехугольника, которые являются концами одной стороны. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими (или противоположными). Аналогично стороны, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общей точки, называются противолежащими (или противоположными).

Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырехугольника. Каждая диагональ разделяет четырехугольник на два треугольника.

Как и для треугольника, сумма длин всех сторон четырехугольника называется его периметром. Аналогичное определение периметра для любого многоугольника.

Большинство вводимых здесь понятий для четырехугольника относятся и к другим многоугольникам. Например, для всех многоугольников одинаково определяется понятие выпуклости. При этом треугольник – это единственный многоугольник, всегда являющийся выпуклым. Поэтому некоторые факты можно доказывать для произвольного многоугольника, используя их затем в частных случаях.

Покажем, например, что сумма внутренних углов выпуклого -угольника равна . Для треугольника при  этот факт мы уже доказывали.

Проведем из вершины  все возможные диагонали.

Их будет , потому что нельзя провести диагональ к самой вершине  и к двум соседним с ней. Очевидно, что  диагонали разделят выпуклый -угольник на  треугольника, сумма углов которых равна сумме углов -угольника.

Поскольку сумма углов треугольника равна , сумма углов выпуклого -угольника равна . В частности, у выпуклого четырехугольника сумма углов равна .

Данное доказательство не годится для невыпуклого многоугольника, так как у него не обязательно все диагонали, проведённые из одной вершины, лежат внутри многоугольника. Однако сумма углов невыпуклого многоугольника вычисляется по этой же формуле, правда, доказательство этого факта несколько сложнее.

Как и с треугольниками, среди четырёхугольников можно выделить некоторые семейства частных случаев, которые обладают определёнными свойствами.

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

, .

Свойства параллелограмма:

В параллелограмме противоположные стороны и углы равны.

Свёртка. Доказательство

Диагональ  делит параллелограмм  на два треугольника  и . Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам ( – общая сторона,  и – накрест лежащие углы). Поэтому ,  и .

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свёртка. Доказательство

 – точка пересечения диагоналей. Треугольники  и  равны по стороне () и двум прилежащим углам (, ). Поэтому  и , что и требовалось доказать

Признаки параллелограмма:

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Свёртка. Доказательство

Пусть в четырехугольнике  и . Треугольники  и  равны по двум сторонам ( – общая, ) и углу () между ними.

Тогда , а это накрест лежащие углы при пересечении прямых  и  секущей , поэтому . В четырехугольнике  противоположные стороны попарно параллельны, т.е.  – параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Свёртка. Доказательство

Пусть в четырехугольнике  и . Треугольники  и  равны по трем сторонам ( – общая, , ). Поэтому . Отсюда следует, что . По первому признаку,  и  четырехугольник  – параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Свёртка. Доказательство

Обратите внимание на требование, чтобы диагонали пересекались. Это значит, что мы не рассматриваем невыпуклые четырехугольники.

Пусть в четырехугольнике  – точка пересечения диагоналей и , . Треугольники  и  равны (по двум сторонам ,  и углу между ними.

Поэтому  и , из равенства углов следует . Итак, в четырехугольнике  и . По первому признаку,  – параллелограмм.

Пример

Периметр параллелограмма равен 30. Большая сторона 10. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Решение

Большая сторона , меньшая . Периметр .

, следовательно, для нахождения  имеем уравнение , откуда .

Ответ: 5.

Пример

Противоположные стороны  и  четырехугольника  параллельны. Через вершины  и  проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ  в точках  и  соответственно. Оказалось, что .

а) Докажите, что  – параллелограмм.

б) Найдите отношение площади четырехугольника  к площади параллелограмма .

Решение

а) Параллелограмм, по определению, четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. В условии задачи сказано, что стороны  и  параллельны. Нам остается доказать, что стороны  и  тоже параллельны.

Но можно поступить по-другому: воспользоваться признаком параллелограмма. Если противоположные стороны  и  не только параллельны, но и равны, то фигура – параллелограмм.

Четырехугольник  – параллелограмм, т.к. его противоположные стороны параллельны:  и . Следовательно,  (это свойство параллелограмма).

Так как , отрезок  является средней линией в треугольнике , следовательно,  и сторона параллелограмма .

Аналогично  – средняя линия в треугольнике , откуда  и сторона .

Поскольку , имеем . Итак, , а по условию .

Противоположные стороны  и  равны и параллельны, следовательно,  – параллелограмм.

б) На чертеже оба параллелограмма  и  оказались разбитыми на треугольники. Надо попытаться найти такие одинаковые по площади треугольники, из которых можно составить каждый из параллелограммов. Тогда мы сможем найти отношение площадей параллелограммов.

Треугольник  равен треугольнику . Площади каждого из них равны половине площади параллелограмма : .

Площадь треугольника  равна сумме площадей треугольников ,  и .

Площади этих треугольников равны, т.к. основания равны по условию задачи (), а высоты одинаковые. Следовательно, площадь каждого треугольника равна шестой части площади параллелограмма , т.е. .

Аналогично .

Четырехугольник  складывается из двух треугольников  и , следовательно, .

Ответ: .

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны.

Естественно, что ромб обладает всеми свойствами параллелограмма. Но есть и специфические для ромба свойства. В частности, диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам. То есть диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов ромба.

Свёртка. Доказательство

По определению ромба, , поэтому треугольник  – равнобедренный. Так как ромб является параллелограммом, то точка  делит его диагонали пополам. Следовательно,  – медиана равнобедренного треугольника . Значит,  является и биссектрисой, и высотой. Поэтому  и , что и требовалось доказать.

Пример

Окружность, построенная на стороне  параллелограмма  как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

а) Докажите, что  – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону  в точке , причем . Найдите диагональ , если известно, что .

Решение

а) Если мы докажем, что диагонали перпендикулярны или являются биссектрисами углов, то данный параллелограмм является ромбом. Поскольку в задаче задано условие на точку пересечения диагоналей (через нее проходит окружность), то разумно начать с доказательства перпендикулярности диагоналей.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма  лежит на окружности с диаметром .

, значит, как мы узнаем, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, треугольник – прямоугольный, поэтому . Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, – ромб.

б) Стороны ромба нам известны. Они все равны .

 (внутренние смежные).

Нам задано отношение . Поэтому не составит труда найти  и  и, следовательно, .

и .

Следовательно, .

 – прямоугольный,  (опирается на диаметр).

.

.

По теореме косинусов, .

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

У прямоугольника есть такое свойство: диагонали прямоугольника равны. Можно доказать и обратное утверждение, которое будет являться признаком прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник (т.е. все его углы прямые).

Свёртка. Доказательство

Прямоугольные треугольники  и  равны по двум катетам (,  – общий).

Следовательно, равны и гипотенузы , что и требовалось доказать.

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Пусть . Треугольники  и  равны по трем сторонам. Отсюда  и . Следовательно, .

Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, поэтому . Откуда  – прямоугольник.

Пример

Сторона  прямоугольника  касается некоторой окружности в точке . Продолжение стороны  пересекает окружность в точках  и , причем точка  лежит между точками  и . Прямая  касается окружности, а точка  лежит на прямой .

а) Докажите, что .

б) Известно, что  и . Найдите сторону .

Решение

а) Обратим внимание, что угол  образован касательной  и хордой . Такой угол считается опирающимся на дугу . На эту же дугу опирается и вписанный угол  поэтому  (подробнее об этом – на следующем уроке).

Мы установили, что . Но  (это один и тот же угол).

 (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых  и  и секущей ). Следовательно, , что и требовалось доказать.

Обратим внимание, что хорда  лежит на продолжении стороны , она параллельна стороне  (и ее продолжению), а также диаметру окружности, проходящему через точку . Диаметр, перпендикулярный продолжению стороны , перпендикулярен и хорде .

б) Пусть окружность с центром  касается прямой  в точке , а  – основание перпендикуляра, опущенного из точки  на . Тогда  –  середина хорды . Из прямоугольного треугольника  находим, что .

Отрезок  равен радиусу окружности , отрезок .

Следовательно, .

Поскольку  и , точки ,‍  и  лежат на одной прямой. Следовательно,  — прямоугольник, а так как , то .

Треугольник  подобен треугольнику , поэтому  , следовательно, .

Ответ: .

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб, у которого все углы равны).

Квадрат наследует свойства ромба и прямоугольника, но имеет и особые свойства.

1. У квадрата все углы прямые.

2. Диагонали квадрата равны.

3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.

4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами. Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой.

Терминология похожа на ту, что применяется при изучении треугольников. Трапеция, действительно, похожа некоторыми своими свойствами на треугольник.

Теорема

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией (как и у треугольника). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство

Пусть  – трапеция,  – ее средняя линия. Проведем через точки  и  прямую до пересечения с продолжением основания  в точке .

Треугольники  и  равны по второму признаку равенства треугольников: , т.к.  – средняя линия, углы при вершине  равны как вертикальные, а углы  и  равны как внутренние накрест лежащие при параллельных  и  и секущей .

Из равенства треугольников следует равенство сторон , . Следовательно, средняя линия трапеции  является средней линией треугольника . По свойствам средней линии треугольника, , .

Теорема

У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Доказательство

В трапеции  . Проведем через вершину  прямую, параллельную стороне . Она пересчет основание  в некоторой точке . Четырехугольник  – параллелограмм. По свойству параллелограмма, , по условию, , следовательно, треугольник  равнобедренный и угол  равен углу .

Углы  и  равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. Следовательно, . Утверждение доказано.

Теорема

У равнобедренной трапеции диагонали равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники , . Они равны, так как  – общая, углы  и  равны (только что доказали),  – по определению равнобедренной трапеции. Отсюда следует, что .

Четырехугольники можно классифицировать следующим образом:

После рассмотрения различных видов четырехугольников нужно следующее.

Знать

• Определения всех четырехугольников.

• Их свойства и признаки.

Уметь

• Применять признаки четырехугольников в задачах, где требуется определить вид четырехугольника.

• Применять свойства определенного четырехугольника в задачах на доказательство утверждений.

Понимать

• Связи (общие черты и различия) между четырехугольниками разного вида.

Вычисление площадей четырехугольников

Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл таких выражений: площадь комнаты , площадь дачного участка 12 соток и т.п.

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник, выраженная в единицах измерения площадей. Площадь часто обозначают буквой . За единицу измерения площадей принимается квадрат, сторона которого равна одной из единиц измерения отрезков. Если длины отрезков мы будем измерять метрами, то единицей площади будет квадратный метр (), если длины отрезков измеряются в сантиметрах, то единица площади – квадратный сантиметр () и т.п.

Площадь многоугольника – это число раз, которое единица площади укладывается в многоугольнике. Естественно, что это число не обязательно целое. В последнем случае иногда удобно использовать меньшие единицы площади.

Площадь многоугольника обладает несколькими практически очевидными свойствами, которые мы можем считать постулатами.

Свойства площади многоугольника:

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Итак, мы знаем, как вычисляется площадь квадрата, давайте получим формулы для вычисления и других рассмотренных нами четырехугольников.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Свёртка. Доказательство

Докажем это утверждение. Рассмотрим прямоугольник со сторонами  и  и площадью . Требуется доказать, что .

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной . По третьему свойству, площадь этого квадрата равна . Этот квадрат составлен из данного прямоугольника и прямоугольника, равного ему (каждый из них имеет площадь  – свойство 1), и двух квадратов площадями  и  (свойство 3).

По второму свойству имеем  или , откуда следует .

Теорема доказана.

Пример

Найдите площадь прямоугольника .

Решение

Сторона . Сторона .

Площадь .

Ответ: 10.

Площадь параллелограмма

Дано:  – параллелограмм.

Найти площадь .

Решение

Опустим перпендикуляр  из вершины  на прямую . Площадь трапеции  равна сумме площадей параллелограмма  и треугольника .

Опустим перпендикуляр  из вершины  на прямую . Тогда площадь трапеции  равна сумме площадей прямоугольника  и треугольника .

Прямоугольные треугольники  и  равны (по гипотенузе и острому углу) и, значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма  равна площади прямоугольника , т.е. равна . Отрезок  называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам  и . Итак, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Из этой теоремы можно доказать формулу, о которой мы уже говорили ранее, а именно: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Доказательство

Достроим треугольник  до параллелограмма . Треугольники  и  равны (по трем сторонам), поэтому .

При решении некоторых задач может оказаться полезной формула, выражающая площадь параллелограмма через его диагонали: , где  – угол между диагоналями  и . Эта формула верна для любого четырёхугольника.

Свёртка. Доказательство

Углы при пересечении ( и ) имеют одинаковые синусы, так как их сумма равна . Площадь каждого из 4-х треугольников, на которые делят четырехугольник диагонали, равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

Обозначим отрезки диагоналей , .

Тогда  .

Выражение в скобках  , что и требовалось доказать

Площадь ромба

Все сказанное о площади параллелограмма, естественно, верно и для ромба. В частности, верно выражение площади через длины диагоналей: , где и  – диагонали, а , т.к. диагонали ромба перпендикулярны.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований (или средней линии) на высоту.

Доказательство

Пусть  – данная трапеция. Диагональ  разбивает ее на два треугольника –  и . Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей двух треугольников.

Площадь треугольника : , площадь треугольника : .

Высоты треугольников  и  равны расстоянию между основаниями трапеции. Это расстояние называется высотой трапеции . Следовательно, .

Пример

Площадь параллелограмма  равна 3. Точка  – середина стороны . Найдите площадь трапеции .

Решение

Обозначим боковую сторону параллелограмма , высоту, проведенную к ней .

Площадь параллелограмма  (дано). Площадь трапеции .

Ответ: 2,25.

После рассмотрения вычисления площадей четырехугольников нужно усвоить следующее.

Знать

• Как определяется понятие площади многоугольника.

• Три свойства площади многоугольника.

Уметь

• Вычислять площади основных четырехугольников (параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции):

- Вручную на клетчатой бумаге.

- По формулам для площадей.

Понимать

• Связи между формулами для вычисления площадей разных четырехугольников.

Четырехугольники, вписанные в окружность

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность. Мы уже рассматривали описанную окружность для треугольника. Как мы говорили, вокруг любого треугольника можно описать окружность. Это уникальное свойство треугольников: среди многоугольников только вокруг треугольника всегда можно описать окружность.

Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Так вокруг ромба описать окружность нельзя (если он не квадрат). Вокруг прямоугольника окружность всегда можно описать.

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим свойством: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Доказательство

;

Подробнее эти факты будут рассмотрены в следующем уроке.

Верно и обратное. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике . Проведем окружность через три вершины четырехугольника (,  и )  и докажем, что она проходит и через вершину  (через любые три точки можно провести окружность).

Предположим, что это не так. Пусть вершина  лежит внутри круга, тогда  (если это не очевидно, см. примечание ниже). Так как , то .

Итак, получили , что противоречит условию, следовательно,  не может лежать внутри круга.

Аналогично доказывается, что  не может лежать вне круга. Следовательно,  лежит на окружности, что и требовалось доказать.

Примечание

1)  является внешним для треугольника .

2) Следовательно, .

Пример

Около трапеции  с основаниями  и  описана окружность радиуса 6. Центр этой окружности лежит на основании . Основание  равно 4. Найдите площадь трапеции.

Решение

Чтобы вычислить площадь трапеции, нужно знать полусумму ее оснований и высоту. Основания заданы в условии, для нахождения высоты следует воспользоваться тем фактом, что центр окружности лежит на основании , т.е. основание  – диаметр описанной окружности.

Треугольник  прямоугольный, угол  опирается на диаметр и, следовательно, равен .

Пусть – основание перпендикуляра, опущенного из вершины  на . Тогда . Поэтому . Следовательно, .

Четырехугольники, описанные около окружности

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Как и в случае с описанной окружностью, треугольник – единственный многоугольник, в который можно вписать окружность.

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Рассмотрим, например, прямоугольник, не являющийся квадратом.

В прямоугольник, представленный на рисунке, можно поместить окружность так, чтобы она касалась трех сторон, но нельзя сделать так, чтобы окружность касалась всех четырех сторон.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим свойством. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Это можно доказать, используя следующий рисунок, на котором одинаковыми буквами обозначены равные отрезки.

Доказательство

, .

Следовательно, .

Верно и обратное утверждение: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пример

В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные  и . Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба, если , .

Решение

Пусть  –  данный параллелограмм. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, поэтому , а так как противоположные стороны параллелограмма попарно равны, то  или . Значит, все стороны четырёхугольника  равны. Следовательно, это ромб.

Пусть , ,  и  –  точки касания окружности радиуса  со сторонами соответственно , ,  и  ромба,  –  точка пересечения диагоналей ромба, , .

, поскольку диагонали ромба перпендикулярны. Отрезок , равный радиусу вписанной окружности , является высотой прямоугольного треугольника , проведённой из вершины прямого угла, поэтому , откуда .

Обозначим . Будем считать, что .  – высота ромба, опущенная на сторону . Тогда , .

Угол между диагоналями  и  четырёхугольника  равен углу  (углы с соответственно перпендикулярными сторонами), а так как площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей, умноженного на синус угла между ними), то .

Пример

Две окружности пересекаются в точках  и . Прямая, проходящая через точку , второй раз пересекает первую окружность в точке , а вторую – в точке . Прямая, проходящая через точку  параллельно , второй раз пересекает первую окружность в точке , а вторую – в точке .

а) Докажите, что четырехугольник  – параллелограмм.

б) Найдите отношение , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

Решение

Стороны  и  параллельны по условию, чтобы  был параллелограммом, нужно доказать, что . Это можно сделать, если доказать равенство накрест лежащих углов или равенство ста восьмидесяти градусам суммы смежных углов при прямых  и .

Обозначим . Четырёхугольники  и  вписанные, поэтому , , .

Значит, . Противоположные стороны четырёхугольника  попарно параллельны, следовательно, это – параллелограмм.

В решении задачи б можно использовать теорему синусов: , где , ,  – стороны треугольника, , ,  – противолежащие им углы, а  – радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Пусть  и  – радиусы первой и второй окружностей, причём . По теореме синусов, , .

Следовательно, .

Ветка. Доказательство теоремы синусов

Пусть  – радиус окружности, описанной около треугольника . Тогда .

Доказательство

Рассмотрим только последнее равенство . Проведем диаметр  и рассмотрим треугольник . Угол  этого треугольника прямой, поэтому . Но  (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника ).

Следовательно,  или . Откуда .

Мы изучили темы «Вписанные и описанные четырехугольники». В результате нужно следующее.

Знать

• В какой четырехугольник можно вписать окружность.

• Около какого четырехугольника можно описать окружность.

Уметь

• Определять стороны описанного четырехугольника.

• Определять углы вписанного четырехугольника.

Понимать

• Почему в некоторые четырехугольники нельзя вписать окружность?

• Почему около некоторых четырехугольников нельзя описать окружность?

Теорема Вариньона

Рассмотрим четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника (не обязательно выпуклого). Оказывается, он является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.

Середины сторон произвольного четырёхугольника – вершины параллелограмма (параллелограмма Вариньона).

Доказательство

, , ,  – середины сторон , , ,  четырехугольника .

,  (свойства средней линии треугольника). ,  (свойства средней линии треугольника). Следовательно,  (обе прямые параллельны ).

 (оба отрезка равны ).

Параллельность и равенство противоположных сторон – это признак параллелограмма.

 – параллелограмм.

Следствия теоремы Вариньона

1. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.

Доказательство

.

.

Периметр . Что и требовалось доказать.

2. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.

Доказательство

 (высота и основание  вдвое меньше, чем у ).

.

.

Аналогично .

.

.

.

Что и требовалось доказать.

3. Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба – прямоугольник.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели четырёхугольники, виды четырёхугольников и их свойство, а также выяснили, в каких случаях в четырёхугольник можно вписать, а в каких вокруг него можно описать окружность. На следующем уроке мы рассмотрим окружность и круг и их свойства.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/povtorenie/chetyryohugolniki-2

2. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie-kursa-geometrii-8-go-klassa/chetyryohugolniki

3. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie-kursa-geometrii-8-go-http://interneturok.ru/ru/school/matematika/1-klass/undefined-0/chetyryohugolnik-oboznachenie-chetyryohugolnika

4. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/ploschadi-chetyryohugolnikov

5. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie-kursa-geometrii-8-go-klassa/chetyryohugolniki-parallelogramm-chastnye-sluchai-trapetsiya