20. Функции. Свойства функции (основной урок)

Определение функции. Понятие ГМТ. Отличие функции от ГМТ

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества (называемого областью значений): .

Способы задания числовой функции:

• Аналитический способ– задание функции с помощью формулы вида: , где  – аргумент функции, а  – значение функции. Аналитическое задание одной и той же функции может быть записано по-разному, например: или .

• Табличный способ – задание функции с помощью таблицы связанных друг с другом значений. Такой способ обычно используется, если значение функции известно только для некоторых значений аргумента.

• Графический способ – задание функции с помощью изображения точек в системе координат, когда одной координате точки поставлена в однозначное соответствие другая ее координата.

ГМТ – расположение точек на плоскости. Не каждое ГМТ является функцией. Если аргументу из области определение соответствует больше чем одно значение из области значений, то такое отношение не задает функцию (пример ГМТ, не являющимся графиком функции, – окружность).

Область определения и область значения функции. Точки пересечения с осями координат

Множество  значений аргумента называется областью определенияфункции (ООФ) и обозначается . Множество  значений функции называется областью значенийфункции (ОЗФ) и обозначается .

1. Функция задана аналитически. Для того чтобы найти ООФ функции, необходимо найти ОДЗ выражения . Часто встречающиеся ограничения для ОДЗ:

• , ;

• , , ,

• ,

2. Функция задана таблицей. Для функций, заданных табличным способом, область определения явно указана в таблице – это все множество перечисленных аргументов.

3. Функция задана графически. Если функция задана графически, то областью определения будет множество значений координат точек графика по оси абсцисс, то есть множество .

Область значений функции – это множество значений функции, которые она принимает на своей области определения. Т.е. это все возможные значения .

1. Функция задана аналитически. Три метода нахождения области значения функции:

• найти область определения обратной функции;

• оценить значения функции с помощью двойного неравенства, используя свойства стандартных функций, входящих в саму функцию;

• построить график функции и определить все значения , которым может быть равно значение данной функции.

2. Функция задана таблицей. Для функций, заданных табличным способом, область значения явно указана в таблице – это все множество перечисленных значений функции.

3. Функция задана графически. Если функция задана графически, то областью значений будет множество значений координат точек графика по оси ординат, то есть множество y.

Для построения графика и исследования функции часто находят точки пересечения её графика с осями координат (поскольку эти две линии есть всегда, то наличие точек, в которых график функции их пересекает, упрощает построение графика функции).

• Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, достаточно приравнять функцию к нулю и найти корни соответствующего уравнения.

• Чтобы найти точки пересечения с осью ординат, достаточно подставить в функцию нулевое значение аргумента, т.е.  и найти .

Замечание: в силу определения функции, с осью ординат у графика функции может быть не больше одной точки пересечения, а вот с осью абсцисс – сколько угодно.

Чётность/нечётность, периодичность

Функции, которые при изменении знака аргумента также меняют свой знак на противоположный, называются нечётными. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция называется нечётной, если:

1. область определения функции симметрична относительна 0 (то есть если  принадлежит ООФ, то и  должен принадлежать ООФ);

2.  для всех значений аргумента из ООФ.

(примеры нечётных функций: , , , , , , , )

Функции, которые при изменении знака аргумента не меняют свой знак, в математике называются чётными. График чётной функции симметричен относительно оси .

Функция называется чётной, если:

1. область определения функции симметрична относительна 0 (то есть если  принадлежит ООФ, то и  должен принадлежать ООФ);

2.  для всех значений аргумента из ООФ.

(примеры чётных функций: , , )

Функции, которые не относятся ни к тем, ни к другим, называются функциями общего вида. К функциям общего вида относятся, в частности, все функции, у которых ООФ несимметрична относительна 0 (примеры функций общего вида: , , , , ).

Замечание: функция  является одновременно чётной и нечётной.

Определение периодической функции следующее:  – периодическая функция с периодом , если для любого  из ООФ: . Под периодом функции обычно подразумевают наименьшее из всех возможных значений .

Среди функций, которые встречаются в школьной программе, только тригонометрические функции являются периодическими. У синуса и косинуса период равен , а у тангенса и котангенса – . Чтобы найти период  функции , где , зная, что период функции  равен , необходимо период  функции  поделить на коэффициент, стоящий при аргументе функции , то есть .

1) Монотонность функции

Если функция на некотором промежутке не меняет своего поведения (всё время растёт или всё время убывает), то говорят, что функция на этом промежутке монотонна.

• функция  убывает на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

• функция  возрастает на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

• функция  не убывает на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что.

• функция  не возрастает на некотором интервале, если для любых двух точек  и  этого интервала таких, что  выполнено, что .

Для первых двух случаев еще применяют термин «строгая монотонность».

2) Исследование функции

Исследовать функцию – означает указать основные характеристики и свойства функции (ООФ, область значений, точки пересечения с осями координат, чётность/нечётность / общий вид, периодичность/непериодичность, промежутки монотонности).