10. Линейные неравенства. Квадратичные неравенства. Метод интервалов при решении неравенств (основной урок)

Линейные неравенства. Неравенства, которые сводятся к линейным

Неравенства вида  или  называются линейными.

Решить неравенство означает найти все значения переменной, при которых неравенство будет выполнено (или доказать, что таких значений переменной нет).

Решение стандартных линейных неравенств:

Два основных эквивалентных преобразования для любых неравенств:

1. К обеим частям неравенства можно добавить одно и то же действительное число. Частный случай этого преобразования: перенос слагаемого из одной части неравенства в другую c заменой его знака на противоположный.

2. Обе части неравенства можно домножить на одно и то же число, отличное от нуля. При домножении на положительное число знак неравенства сохраняется, а при домножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ( на ,  на ).

Три способа задать решение неравенства:

• Неравенство: например, .

• Промежуток: например, .

• Числовая ось: например,

Системы линейных неравенств

Решить систему неравенств – значит найти те значения переменной, при которых одновременно выполнено каждое из неравенств. То есть, чтобы решить систему неравенств, нужно сначала решить каждое неравенство отдельно, а потом в ответ записать общую часть (пересечение) всех решений.

Квадратные неравенства

Квадратное неравенство – неравенство вида , где .

Для того чтобы решить неравенство, нужно определить знак квадратного трёхчлена  на всей числовой оси. Для этого нужно определить нули этого выражения – корни квадратного трёхчлена. Как мы уже знаем, возможны три случая:

1. . У квадратного трёхчлена есть два корня , . Значит, только в этих точках квадратный трёхчлен может менять свой знак. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка, достаточно определить знак квадратного трёхчлена на каждом из этих промежутков, а затем выписать решение неравенства.

2. . У квадратного трёхчлена один корень . Только в этой точке квадратный трёхчлен может менять свой знак. Эта точка разбивает числовую ось на два промежутка, достаточно определить знак квадратного трёхчлена на каждом из этих промежутков, а затем выписать решение неравенства.

3. . Квадратный трёхчлен действительных корней не имеет. То есть квадратный трёхчлен ни в одной из точек не меняет знак. Достаточно найти знак квадратного трёхчлена в любой точке, чтобы узнать его знак на всей числовой оси, а потом выписать решение неравенства.

Итак:

1) Если старший коэффициент ()отрицательный, то домножаем обе части неравенства на , при этом знак неравенства меняется на противоположный.

2) В зависимости от дискриминанта и знака неравенства получаем один из шести случаев: .

3) Исходя из знака неравенства, выбираем необходимые промежутки.

Метод интервалов при решении дробно-рациональных неравенств

Алгоритм решения:

1. Найти ОДЗ левой части неравенства , то есть исключить нули знаменателя.

2. Найти нули , то есть нули числителя.

3. Нули знаменателя и числителя разбивают числовую ось на интервалы, на которых знак функции  не меняется.

4. Определить знак функции на каждом из таких полученных интервалов.

5. Записать решение неравенств.

Важно отметить, что множитель и в числителе, и в знаменателе одинаково влияет на знак левой части неравенства. Единственное отличие в том, что ноль знаменателя не входит в решение (так как не входит в ОДЗ), а ноль числителя может входить в решение неравенства, если оно нестрогое.

Неравенства с модулями

Два основных способа решения:

• Исследовать выражение под знаком модуля (как в уравнениях). После того как модули раскрыты, неравенство становится обычным (линейным или квадратным), с решением которых мы уже знакомы.

• Метод интервалов.