01. Основы арифметических знаний. Отношения и пропорции. Проценты. Практика (основной урок)

Основные числовые множества:

 – натуральные числа (1, 2, 3, …);

 – целые числа (…, -2, -1, 0, 1, 2, …);

 – рациональные числа (, где ,  – целые, );

 – действительные числа (рациональные + иррациональные).

Признаки делимости

Обыкновенная дробь – число, представленное в виде , где ,  – целые, .

Для сравнения и сложения (вычитания) обыкновенных дробей с разными знаменателями необходимо привести дроби к общему (одинаковому) знаменателю.

Действия с обыкновенными дробями:

• При сложении или вычитании дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть числители этих дробей, а знаменатель оставить таким же: (например, ).

• Для того чтобы умножить обыкновенные дроби, необходимо умножить отдельно числители, отдельно знаменатели исходных дробей: . При этом множители в числителях и знаменателях исходных дробей можно сокращать до умножения для упрощения вычислений (например, ).

• Для того чтобы разделить обыкновенные дроби, необходимо первую дробь умножить на перевёрнутую вторую: (например, ).

Действия со смешанными дробями:

• При сложении или вычитании смешанных дробей удобнее сложить или вычесть отдельно целые и дробные части (например,  или

  ).
  

• Если необходимо умножить смешанные числа или смешанное число на обыкновенную дробь, то необходимо преобразовать смешанное число к виду неправильной дроби, а затем умножить обыкновенные дроби (например, ).

• Если необходимо разделить смешанные числа, смешанное число на обыкновенную дробь или обыкновенную дробь на смешанное число, то необходимо преобразовать смешанное число к виду неправильной дроби, а затем разделить обыкновенные дроби (например, ). 

Десятичная дробь – другая форма записи обыкновенных дробей, знаменатель которой является степенью 10 (10, 100, 1000, …).

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель. Например:

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо цифры после запятой записать в числитель, а в знаменатель к единице приписать столько нулей, сколько цифр находится после запятой. Например:

Периодические дроби

Периодическая дробь – это любая десятичная дробь, у которой:

• дробная часть состоит из бесконечного количества цифр;

• через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

Набор повторяющихся цифр, из которых состоит дробная часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе – периодом дроби. Остальной отрезок дробной части, который не повторяется, называется непериодической частью. Например, , . 

Перевод обыкновенной дроби в периодическую десятичную

1. Перевести обыкновенную смешанную дробь в неправильную.

2. Поделить числитель на знаменатель в столбик. Определить, с какого момента в частном цифры начинают повторяться.

3. Набор повторяющихся цифр записать в виде периода.

Перевод периодической дроби в обыкновенную

1. Приравнять периодическую дробь к .

2. Домножить обе части равенства на 10 в степени, равной длине периода.

3. Из второго равенства вычесть первое. В этом случае периодические части у дробей сократятся.

4. Решаем уравнение относительно .

Например: .

1. 

2. 

3.

4.

Порядок действий в решении примеров

• Если в выражении скобок нет, то сначала выполняем слева направо все действия умножения и деления; а потом слева направо все действия сложения и вычитания.

• Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках. Внутри самих скобок действует правило порядка действий как в выражениях без скобок. Если внутри скобок находятся ещё одни скобки, то сначала выполняются действия во внутренних скобках.

Пропорцией называется равенство:  или .

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов .

Пример

Выразить неизвестный член пропорции:

Решение

Проценты

Существует три основные задачи, связанные с процентами.

1) Найти, чему равен процент от числа (пример: найти 40% от 100).

2) Найти, какой процент от числа составляет данное число (пример: сколько процентов от 100 составляет 40).

3) Найти число, зная, чему равен его процент (пример: найти число, 40% от которого равны 40).

Решение любой из этих трёх задач основано на использовании пропорции: часть числа относится к числу так же, как соответствующий этой части процент относится к 100%: .

Вспомним, что 1% числа – это его часть,  от числа – это числа, а всё число – это 100%.

Пример

Найти 40% от 100.

Решение