20. Функции. Свойства функции (основной урок)

Определение функции. Понятие ГМТ. Отличие функции от ГМТ

Когда вы приходите в кино, то у каждого зрителя есть билет с номером ряда и кресла в ряду. То есть каждому месту в зале во время сеанса соответствует один зритель (или ни одного, если место свободное). Такое соответствие является примером функции.

Определение

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества (называемого областью значений): .

В рассмотренном примере аргументами являются места в зале, а значениями функции – зрители. Понятно, что на одном месте не могут сидеть два человека. Под функцией можно понимать как соответствие между числами, так и между другими объектами. Например, каждому значению времени в минутах соответствует строго одно значение времени в секундах, при этом закон соответствия этих величин нам известен: количество минут необходимо умножить на 60 – и получится количество секунд. Скажем, в 3 минутах 180 секунд, а в 5 минутах 300 секунд. При этом каждому значению количества секунд соответствует строго одно определенное количество минут. Т.е. и зависимость секунд от минут, и обратная зависимость являются функциями. Это пример числовой функции.

Примером нечисловой функции может быть однозначное соответствие человека и его фамилии в паспорте. У человека не может быть нескольких фамилий, но при этом есть однофамильцы, т.е. одной фамилии может соответствовать много разных людей. Это значит, что соответствие между человеком и фамилией однозначное, а обратное – нет. В первом случае соответствие является функцией, а во втором нет.

Примером числовой зависимости, которая не является функцией, может быть соответствие между числом, на которое указывает стрелка часов, и временем суток. Например, когда стрелки показывают 8 часов, это может означать как 8:00 утра, так и 20:00 вечера.

Такие неоднозначные соответствия иногда называют многозначными функциями, при этом термин «функция» подразумевает именно ее однозначность. Мы подробно рассмотрим числовые функции (то есть функции, которые устанавливают соответствие между двумя числовыми множествами).

Способы задания числовой функции

1) Аналитический способ: задание функции с помощью формулы вида: , где  – аргумент функции, а  – значение функции. Аналитическое задание одной и той же функции может быть записано по-разному, например: или . Такая функция может задавать, к примеру, соответствие между стороной квадрата и его площадью.

Ещё один пример задания функции:  – формула для -го члена арифметической прогрессии. Её можно переписать в виде: , где ,  – постоянные,  – аргумент. Поскольку  – натуральное число, то прогрессию (как и любую последовательность) называют функцией натурального аргумента. Мы будем работать преимущественно с функциями, которые заданы аналитически.

2) Табличный способ: задание функции с помощью таблицы связанных друг с другом значений. Такой способ обычно используется, если значение функции известно только для некоторых значений аргумента. Примером такого задания функции может послужить таблица средних температур за несколько дней мая:

3) Графический способ: задание функции с помощью изображения точек в системе координат, когда одной координате точек поставлена в однозначное соответствие другая ее координата. Для уже рассмотренной функции  график будет иметь вид параболы:

Рисунок 1 – график функции .

Однако не любое графическое изображение будет задавать функцию. На рисунке 2 изображены графики функций (линейной и квадратичной). Как видим, любая вертикальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке (по определению функции: каждому допустимому аргументу соответствует одно значение функции).

Рисунок 2 – графики функций.

На рисунке 3 изображены ГМТ окружности и эллипса соответственно. Эти графические изображения не задают функцию, так как некоторые вертикальные прямые пересекают их более чем в одной точке, то есть одному значению  соответствует несколько значений .

Рисунок 3 – ГМТ окружности и эллипса

Область определения и область значения функции. Точки пересечения с осями координат

Множество  значений аргумента называется областью определения функции. Обозначается ООФ: . Множество  значений функции называется областью значений функции и обозначается ОЗФ: . Так, чтобы задать функцию, необходимо задать не только закон, по которому устанавливаются соответствия между элементами множеств, но и сами множества , .

Примером функции, для которой задана область определения, может служить функция: . В данном случае .

Однако на практике область значений и область определения задаются редко. В этом случае под областью определения функции подразумевается так называемая естественная область определения, то есть в  входят все значения , при которых функция имеет смысл. А областью значения является множество всех значений .

При решении уравнений ООФ мы называли областью допустимых значений (или ОДЗ). Для того, чтобы найти ООФ функции, необходимо найти ОДЗ выражения . Мы уже знаем все возможные ограничения для ОДЗ:

1)

2)

3) 

4) ,

5) , : .

Таким образом, необходимо найти пересечение всех ОДЗ выражений, входящих в  – в результате получится область определения функции.

Пример

Указать область определения функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение

а) Т.к. функция представляет собой корень четной степени из выражения, содержащего неизвестную, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным (см. 2): .

б) Основание логарифма равно 10, то есть больше 0 и не равно 1. Значит, достаточно проверить, при каких значениях переменной подлогарифмическое выражение положительное: .

в) В рассматриваемой функции есть сразу два ограничения на ОДЗ выражения, стоящего в правой части: подкоренное выражение должно быть неотрицательным и знаменатель дроби не должен равняться 0. Находим пересечение двух частей ОДЗ: .

г) Функция  не содержит выражений вида 1-5, поэтому будет определена при любых действительных значениях аргумента, то есть: .

д) В отличие от первого примера, в записи данной функции стоит корень нечётной степени, который определён при любом действительном подкоренном выражении, т.е. .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

ВЕТКА. Нахождение ОДЗ более сложных функций

Найти область определения функции:

1) 

: ,

, ,

,     

2) 

:

Решим неравенство методом интервалов: .

Нули: . Наносим нули и ОДЗ на числовую ось.

Расставляем знаки на интервалах.

; ;

Находим пересечение полученных решений: .

3) 

:

; ;

Найдем пересечение ; .

Для функций, заданных табличным способом, область определения явно указана в таблице – это все множество перечисленных аргументов. Например, для функции, которая задана таблицей:

Областью определения будет .

Если функция задана графически, то областью определения будет множество значений координат точек графика по оси абсцисс. Иными словами, необходимо искать все значения иксов всех точек графика. Например, для графика функции

Рисунок 8 – графическое задание функции.

Областью определения будет . Края отрезка не включены, т.к. на графике крайние точки выколоты.

Пример

Указать по графику область определения функции.

а)

б)

Решение

а) На графике есть точки с любыми абсциссами, кроме , в этой точке проведена вертикальная асимптота к графику. Значит, функция определена при всех действительных значениях аргумента, кроме 1: .

б) В левой полуплоскости точек графика нет, значит, при  функция не определена. Также она не определена в точке 0, так как соответствующая точка выколота. Кроме того, по аналогии с пунктом а), функция не определена в точке .

Получаем: .

Ответ: а) ; б) .

Область значений функции – это множество значений функции, которые она принимает на своей области определения. Т.е. это все возможные значения .

Найти область значения функции сложнее, так как она определяется не только самой функцией, но и областью определения. Один из наиболее универсальных методов – воспользоваться свойством обратной функции, а именно: область значений функции совпадает с областью определения обратной функции. Например: . Чтобы найти обратную функцию, выразим  через : . То есть обратной функцией будет: . Область определения этой функции мы уже умеем находить: .

Этот же результат можно получить и по-другому. Оценим выражение: 

Таким образом, есть три метода нахождения области значения функции:

1. найти область определения обратной функции;

2. оценить значения функции с помощью двойного неравенства, используя свойства стандартных функций, входящих в саму функцию;

3. построить график функции и определить все значения , которым может быть равно значение данной функции.

Пример

Указать область значений функции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение

а) Поскольку квадрат выражения неотрицателен, то . Но подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому получаем: . Получаем: .

б) Чтобы оценить значения, которые может принимать квадратный трёхчлен, выделим полный квадрат: . Так как квадрат выражения неотрицателен, то . Получаем: .

в) Давайте сначала упростим указанное выражение, для этого раскроем скобки: . Мы знаем, что синус принимает все значения от -1 до 1, то есть .

г) Оценим показатель степени, а затем и значение всей степени: . Поскольку показательная функция с основанием 2 монотонно возрастает на всей области определения, то можем вы полнить потенцирование всех трёх частей неравенства с основанием 2: .

С правой частью всё понятно – максимальное значение функции будет равно 1. Оценим левую часть: , знаменатель дроби может быть сколь угодно большим, поэтому сама дробь будет приближаться к 0, но достичь его не сможет. Значит, областью значений функции будет: .

д) Так как аргумент может принимать любые значения, то .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Для табличного способа задания функции нахождение области значений так же просто, как и области определения. Для этого просто достаточно перечислить все указанные в таблице значения функции. Выпишем область значений из таблицы, которую мы приводили для примера к области определения.

В случае графического способа задания функции область значений видна по графику, как и область определения. В данном случае необходимо указывать множество всех значений координат точек графика по оси ординат, т.е. всех игреков. Приведем опять пример графика, по которому мы определяли область определения функции.

Рисунок 11 – графическое задание функции. Для него область значений .

Пример

Указать по графику область значений функции:

а)

б)

Решение

а) По графику можно определить, что функция принимает любые значения, которые не превосходят 2. При этом график функции стремится к горизонтальной асимптоте , но не пересекает её, то есть значение 2 функция не достигает. Получаем: .

б) По графику функции видно, что функция принимает только положительные значения (график функции стремится к 0, но не пересекает ось абсцисс, которая является горизонтальной асимптотой). При этом максимальное значение функция достигает в точке 0, и оно равно 1. Получаем: .

Ответ. а) ; б) .

Для построения графика и исследования функции часто находят точки пересечения её графика с осями координат (поскольку эти две линии есть всегда, то наличие точек, в которых график функции их пересекает, упрощает построение графика функции). Напомним, что уравнение оси абсцисс (): , то есть любая точка, лежащая на оси абсцисс, имеет координаты . Если график функции пересекает ось абсцисс в точке , то это означает, что  – ноль функции. То есть . Таким образом, чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, достаточно приравнять функцию к нулю и найти корни соответствующего уравнения.

Уравнение оси ординат (): , то есть любая точка, лежащая на оси ординат, имеет координаты . Если график функции пересекает ось ординат в точке , это означает, что в точке 0 функция принимает значение . Таким образом, чтобы найти точки пересечения с осью ординат, достаточно подставить в функцию нулевое значение аргумента, т.е.  и найти .

Обратим внимание, что в силу определения функции с осью ординат у графика функции может быть не больше одной точки пересечения, а вот с осью абсцисс – сколько угодно.

Рассмотрим в качестве примера точки пересечения с осями координат линейной функции . Точка пересечения с осью  имеет координаты  и , точка пересечения с осью  координаты  и , что можно увидеть на графике.

Рисунок 14 – график функции.

Чётность/нечётность, периодичность

Из школьного курса физики нам известно, что сила упругости, возникающая при растяжении пружины, прямо пропорциональна её растяжению (сжатию) и направлена противоположно направлению деформации (то есть если пружина сжимается, то сила упругости стремится разжать пружину и наоборот): .

Рисунок 15. Пружина

Рисунок 16. Растяжение пружины.

Рисунок 17. Сжатие пружины.

При растяжении сила упругости будет действовать влево (рис. 16). Если же пружину вместо растяжения сжать (рис. 17) на такую же величину, то сила останется такой же по величине, но направление её действия поменяется на противоположное (в законе Гука: сила поменяет знак с минуса на плюс). То есть при изменении знака удлинения на противоположный сила тоже меняет знак.

Функции, которые при изменении знака аргумента также меняют свой знак на противоположный, в математике называются нечётными. Если вернуться к примеру с пружиной, то мы также знаем, что энергия деформированной пружины вычисляется по формуле: . Как видим, энергия деформированной пружины будет одинаковой как в случае растяжения, так и в случае сжатия на одну и ту же величину. То есть при изменении знака удлинения на противоположный энергия остаётся такой же. Функции, которые при изменении знака аргумента не меняют свой знак, в математике называются чётными.

Итак, функция называется чётной, если:

1) Область определения функции симметрична относительна 0 (то есть если  принадлежит ООФ, то и  должен принадлежать ООФ).

2)  для всех значений аргумента из ООФ.

Примеры чётных функций: , , .

Функция называется нечётной, если:

1) Область определения функции симметрична относительна 0 (то есть если  принадлежит ООФ, то и  должен принадлежать ООФ).

2)  для всех значений аргумента из ООФ.

Примеры нечётных функций: , , , , , , , .

Однако функции не делятся на чётные и нечётные. Те функции, которые не относятся ни к тем, ни к другим, называются функциями общего вида. К функциям общего вида относятся, в частности, все функции, у которых ООФ несимметрична относительно 0. Примеры функций общего вида: , , , , . Кроме того, функция  является одновременно чётной и нечётной.

Чётность или нечётность функции может быть полезной при исследовании функции, а также построении графика функции. Если проанализировать вторые части определения чётной и нечётной функции, то понятно, что график чётной функции симметричен относительно оси , а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Таким образом, для чётных и нечётных функций достаточно построить график только в правой (или только в левой) полуплоскости, а вторую часть графика получить с помощью симметрии.

Пример

Определить тип четности функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение

Из определения чётной и нечётной функции следует, что первым шагом при проверке функции на чётность/нечётность должна быть проверка симметричности ООФ. Несложно убедиться, что во всех указанных примерах ООФ симметрична относительно 0. Для того чтобы проверить чётность или нечётность, необходимо в функцию вместо аргумента  подставить . Если для всех аргументов от этого значения функции не изменится, значит, функция – чётная, если изменится на противоположное – нечётная, если ни то, ни другое (для разных аргументов по-разному) – общего вида.

а)  – функция четная

б)  – функция нечетная

в)  – функция нечетная

г)  – функция общего вида

д)   – функция нечетная

Ответ. а) функция четная; б) функция нечетная; в) функция нечетная; г) функция общего вида; д) функция нечетная.

Пример

Определить по графику тип четности функции:

а)

б)

Решение

а) Как и в предыдущем примере, необходимо начать с проверки ООФ. На графике выколота точка , а в точке  функция определена, значит, ООФ несимметрична относительно 0. Значит, функция общего вида.

б) На рисунке изображена синусоида (график синуса), поэтому сразу можно сказать, что функция нечётная. Однако, даже не узнав график синуса, можно сделать вывод о том, что функция нечётная. Действительно, график функции симметричен относительно начала координат, а областью определения является вся ось.

Ответ. а) функция общего вида; б) нечетная функция.

Ещё одним полезным свойством функции может являться периодичность. Мы уже обсуждали свойства периодических функций, когда изучали тригонометрические функции. Среди функций, которые встречаются в школьной программе, только тригонометрические функции являются периодическими. Все остальные функции являются непериодическими.

Определение периодической функции следующее:  – периодическая функция с периодом , если для любого  из ООФ: . Под периодом функции обычно подразумевают наименьшее из всех возможных значений .

Мы знаем, что у синуса и косинуса период равен , а у тангенса и котангенса – . Поскольку значения периодических функций всё время повторяются, то достаточно изучить их свойства на одном периоде, чтобы понять поведение функции на всей ООФ. Периодические процессы часто встречаются в нашей жизни: катание на качелях, колебания маятников, движение стрелок часов – эти и многие другие процессы описываются периодическими функциями.

Мы знаем периоды тригонометрических функций. Однако может возникнуть необходимость нахождения периода, например, для функции . Пусть функция  имеет наименьший период . Какой период у функции , ? Обозначим его . По определению периодической функции: . С другой стороны, в силу периодичности функции : . Получаем, что: . То есть период функции  будет в 2 раза меньше периода функции , то есть равен .

Полученный результат можно объяснить и логическим рассуждениями: аргумент функции стал изменяться быстрее в 2 раза. Значит, значения функции стали повторяться в 2 раза быстрее, то есть период в 2 раза уменьшился.

Пример

Указать период функций: а) ; б) .

Решение

а) Период синуса равен , а период данной функции в  раз меньше, то есть равен .

б) Вынесем минус из аргумента, чтобы получить положительный коэффициент перед аргументом: . Период котангенса равен , а период данной функции в  раз меньше. Получаем: .

Остальные действия с функцией на значение периода не влияют.

Ответ. а) ; б) .

Монотонность функции

Среди известных нам функций:  на всей своей области определения возрастает.

А функция  на всей своей области определения убывает.

А  то убывает, то возрастает.

Если же анализировать константу, то её значения не меняются при изменении аргумента. То есть константа не возрастает и не убывает.

Если функция на некотором промежутке не меняет своего поведения (всё время растёт или всё время убывает), то говорят, что функция на этом промежутке монотонна.

1) Функция  возрастает на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

2) Функция  убывает на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;

Рисунок 23 – монотонность функции.

3) Функция  не убывает на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что .

4) Функция  не возрастает на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что .

Рисунок 24. Немонотонные функции.

Для первых двух случаев еще применяют термин «строгая монотонность».

Пример

Указать промежутки монотонности функции, которая задана графически.

Решение

Функция возрастает там, где большему значению аргумента соответствует большее значение функции. На графике это означает, что при движении слева направо график функции поднимается вверх: .

Функция убывает там, где большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. На графике это означает, что при движении слева направо график функции опускается вниз: .

Концы промежутков мы не включаем в промежутки возрастания и убывания, так как в этих точках функция не возрастает и не убывает (точно так же, мы не относим 0 ни к положительным, ни к отрицательным числам).

Ответ: функция возрастает при ; функция убывает при . 

Исследование функции

Обобщим рассмотренную на этом уроке информацию и проведём исследование функций, заданных графически. Исследовать функцию – означает указать основные характеристики и свойства функции (ООФ, область значений, точки пересечения с осями координат, чётность/нечётность/общий вид, периодичность/непериодичность, промежутки монотонности).

Пример

Исследовать функции, заданные графически.

а)

б)

Решение

а) Схема исследования функции стандартная. Начинаем с нахождения ООФ и области значений. Затем находим точки пересечения с осями координат и исследуем различные свойства.

1. Область определения .

2. Область значений .

3. Точки пересечения с осями: с осью ординат ; с осью абсцисс точек пересечения нет.

4. Т.к. ООФ симметрична относительно 0, а график функции симметричен относительно оси ординат, то функция чётная.

5. Непериодическая.

6. Монотонно возрастает при , монотонно убывает при .

б) 1. Область определения .

2. Область значений .

3. Точки пересечения с осями: с осью абсцисс ; с осью ординат точек пересечения нет.

4. ООФ симметрична относительно 0, но график функции несимметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат, поэтому функция является функцией общего вида.

5. Непериодическая.

6. Монотонно возрастает при , монотонно убывает при . 

Заключение

На следующем уроке мы будем исследовать уже известные нам функции, заданные аналитически, а также рассмотрим преобразование графиков функций.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/urok-12-funktsii-i-ih-svoystva-praktika

2. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-algebry-9go-klassa/opredelenie-chislovoy-funktsii-oblast-opredeleniya-oblast-znacheniy-funktsii

3. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-algebry-9go-klassa/chyotnye-i-nechyotnye-funktsii

4. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/bpovtorenie-kursa-algebry-10-klassab/issledovanie-funktsiy

5. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-algebry-9go-klassa/chislovye-funktsii-svoystva-funktsii

6. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/issledovanie-funktsiy-na-chetnost

7. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/opredeleniya-i-svoystva-chetnyh-i-nechetnyh-funktsiy

8. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/pryamaya-i-obratnaya-funktsii

9. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/nahozhdenie-oblasti-opredeleniya-i-oblasti-znacheniy-chislovoy-funktsii

10. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/neravenstva/intervaly-monotonnosti-funktsiy-i-soputstvuyuschie-zadachi

11. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/urok-12-funktsii-i-ih-svoystva-teoriya

12. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/neravenstva/issledovanie-funktsiy-na-monotonnost