10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)

Линейные неравенства. Неравенства, сводящиеся к линейным

Мы уже обсуждали решение линейных уравнений, то есть уравнений вида:  (). Но, кроме равенства, возможно неравенство (то есть когда  или ).

Неравенства, как и уравнения, решаются относительно неизвестной: решить неравенство означает найти все значения переменной, при которых неравенство будет выполнено (или доказать, что таких значений переменной нет).

Неравенства, о которых мы говорили ( или ), называются линейными.

Рассмотрим решение стандартных линейных неравенств (как мы уже говорили, это неравенства вида (на месте знака  может стоять любой из знаков )).

Любое неравенство нужно попробовать эквивалентными преобразованиями (то есть преобразованиями, которые не меняют множества решений неравенства) привести его к виду .

Два основных эквивалентных преобразования для любых неравенств.

1) К обеим частям неравенства можно добавить одно и то же действительное число. Частный случай этого преобразования: перенос слагаемого из одной части неравенства в другую c заменой его знака на противоположный.

2) Обе части неравенства можно домножить на одно и то же число, отличное от нуля. При домножении на положительное число знак неравенства сохраняется, а при домножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ( на , на ).

 Это следует из того, что если число  – положительное, то есть , то противоположное ему число  – отрицательное (определение отрицательных чисел). Поэтому при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число, знак неравенства необходимо менять на противоположный.

Пример

Решить неравенство: 

Решение

Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства.

Приведём подобные слагаемые.

Получили стандартное линейное неравенство. Решим его.

Изобразим множество решений неравенства на числовой оси.

Пример

Решить неравенство:

Решение

Сначала избавимся от знаменателей. Домножим обе части неравенства на общий знаменатель всех дробей: . Так как мы домножаем на положительное число, знак неравенства сохраняется.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Получили стандартное линейное неравенство.

Пример

Решить неравенство: .

Решение

Упростим неравенство. В первом слагаемом выполним возведение в квадрат по формуле: . Во втором слагаемом раскроем скобки.

Приведём подобные слагаемые.

Получили стандартное линейное неравенство.

Системы линейных неравенств

Пример

Решить систему:

Решение

Решить систему неравенств –  найти те значения переменной, при которых одновременно выполнено каждое из неравенств (или доказать, что таких значений не существует). То есть, чтобы решить систему неравенств, нужно сначала решить каждое неравенство отдельно, а потом в ответ записать общую часть (пересечение) всех решений.

Решим приведённую ранее систему. Сначала решим каждое неравенство отдельно.

1) 

2) 

Теперь изобразим решение каждого неравенства и найдём их пересечение.

Пример

Решить систему неравенств: .

Решение

Сначала решим каждое неравенство отдельно.

1)         

Упростим неравенство. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

2) 

Сначала избавимся от знаменателя, домножим обе части неравенства на (знак неравенства сохранится, так как домножаем на положительное число).

Перенесём  вправо:

Квадратные неравенства

В теоретической справке к уроку мы обсудили очень важный факт: если функция  определена и непрерывна на отрезке , то свой знак на этом отрезке она может (но необязательно) менять только в тех точках этого отрезка, в которых она равна .

Рассмотрим квадратное неравенство , где .

Для того чтобы решить неравенство, научимся определять знак квадратного трёхчлена  на всей числовой оси. Для этого нужно определить нули этого выражения – корни квадратного трёхчлена. Как мы уже знаем, возможны три случая.

1) . У квадратного трёхчлена есть два корня , . Значит, только в этих точках квадратный трёхчлен может менять свой знак. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: достаточно определить знак квадратного трёхчлена на каждом из этих промежутков, а затем выписать решение неравенства.

2) . У квадратного трёхчлена один корень . Только в этой точке квадратный трёхчлен может менять свой знак. Эта точка разбивает числовую ось на два промежутка: достаточно определить знак квадратного трёхчлена на каждом из этих промежутков, а затем выписать решение неравенства.

3) . Квадратный трёхчлен действительных корней не имеет. То есть квадратный трёхчлен ни в одной из точек не меняет знак. Достаточно найти знак квадратного трёхчлена в любой точке, чтобы узнать его знак на всей числовой оси, а потом выписать решение неравенства.

Итак:

1) Если старший коэффициент () отрицательный, то домножаем обе части неравенства на , при этом знак неравенства меняется на противоположный.

2) В зависимости от дискриминанта и знака неравенства получаем один из шести случаев: 

3) Исходя из знака неравенства, выбираем необходимые промежутки.

Пример

Решить неравенство: .

Решение

Данное неравенство является квадратным. Решим его по описанному алгоритму.

Старший коэффициент положительный, поэтому сразу переходим ко второму шагу. Найдём дискриминант.

:

Выражение принимает положительные значения при всех значениях . Значит, решение неравенства : – любое действительное число.

Пример

Решить неравенство: .

Решение

Данное неравенство является квадратным. Решим его по описанному алгоритму.

Старший коэффициент отрицательный, поэтому сначала домножим обе части неравенства на . Так как мы домножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Теперь найдём дискриминант.

. Найдём нули трёхчлена .

Нам нужно указать те , при которых , то есть нам подходят промежутки со знаком , а также нули квадратного трёхчлена.

Пример

Решить неравенство: .

Решение

Данное неравенство является квадратным. Решим его по описанному алгоритму.

Старший коэффициент положительный, поэтому сразу переходим ко второму шагу. Найдём дискриминант.

. Найдём нуль трёхчлена .

Нам нужно указать те , при которых , то есть нам подходят отрицательные значения квадратного трёхчлена и . Отрицательных значений данный трёхчлен не принимает, поэтому решением неравенства будет только одна точка , в которой трёхчлен равен .

Метод интервалов при решении дробно-рациональных неравенств

При решении квадратных неравенств мы уже обсудили основную идею метода интервалов: разбить ОДЗ функции на промежутки, на которых знак функции не меняется, и решить неравенство на каждом из этих промежутков.

Рассмотрим теперь общий метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств (вида , где  – дробно-рациональная функция).

Алгоритм решения таких неравенств:

1. Найти ОДЗ левой части неравенства , то есть исключить нули знаменателя.

2. Найти нули , то есть нули числителя.

3. Нули знаменателя и числителя разбивают числовую ось на интервалы, на которых знак функции  не меняется.

4. Определить знак функции на каждом из таких полученных интервалов.

5. Записать решение неравенств.

Важно отметить, что множитель и в числителе, и в знаменателе одинаково влияет на знак левой части неравенства. Единственное отличие в том, что ноль знаменателя не входит в решение (так как не входит в ОДЗ), а ноль числителя может входить в решение неравенства, если оно нестрогое.

Пример

Решить неравенство: .

Решение

1) Находим ОДЗ.

Неравенство содержит дробь, знаменатель дроби не должен равняться .

ОДЗ:

2) Находим нули левой части неравенства.

Для этого приравниваем числитель к нулю и находим корни полученного уравнения.

3) Наносим нули и ОДЗ на числовую ось.

Рисуем числовую ось. Нули отмечаем закрашенными точками, если неравенство нестрогое, и выколотыми, если неравенство строгое. Точки, которые не входят в ОДЗ, отмечаем выколотыми.

4) Находим знак на каждом промежутке.

Для этого берем точку из каждого промежутка, подставляем её в выражение и определяем знак.

Начнём с промежутка . Возьмём точку из этого промежутка (например, ) и подставим в выражение: .

Значит, на этом промежутке  принимает положительные значения, ставим знак  над соответствующим промежутком.

Теперь перейдём к следующему промежутку . Возьмём точку этого промежутка, например, . Подставляем её: .

Выбираем точку следующего промежутка , например, . Подставляем её: .

Выбираем точку следующего промежутка , например, . Подставляем её: .

Выбираем точку последнего промежутка , например, . Подставляем её: .

5) Выбираем те промежутки, которые удовлетворяют неравенству.

Нам необходимо выбрать те промежутки, на которых выполняется . То есть промежутки со знаком и точки, в которых  (нули, которые мы нашли в п. 2).

Пример

Решить неравенство: .

Решение

Чтобы воспользоваться методом интервалов, в правой части неравенства должен стоять , а в левой – дробь. Попробуем привести данное неравенство к такому виду.

Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, а потом приведём их к общему знаменателю.

Общий знаменатель .

Приведём подобные слагаемые: .

Мы получили рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.

Находим ОДЗ.

ОДЗ:

Находим нули:

Отмечаем на числовой оси нули и ОДЗ.

Определим знаки на каждом промежутке: : возьмём .

: возьмём .

: возьмём .

: возьмём .

Нам необходимо найти те значения переменной, при которой выполняется .

Значит, нам подходят промежутки со знаком и нули.

Неравенства с модулями

Пример

Решить неравенство: .

Решение

Неравенства с модулями можно решать двумя основными способами.

Способ 1.

Начнём решение неравенства с исследования выражений под знаком модуля. После того как мы раскроем модули, неравенство становится обычным (в данном примере – линейным), с решением которого мы уже знакомы.

1) Находим нули подмодульных выражений (в этих точках подмодульные выражения меняют свой знак).

2) Нули подмодульных выражений разбивают числовую ось на несколько интервалов. Расставляем знаки подмодульных выражений на этих интервалах.

3) На каждом интервале раскрываем модули и решаем полученное неравенство. После получения решения нужно выбрать ту его часть, которая принадлежит интервалу, на котором мы в данный момент работаем.

1. :

 2. :

Ответ: .

2 способ

Использовать уже рассмотренный метод интервалов. Для этого перенесём все слагаемые в левую часть: .

Мы получили неравенство вида , где .

ОДЗ данной функции – вся числовая ось, поэтому перейдём сразу к поиску нулей данной функции. Для этого решим уравнение: . Это модульное уравнение, которое мы уже умеем решать: .

Значит, две точки, в которых функция может менять свой знак – это точки и .

Они разбивают ось на три промежутка – найдём знаки функции на каждом из этих промежутков.

На первом промежутке возьмём точку : знак .

На втором точку : знак

На третьем точку : знак .

Поскольку неравенство , то нас устраивают первый и третий промежуток, включая концы этих промежутков (неравенство нестрогое).

Ответ: .

Пример

Решить неравенство: .

Решение

Находим нули подмодульных выражений.

Нули подмодульных выражений разбивают числовую ось на три интервала. Расставляем знаки подмодульных выражений на этих интервалах.

На каждом интервале раскрываем модули и решаем полученное неравенство. После получения решения выбираем ту его часть, которая принадлежит интервалу, на котором мы в данный момент работаем.

При :

При :

Данное неравенство верно при любом значении , но из промежутка, на котором мы сейчас работаем.

При :

Объединим полученные решения.

Ответ: .

Решите неравенство вторым способом и убедитесь, что ответы совпадут.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели решение линейных и квадратных неравенств, решение неравенств методом интервалов, а также решение неравенств с модулями.

На следующем уроке мы поговорим об иррациональных уравнениях и неравенствах.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Урок «Основные понятия. Решение линейных неравенств» (алгебра, 9 класс, раздел «Системы рациональных неравенств»)

2. Урок «Линейные неравенства и их системы. Модуль» (алгебра, 9 класс, раздел «Итоговое повторение курса алгебры 9 класса»)

3. Урок «Основные понятия. Решение систем линейных неравенств» (алгебра, 9 класс, раздел «Системы рациональных неравенств»)

4. Урок «Решение линейных и квадратных неравенств» (алгебра, 9 класс, раздел «Системы рациональных неравенств»)

5. Урок «Решение квадратных неравенств» (алгебра, 8 класс, раздел «Неравенства»)

6. Урок «Решение рациональных неравенств методом интервалов» (алгебра, 9 класс, раздел «Системы рациональных неравенств»)

7. Урок «Метод интервалов» (алгебра, 9 класс, раздел «Системы рациональных неравенств»)

8. Урок «Неравенства с модулями» (алгебра, 11 класс, раздел «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»)