01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)

Основные числовые множества. Делимость

При решении практически любой задачи мы работаем с различными числами. Все эти числа можно объединить в несколько групп, которые называются числовыми множествами.

Основные числовые множества:

 – натуральные числа (1, 2, 3, …);

 – целые числа (…, -2, -1, 0, 1, 2, …);

 – рациональные числа (, где ,  – целые, );

 – действительные числа (рациональные + иррациональные).

Отметим, что все натуральные числа являются целыми, все целые и натуральные – рациональными, но обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Например, число  – целое, но не натуральное. Точно так же, как утверждение «все слоны – млекопитающие» верно, а обратное «все млекопитающие – слоны» - нет (например, жираф – млекопитающее, но не слон).

Пример

Какому основному числовому множеству (натуральные, целые, рациональные, действительные числа) принадлежит каждое из следующих чисел?

, , , .

Решение

Все перечисленные в условии числа являются действительными.

Рациональными называют те числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби. Соответственно, числа , ,  – рациональные. Число  – иррациональное, так как его нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Доказательство иррациональности числа

Иррациональность числа доказывают методом от противного.

Предположим, что , то есть рациональное число. Причём дробь  будем считать несократимой (если у числителя и знаменателя есть общий делитель, то мы сократим числитель и знаменатель на него и получим несократимую дробь).

Тогда: .

Значит,  .

Подставляем в равенство , получаем: .

В результате и , и  делятся на 3. То есть дробь должна была быть сократимой, а по предположению таковой не являлась. Значит, получили противоречие, из чего следует, что  – нерациональное число, то есть иррациональное.

Какие числа относятся к целым, понятно из названия множества: это числа  и . Число  – иррациональное, то есть нерациональное, а значит, оно не может быть ни целым, ни натуральным. Число  является рациональным, но не является целым. Такие числа называются дробными.

Наконец, натуральные числа – это числа, которые используются для счёта: 1, 2, 3, …

К натуральным из предложенного набора чисел относится только 2.

Как мы уже выяснили, некоторые рациональные числа являются целыми. Например,  – это рациональное целое число, равное 3. Но число  целым числом не является. По-другому число  можно записать в виде . Для выделения целой части в неправильных обыкновенных дробях используется деление с остатком.

Пример

Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Решение

Эту задачу можно решить простыми рассуждениями: раз шлюпка вмещает 50 человек, то для 1000 пассажиров необходимо 20 шлюпок () и ещё одна шлюпка нужна для экипажа. Всего получаем наименьшее количество шлюпок – 21.

Рассмотрим общий алгоритм решения таких задач, который связан с делением с остатком.

Максимальное количество человек на теплоходе – 1030. Каждая шлюпка вмещает максимум 50 человек. Значит, для размещения всех пассажиров и членов команды понадобится не менее чем:   шлюпок.

Понятно, что шлюпок не может быть нецелое число. Значит, нужно найти ближайшее целое число, которое больше полученного, это число 21.

При решении различных задач могут встретиться дроби, у которых числитель и знаменатель – большие числа. Для упрощения дальнейших действий необходимо сократить дробь. Чтобы долго не искать общих делителей числителя и знаменателя, можно использовать признаки делимости.

Признаки делимости на 2 и на 5

Число делится нацело на 2, только если оно заканчивается на чётную цифру: 0, 2, 4, 6, 8. Аналогично, число делится нацело на 5, только если оно заканчивается на цифры 0 или 5.

Доказательство

Рассмотрим число 3442. Его можно представить в виде: . Выражение  делится и на 2, и на 5, так как  делится и на 2, и на 5. Значит, чтобы сумма делилась на 2 или на 5, необходимо и достаточно, чтобы 2 (то есть последняя цифра) делилось соответственно на 2 или на 5.

В общем виде приведенное выше доказательство можно записать следующим образом: рассмотрим произвольное число . Первое слагаемое делится на 2 и на 5 (так как число 10 делится на 2 и на 5). Значит, чтобы исходное число делилось на 2 или на 5, необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое, то есть последняя цифра  делилась на 2 или на 5. Значит, чтобы число делилось нацело на 2 или на 5, его последняя цифра должна делиться нацело на 2 или на 5 соответственно.

Признаки делимости на 3, 4, 9

Признаки делимости на 3 и на 9: число делится нацело на 3 или на 9, только если сумма его цифр делится нацело на 3 или на 9 соответственно.

Доказательство

Рассмотрим произвольное трёхзначное число: .

Первое слагаемое делится на 3 (или на 9 соответственно). Значит, чтобы сумма делилась на 3 (или на 9), необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое делилось на 3 (или на 9). Как видим, второе слагаемое – это и есть сумма цифр исходного числа.

Несложно обобщить этот признак и доказать его для числа с любым количеством цифр. 

Признак делимости на 4: число делится нацело на 4, только если число, составленное из последних двух цифр, делится нацело на 4.

Доказательство

Рассмотрим произвольное число: .

Первое слагаемое делится на 4 (так как число 100 делится на 4). Значит, если  делится на 4, то и исходное число делится на 4. Если же  не делится на 4, то и сумма, а значит, и исходное число не делится на 4.

Пример

Определите, делится ли число 9264 нацело на 2, 3, 4, 5, 9?

Решение

Число 9264 заканчивается на чётную цифру 4, значит, оно чётное (делится на 2) и не делится на 5.

Сумма цифр числа : . Число 21 делится на 3, но не делится на 9, значит, и число 9264 делится нацело на 3, но не делится на 9.

Чтобы определить, делится ли число 9264 нацело на 4, необходимо рассмотреть число, составленное из его последних двух цифр, то есть 64. 64 делится на 4, значит, и 9264 делится нацело на 4.

Итак, для решения примеров на основные числовые множества, деление с остатком и признаки делимости необходимо следующее.

Знать

1) определения основных числовых множеств,

2) признаки делимости.

Уметь

делить в столбик с остатком

Понимать

любое число может принадлежать одновременно нескольким числовым множествам. Например,  – одновременно целое, рациональное и действительное число. А число  – иррациональное и действительное, но не целое и не натуральное.

Обыкновенные дроби

Числа, представленные в виде , где ,  – целые, , называются обыкновенными дробями. В отличие от десятичных дробей, обыкновенные дроби сравнивать не так просто. Например, тяжело сразу определить, что больше:  и . Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю. Понятно, что если у дробей одинаковые знаменатели, то больше та дробь, у которой больше числитель, например: , а .

Умножим числитель и знаменатель каждой из дробей на дополнительный множитель, в нашем случае:  и . Теперь сравнение дробей не вызывает труда: .

При сложении или вычитании дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть числители этих дробей, а знаменатель оставить таким же: .

Например, .

Для сложения или вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями необходимо привести дроби к общему (одинаковому) знаменателю.

Пример

Решение

Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти число, которое делится на знаменатели исходных дробей. Самый простой, но не всегда самый эффективный способ – взять в качестве такого числа произведение знаменателей, в данном случае: . Тогда первую дробь необходимо умножить на знаменатель второй, а вторую - соответственно на знаменатель первой. Получим: .

Однако иногда при таком способе решения получаются большие числа и громоздкие вычисления. Этого можно избежать, если искать наименьший общий знаменатель. Наименьшим общим знаменателем будет наименьшее общее кратное знаменателей исходных дробей.

В нашем примере наименьшим общим знаменателем будет НОК (8; 12). Чтобы его найти, разложим оба знаменателя на множители: , .

,

Выделяем каждый из простых множителей в максимальной степени, в которой он встречается, и вычисляем произведение: .

По картинке определяем дополнительные множители: , , приводим дроби к общему знаменателю и выполняем вычитание: .

Для сложения или вычитания смешанных чисел можно преобразовать их к виду неправильных дробей. Сложение и вычитание дробей с различными знаменателями мы уже рассмотрели.

Например,

Однако удобнее складывать или вычитать отдельно целые и дробные части смешанных чисел:

.

При вычитании смешанных чисел может возникнуть ситуация, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, например: . В этом случае уменьшаемое можно представить в следующем виде:

.

Для того чтобы умножить обыкновенные дроби, необходимо умножить отдельно числители, отдельно – знаменатели исходных дробей: .

Например, . При этом множители в числителях и знаменателях исходных дробей можно сокращать до умножения для упрощения вычислений: .

Если необходимо умножить смешанные числа или смешанное число на обыкновенную дробь, то необходимо привести смешанное число к виду неправильной дроби, а затем умножить обыкновенные дроби. Например, .

Для того чтобы разделить обыкновенные дроби, необходимо первую дробь умножить на перевёрнутую вторую: . Например, .

Деление на дробь

Числом, обратным к ненулевому числу , называется такое число , что . Если разделить обе части равенства на , то получится: . Число  ещё обозначают : 

.

Рассмотрим дробь . Найдём – из равенства: 

.

Теперь рассмотрим деление двух дробей: ; .

.

Если необходимо разделить смешанные числа, смешанное число – на обыкновенную дробь или обыкновенную дробь – на смешанное число, то необходимо преобразовать смешанное число к виду неправильной дроби, а затем разделить обыкновенные дроби. Например, .

При решении любого примера, в том числе и примеров с обыкновенными дробями, на первом этапе необходимо определить порядок действий, и только после этого приступать к выполнению самих действий, строго следуя выбранному порядку.

Порядок действий

Напомним порядок действий при решении различных примеров

Сначала выполняются действия в скобках. При этом, если внутри скобок нет других скобок, сначала выполняется умножение/деление, а затем – сложение/вычитание. Если внутри скобок есть ещё одни скобки, то в первую очередь выполняется действие во внутренних скобках. Например: . Сначала необходимо выполнить действия во внутренних скобках, причём в первую очередь умножение, а затем вычитание: . Дальше выполняются действия во внешних скобках, причём в первую очередь умножение и деление (операции выполняются по порядку слева направо), а затем – сложение и вычитание: .

Вне скобок сначала выполняется деление и умножение, а затем – сложение и вычитание: .

Пример

Вычислить: .

Решение

Порядок действий в этом примере будет следующим: .

1) Выполним умножение: . Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь: . Теперь можем выполнить умножение дробей: .

2) Вычтем две дроби с разными знаменателями: . Приведём дроби к общему знаменателю:

Подробнее

Разложим знаменатели на простые множители: , .

Далее удобно составить диаграмму с простыми делителями знаменателей для нахождения общего знаменателя и дополнительных множителей для каждой из дробей:

Общий знаменатель: . Первую дробь необходимо умножить на 4, а вторую – на 5.

Получаем: .

3) Выполним деление: .

4) Выполним вычитание: . Вычитать обыкновенные дроби мы уже умеем: найдём общий знаменатель – 24. Получаем: . В результате получаем: .

Итак, для решения заданий с обыкновенными дробями необходимо следующее.

Знать

1) как выполнять действия с обыкновенными дробями,

2) порядок действий.

Уметь

1) переводить смешанные числа в обыкновенные дроби,

2) приводить обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Понимать

 – это то же самое, что и . Поэтому .

Десятичные дроби

Рассмотрим десятичные дроби – другую форму записи обыкновенных дробей, знаменатель которых является степенью 10 (10, 100, 1000, …).

Если у вас возникают трудности с переводом десятичных дробей в обыкновенные и наоборот, рекомендуем вам изучить теоретическую справку к данному уроку.

Работа с выражениями, содержащими одновременно десятичные и обыкновенные дроби, начинается с определения порядка действий. Затем необходимо привести все дроби в каждом действии к одному виду.

Пример

Вычислить значение выражения: .

Решение

Определим порядок действий:

.

1)  – мы сталкиваемся одновременно с двумя видами дробей – десятичными и обыкновенными. В данном случае можно было приводить обе дроби как к десятичному виду (), так и к виду обыкновенных дробей. Но делить меньшую дробь на большую удобнее в виде обыкновенных дробей.

2)  – а в этом действии удобнее перейти к десятичным дробям, так как сложение и вычитание обыкновенных дробей связано с нахождением общего знаменателя.

3)  – здесь руководствуемся теми же соображениями, что и в первом действии.

4)  – действия с десятичными дробями выполняются аналогично действиям с целыми числами в столбик, но при делении нужно умножить делимое и делитель на такое число, чтобы они стали целыми (на 10, 100 и т.д.).

5) 

6) и 7)

Итак, для решения примеров с десятичными дробями необходимо следующее.

Знать

как выполняются действия с десятичными дробями.

Уметь

преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные и наоборот.

Понимать

1)     любую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную. Если в знаменателе обыкновенной дроби стоит произведение степеней 2 и 5, то получится конечная десятичная дробь: . Если нет, то бесконечная периодическая: .

2)     обратное утверждение неверно: например, бесконечная непериодическая десятичная дробь непредставима в виде обыкновенной дроби и является иррациональным числом (например, ).

Пропорции

Пропорцией называется равенство  или .

Из пропорции можно выразить любой из её членов. Для этого пропорцию удобно переписать в виде: . Например, чтобы выразить , поделим обе части равенства на :

.

Пример

Выразить неизвестный член пропорции:

Решение

Перепишем пропорцию в виде произведения её членов: .

Дальше возможны два варианта действий: сначала поделить обе части равенства на 4, а затем производить вычисления или наоборот.

Пример

Из 300 кг хлеба получают 144 кг сухарей. Сколько сухарей получат из 225 кг хлеба? Сколько хлеба потребуется, чтобы получить 4,2 ц сухарей?

Решение

Такие задачи решаются следующим образом.

1. Обозначить неизвестную величину как .

2. Составить пропорцию, в которую входит неизвестная, используя условие задачи.

3. Выразить неизвестную из пропорции.

Обозначим массу сухарей (в кг), которую получат из 225 кг хлеба, через .

Чем меньше будет хлеба, тем меньше сухарей будет получаться в итоге. В виде пропорции это можно записать следующим образом: отношение количества хлеба к полученному из него количеству сухарей остаётся постоянным:

.

Выразим неизвестную из пропорции: .

Теперь ответим на второй вопрос задачи. Решение будет аналогичным, только неизвестен другой элемент пропорции.

Обозначим массу требуемого хлеба (в кг), из которой получат 4,2 ц сухарей, через .

4,2 ц = 420 кг (в 1 центнере – 100 кг).Записываем ту же самую пропорцию, изменив правую часть:

.

Выразим неизвестную из пропорции: .

Ещё один тип задач, в которых используется пропорция, – задачи, где идёт речь о масштабе. Эти задачи решаются аналогично.

Пример

Расстояние между двумя городами на местности равно 720 км. Каково расстояние между этими городами на карте, масштаб которой равен 1:9000000.

Решение

Обозначим расстояние между городами на карте (в см) через .

Масштаб 1:9000000 означает, что 1 см на карте соответствует 9000000 см на местности. То есть расстояния между объектами на карте и на местности относятся как 1:9000000. Записываем пропорцию:

.

Выразим неизвестную из пропорции: .

Итак, для решения задач на пропорции необходимо следующее.

Уметь

1) выражать любой член пропорции через остальные,

2) составлять пропорцию для решения текстовой задачи.

Проценты

Существуют три основные задачи, связанные с процентами:

1) найти, чему равен процент от числа (пример: найти 40% от 100);

2) найти, какой процент от числа составляет данное число (пример: сколько процентов от 100 составляет 40);

3) найти число, зная, чему равен его процент (Пример: найти число, 40% от которого равны 40).

Решение любой из этих трёх задач основано на использовании пропорции: часть числа относится к числу так же, как соответствующий этой части процент относится к 100%: .

Вспомним, что 1% числа – это его  часть.

p% от числа – это  числа, а всё число – это 100%.

Обычно в таких задачах даны какие-то две величины из , , (или их можно выразить из условия). Тогда неизвестная величина находится из указанной пропорции.

Пример

Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 400 рублей после повышения цены на 25%?

Решение

В данном случае задача разбивается на две части. Первая – найти цену на ручку после повышения. Вторая – найти наибольшее число ручек, которое можно купить на 400 рублей по новой цене.

Необходимо найти новую цену ручки, зная её процент от первоначальной стоимости, то есть часть числа. Обозначим стоимость ручки после повышения за .

Изначально цена ручки (40 рублей) составляла 100%. После повышения на 25%, соответственно, она составила 125%. Составляем пропорцию:  рублей.

Найдем количество ручек стоимостью 50 рублей, которое можно купить на 400 рублей:  штук.

Пример

Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3200 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Решение

Мы ищем процент (об этом прямо спрашивается в условии), на который была снижена цена. Обозначим этот процент .

Первоначальная стоимость составляла 5000 рублей, а конечная – 3200 рублей. Значит, цена была снижена на  рублей. Наша задача – найти, сколько процентов от 5000 составляет 1800 (на сколько процентов снижена цена).

Составляем пропорцию: .

Пример

В школе 400 учеников, из них 25% – ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Решение

Решение данной задачи разбивается на два этапа. Первый – найти количество учеников средней и старшей школы. Второй – вычислить среди них количество учеников, изучающих немецкий язык.

Мы знаем, что 25% всех учеников школы – это ученики начальной школы. Все остальные – ученики средней и старшей школы. Найдём количество учеников начальной школы.

Мы ищем часть числа (всех учеников школы). Обозначим количество учеников начальной школы.

Всего учеников в школе 400 (100%). Ученики начальной школы составляют 25%. Составляем пропорцию:  учеников.

Значит, учеников средней и старшей школы:  учеников.

Немецкий язык изучают 30% учеников средней и старшей школы (в начальной школе немецкий язык не изучают).

На первом этапе мы выяснили, что в средней и старшей школе всего учится 300 учеников. То есть нам необходимо найти 30% от 300. Эту задачу мы уже умеем решать:  учеников.

Итак, для решения задач на проценты необходимо следующее.

Знать

что такое процент.

Уметь

определять тип задачи с процентами, которую необходимо решить.

Понимать

1) процент – это обозначение 1/100 части;

2) для того чтобы сравнивать дроби, как мы знаем, их необходимо приводить к общему знаменателю. Однако каждый раз искать подходящий общий знаменатель – это неудобно, особенно для большого количества сравниваемых величин. Для разрешения этого неудобства и используется процент – 1/100 часть числа.

Заключение

На этом уроке мы поговорили об обыкновенных и десятичных дробях и действиях с ними, пропорциях и процентах.

На следующем уроке мы обсудим такие темы: степень числа с целым показателем; одночлены, многочлены и действия с ними; формулы сокращённого умножения; модуль числа.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1) «Основные числовые множества» (алгебра, 11 класс)

2) «Признаки делимости на 10, 5 и 2» (математика, 6 класс)

3) «Признаки делимости на 9 и 3» (математика, 6 класс)

4) «Сокращение дробей» (математика, 6 класс)

5) «Задачи на сложение и вычитание дробей» (алгебра, 8 класс)

6) «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Более сложные случаи» (алгебра, 8 класс)

7) «Неправильные дроби. Смешанные числа» (математика, 5 класс)

8) «Умножение и деление алгебраических дробей» (алгебра, 8 класс)

9) «Деление с остатком» (математика, 3 класс)

10) «Решение простейших текстовых задач» (алгебра, 11 класс)

11) «Десятичные дроби» (математика, 5 класс)

12) «Сложение и вычитание десятичных дробей» (математика, 5 класс)

13) «Деление десятичных дробей» (математика, 5 класс)

14) «Деление десятичных дробей на натуральные числа» (математика, 5 класс)

15) «Умножение десятичных дробей» (математика, 5 класс)

16) «Пропорции» (математика, 6 класс)

17) «Масштаб» (математика, 6 класс)

18) «Проценты» (математика, 5 класс)

19) «Решение задач на проценты» (математика, 5 класс)

20) «Решение простейших текстовых задач» (алгебра, 11 класс)