14. Логарифмы. Практика (основной урок)

Логарифмы и их свойства

На прошлом уроке мы рассматривали три задачи, связанные с вкладом в банк. Напомним их условие.

Вы положили в банк рублей:

1) Банк пообещал выплачивать годовых. Сколько денег будет на вашем счету через года, года, лет? Будем считать, что деньги со счёта вы не снимаете.

2) Банк пообещал, что если вы не будете снимать деньги со счёта, то через года на вашем счету будет рублей. Сколько процентов годовых будет выплачивать банк в этом случае?

3) Банк пообещал выплачивать годовых. Через сколько лет на вашем счету будет рублей? рублей?

Как мы уже обсуждали, для решения первой задачи необходимо возводить в степень, второй – извлекать корень.

В третьей задаче мы столкнулись с показательным уравнением вида .

Мы рассмотрели частный случай: когда правая часть уравнения представима в виде степени с основанием . Например, .

Но разобранный пример особенный. А можно ли решить показательное уравнение общего вида, например, ?

Рассмотрим значения показательной функции  при некоторых значениях .

Как видим из таблицы, мы можем приблизить решение как угодно (как нужно для расчётов) близко рациональным числом. Например, с точностью до шестого знака: при : . То есть такое значение переменной неплохо приближает решение.

То самое точное решение уравнения , которое как угодно точно можно приблизить рациональной дробью, но нельзя записать конечной (или бесконечной периодической) рациональной дробью, обозначим .

Мы уже сталкивались с похожей ситуацией при решении уравнения  – мы могли с любой точностью приближенно находить число, квадрат которого равен , но не могли записать его в виде конечной десятичной дроби. Аналогично решение уравнения  – число иррациональное.

Обобщим: решением уравнения будем называть число . Проиллюстрируем определение логарифма.

На прошлом уроке мы говорили, что показательная функция принимает любое положительное значение. Решая графически уравнение , мы видим, что у функций и  есть точка пересечения. Абсцисса точки пересечения (координата по оси ) и есть .

Логарифм – это решение показательного уравнения . Как мы уже обсуждали на предыдущем уроке, основание степени , . Кроме того, мы говорили, что данное уравнение имеет решение только в том случае, если правая часть положительна: .

С учётом этих ограничений дадим строгое определение.

Для . То есть логарифм – это степень, в которую необходимо возвести основание (), чтобы получилось подлогарифмическое выражение ().

Говоря другими словами, логарифм ставит в соответствие каждой степени некоторый показатель . Таким образом, логарифмическая функция записывается следующим образом: .

Некоторые логарифмы являются рациональными числами. Например:

1) , так как .

2) , так как .

3) , так как .

4) , так как .

Если подобрать соответствующий показатель степени сложно, то значение логарифма можно вычислить с помощью составления показательного уравнения. Обозначим . Тогда, по определению логарифма, . Такое показательное уравнение мы уже умеем решать – приводим обе части к одному основанию : . Значит, .

В математике, физике, информатике и других науках часто используются логарифмы с основаниями  и . Поэтому для них введены специальные обозначения, позволяющие записывать их сокращённо:

Десятичный логарифм – это логарифм с основанием . Обозначается: .

Натуральный логарифм – это логарифм с основанием . Обозначается следующим образом: .

Определение логарифма можно переписать в виде .

Такая запись определения называется основным логарифмическим тождеством. Несмотря на специальное название, данное тождество является эквивалентной записью определения.

Используя определение и свойства степени, можно получить различные свойства логарифмов.

Например, из тождеств и  следует два полезных свойства логарифма, а именно: .

Используя свойства степени,  и , можно получить формулы для суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями: ,  для , .

Попробуйте доказать эти свойства самостоятельно при помощи основного логарифмического тождества. Если не получится, смотрите свёртку.

Аналогично со знаком минус.

Используя свойство степени: , можно выносить показатель степени подлогарифмического выражения или основания за логарифм:

, для , , .

Попробуйте доказать эти свойства самостоятельно при помощи основного логарифмического тождества. Если не получится, смотрите свёртку.

Из определения логарифма понятно, что его значение зависит от основания. Может показаться, что это усложняет работу с логарифмами, однако это не совсем так.

Логарифм можно преобразовать к любому положительному основанию, не равному единице.

Докажем, что: , . Эта формула называется формулой перехода к новому основанию.

Как и при доказательстве предыдущих свойств, воспользуемся потенцированием.

Если мы хотим перейти к основанию , то получим: .

Это свойство можно переписать следующим образом: .

Теперь необходимо научиться работать с выражениями, содержащими логарифмы (преобразовывать и упрощать). Для этого нужно уметь:

1) вычислять значение логарифмов;

2) преобразовывать выражения, содержащие логарифмы в показателе степени;

3) преобразовывать сумму / разность логарифмов с одинаковыми основаниями;

4) приводить логарифмы к любому основанию.

Для преобразования выражений, содержащих логарифмы, нам понадобятся следующие инструменты:

1) Определение логарифма  и его эквивалентная запись (основное логарифмическое тождество) .

2) Сложение / вычитание логарифмов с одинаковыми основаниями: ,  для , .

3) Вынесение показателя степени за логарифм: , для .

4) Переход к новому основанию: ,.

Вычисление значений логарифмов. Основное логарифмическое тождество

Рассмотрим задания на вычисление значений логарифмов. Это можно делать двумя способами:

1) по определению, – составляя показательное уравнение;

2) с помощью свойства: , где .

Пример

А) Вычислить значение выражения: .

Решение

Самый простой способ вычисления логарифмов – «в лоб», по определению. Таким образом, вычисление логарифма сводится к решению показательного уравнения.

В данном случае: .

Получили простейшее показательное уравнение. Необходимо привести левую и правую части к одинаковым основаниям: .

Б) Вычислить значение выражения: .

Решение

.

Необходимо привести левую и правую части к одинаковым основаниям:

.

Рассмотрим второй способ вычисления, используя свойство:

, где .

Для этого необходимо представить основание логарифма и / или подлогарифмическое выражение в виде степени. Например, .

Пример

Упростить выражение .

Решение

В таких случаях преобразования нужно начинать с внутреннего логарифма (если это необходимо). Видим, что корень можно упростить: , получаем:

.

Теперь необходимо вычислить значение внутреннего логарифма : .

.

Получаем: .

Значение этого логарифма мы также уже умеем находить: .

Пример

Найти значение выражения .

Решение

Вычислять логарифм можно и по определению (составить и решить показательное уравнение). Но мы потренируемся вычислять логарифмы, используя свойство:

, где .

Для этого представим подлогарифмическое выражение в виде степени с основанием 2. Для этого вспомним определение степени с рациональным показателем: .

.

Получаем: . Вынесем показатель степени:

.

Проанализируем решение: первую часть – преобразование корней в степень с рациональным показателем – мы научились выполнять на предыдущих уроках. После того, как мы это сделали, мы получили логарифм, значение которого уже умеем вычислять.

Если вам встретилось выражение, у которого логарифм стоит в показателе степени, то почти наверняка для его упрощения понадобится основное логарифмическое тождество:

, где .

Чтобы использовать это тождество, необходимо преобразовать выражение так, чтобы у него совпали основания степени и логарифма.

Пример

Упростить выражение: .

Решение

Как и в случае преобразования выражений со степенями, а также решения показательных уравнений, нам пригодится таблица степеней.

Тогда сразу видно, что: . Если же вы не помните таблицу степеней, то нужно раскладывать основание на множители. В любом случае, получается:

.

Пример

Вычислить значение выражения .

Решение

Обратим внимание на то, что у обеих степеней одинаковые показатели. Как мы уже обсуждали на предыдущих уроках: . Поэтому получаем: .

Пример

Вычислить значение выражения .

Решение

Каждое из слагаемых можно упростить по отдельности: во втором основания логарифма и степени совпадают и равны , а в первом можно заменить: .

Получаем: .

Пример

Упростить выражение .

Решение

Как видим, в показателе степени стоит сумма. В этом случае необходимо пользоваться свойством степени, а именно: . Получаем:

.

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

• Определение логарифма.

• Основное логарифмическое тождество.

• Свойства степени.

Уметь

• Решать простейшие показательные уравнения.

Понимать

• Если логарифм стоит в показателе степени, то необходимо преобразовать степень к виду  для использования основного логарифмического тождества.

Сумма/разность логарифмов

Для преобразования суммы / разности логарифмов с одинаковым основанием нам понадобятся свойства логарифма:

, где ,

где ,

Пример

Упростить выражение: .

Решение

В условии видим разность логарифмов с одинаковым основанием, значит, воспользуемся соответствующим свойством и преобразуем разность логарифмов в логарифм частного:

.

Пример

Упростить выражение: .

Решение

Если бы перед вторым логарифмом не было числового коэффициента 2, мы могли бы воспользоваться свойством суммы логарифмов. Но в условии перед вторым логарифмом числовой коэффициент есть.

Как поступать в таких случаях? Можно, конечно, решить пример «в лоб»:

.

Но понятно, что, если бы вместо перед логарифмом стояло , этот метод был бы не очень быстрым.

Можно «схитрить», если заметить, что , и вынести в первом слагаемом за логарифм: .

Ещё один способ «схитрить» заключается в том, чтобы расписать второй логарифм в виде разности двух логарифмов.

Однако ни один из этих способов не претендует на универсальность. Давайте рассмотрим универсальный способ, который позволяет избавиться от коэффициента перед логарифмом.

Для этого воспользуемся свойством вынесения показателя за логарифм справа налево: , где . Тогда:

.

Пример

Упростить выражение: .

Решение

Внесём числовой коэффициент перед третьим логарифмом в показатель степени:

.

Пример

Упростить выражение .

Решение

Сначала упростим числитель и знаменатель отдельно (мы уже умеем это делать):

.

Внесём числовой коэффициент перед первым логарифмом знаменателя в показатель степени:

,

.

Пример

Вычислить значение выражения .

Решение

Как мы уже говорили, если в показателе степени стоят логарифмы, то, скорее всего, понадобится основное логарифмическое тождество. Но в данном случае в показателе степени стоит выражение, которое необходимо предварительно преобразовать, чтобы представить его в виде логарифма с основанием :

.

Получаем: .

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

• Свойства суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями.

• Свойство показателя степени под логарифмом.

Переход к новому основанию

Формула перехода к новому основанию , где используется в двух случаях:

1) справа налево, если необходимо преобразовать отношение двух логарифмов с одинаковым основанием, например: ;

2) если в выражении содержатся логарифмы с разными основаниями, которые не удаётся представить в виде степени (говоря другими словами, ни одно из других свойств не помогло).

Пример

А) Упростить выражение .

Решение

В выражении стоит произведение логарифмов с разными основаниями. Поэтому будем использовать формулу перехода к новому основанию.

Логарифмы нужно привести к одному основанию. Можем выбрать любое – и , и . Приведём первый логарифм к основанию : .

Б) Упростить выражение .

Решение

Вспомним, что запись означает . Приведём первый логарифм к основанию :

.

Обратим внимание, что в обоих примерах основание одного из логарифмов совпадало с подлогарифмическим выражением другого. В таких случаях можно использовать следствие из формулы перехода к новому основанию, которое мы вывели: . Действительно:

.

Пример

Упростить выражение .

Решение

Снова видим произведение логарифмов с разными основаниями. Приведём все логарифмы к одному из оснований, например, к :

.

Пример

Найти значение выражения .

Решение

Поскольку логарифм стоит в показателе степени, то будем использовать основное логарифмическое тождество. Однако в основании степени стоит , а в основании логарифма –. Приведём логарифм к основанию с помощью формулы перехода к новому основанию: . Такое выражение мы уже умеем упрощать: .

Этот пример можно решить быстрее, если помнить следствие из формулы перехода к новому основанию: . Тогда: .

Пример

Упростить выражение .

Решение

Поскольку логарифмы стоят в показателях степени, то нам понадобится основное логарифмическое тождество: . Однако основания степеней и логарифмов не совпадают.

Приведём любой из логарифмов к основанию, совпадающему с основанием соответствующей степени, например,  к основанию :

. Первое слагаемое мы уже умеем преобразовывать: , получаем:

.

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

• Формулу перехода к новому основанию.

Понимать

• Логарифм можно преобразовать к любому основанию, которое больше и не равно .

• Если в выражении встречаются логарифмы с разными основаниями, то, скорее всего, нужно использовать формулу перехода к новому основанию.

Преобразование логарифмов с переменными

Пример

Найти значение выражения , если .

Решение

Задания такого типа можно решать двумя основными способами:

1) Преобразовать выражение с помощью изученных свойств логарифмов.

2) Выразить одну переменную через другую из данного в условии равенства.

Рассмотрим решение этого примера обоими способами.

1 способ:

Преобразуем выражение: .

2 способ:

(по определению). Подставляем полученное равенство в выражение .

Можно было немного упростить вычисления, если записать .

Пример

Найти значение выражения , если .

Решение

1 способ:

.

2 способ:

,

Пример

Найти значение выражения: , если .

Решение

1 способ:

Преобразуем выражение: . Обратим внимание, что мы получили левую часть формулы сокращения, а именно: квадрата суммы. Получаем:

.

2 способ:

.

.

Можно было действовать и по-другому: .

Подставим: . 

Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

• Определение и свойства логарифмов.

Уметь

• Преобразовывать выражения, содержащие логарифмы.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели понятие логарифма, дали строгое определение и изучили свойства.

На следующем уроке мы рассмотрим логарифмические уравнения, неравенства и их системы.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) Понятие логарифма (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции»)

2) Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами. Практика (алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЭГЕ»)

3) Переход к новому основанию логарифма (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции»)

4) Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами. Теория (алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЭГЕ»)

5) Свойства логарифмов. Логарифм степени (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции»)

6) Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции»)

7) Натуральные логарифмы. Функция у-ln-x. Ее свойства. График дифференцирования (алгебра, 11 класс, раздел «Показательная и логарифмическая функции»)