09. Решение текстовых задач (основной урок)

Проценты

Изучая математику, вы, наверное, уже привыкли к тому, что при действии с числами нам не нужно знать, количества чего они означают. Например, , независимо от того, что мы взяли: 5 раз по 7 гвоздей или 7 раз по 5 автомобилей. В результате мы всё равно получаем 35 объектов. Удобно использовать одну и ту же схему для любых подсчётов.

В этом и проявляется одна из главных задач математики – создание единых механизмов решения различных задач. Механизмов-алгоритмов, пригодных к совершенно разным ситуациям.

В этом уроке мы покажем, как один и тот же алгоритм применяется для решения совершенно разных, на первый взгляд, задач.

Решение любой текстовой задачи можно выполнить в три этапа:

1 этап. Анализ условия и обозначения величин.

2 этап. Составление модели.

3 этап. Решение полученного уравнения (системы уравнений) и получение ответа на вопрос (вопросы) в условии.

Для решения задач на проценты, смеси, сплавы нам понадобится:

• определение процента: 1% числа – это его  часть;

• определение концентрации (массовой доли): концентрация вещества в растворе (смеси, сплаве) – это отношение массы (объёма) этого вещества к общей массе (объёму) раствора (смеси, сплава), умноженное на 100%: .

Массовая доля – это отношение массы (объёма) вещества к общей массе (объёму) раствора (смеси, сплава): .

Например, если 10 граммов соли растворили в 90 граммах воды, то общая масса раствора равна 100 граммов, а концентрация соли в нём: .

· при смешении растворов (сплавов): масса (объём) смеси равна сумме масс (объёмов) исходных веществ; масса (объём) растворённого (расплавленного) вещества в смеси равна сумме масс (объёмов) растворённых (расплавленных) веществ в исходных растворах (сплавах).

Например: если смешивают 20 граммов 10-процентного раствора соли и 30 граммов 20-процентного раствора соли, то в результате получают 50 граммов раствора соли. Чтобы найти концентрацию соли в получившемся растворе, найдём массу соли в каждом из растворов:

- в первом: 10% от 20 – это 2 грамма (Источник),

- во втором: 20% от 30 – это 6 граммов,

Итого: в первом и втором растворах было 8 граммов соли, значит, в итоговом растворе соли также будет 8 граммов. Концентрация соли в итоговом растворе: .

Пример

Митя, Антон, Гоша и Борис учре­ди­ли ком­па­нию с устав­ным ка­пи­та­лом 200 000 руб­лей. Митя внёс 14% устав­но­го ка­пи­та­ла, Антон – 42 000 руб­лей, Гоша – 12% устав­но­го ка­пи­та­ла, а остав­шу­ю­ся часть ка­пи­та­ла внёс Борис. Учре­ди­те­ли до­го­во­ри­лись де­лить еже­год­ную при­быль про­пор­ци­о­наль­но вне­сён­но­му в устав­ный ка­пи­тал вкла­ду. Какая сумма от при­бы­ли 1 000 000 руб­лей при­чи­та­ет­ся Бо­ри­су? Ответ дайте в руб­лях.

Анализ условия

Четыре человека внесли деньги в уставный капитал. Нам сказано, сколько внесли трое, но в разных единицах (Антон – в рублях, Митя и Гоша – в процентах). И дана общая сумма внесённых денег (100%). Значит, можем вычислить, сколько денег внёс Борис (вычесть из общего вклада вклады остальных трёх участников).

Составление модели

1) Перепишем первую часть условия:

«Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей».

М + А + Г + Б = 200 000.

2) Перепишем вторую часть условия:

«Митя внёс 14% уставного капитала, Антон – 42 000 рублей, Гоша – 12% уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внёс Борис».

М = 14% от 200 000; А = 42 000; Г = 12% от 200 000.

Получаем:

14% от 200 000 + 42 000 + 12% от 200 000 + Б = 200 000

3) Перепишем третью часть условия:

«Учре­ди­те­ли до­го­во­ри­лись де­лить еже­год­ную при­быль (1 000 000) про­пор­ци­о­наль­но вне­сён­но­му в устав­ный ка­пи­тал вкла­ду», это означает: , где  – сумма от прибыли, которую получит Борис (то есть величина, которую мы ищем).

Решение

Из третьего условия, видим: чтобы найти , надо найти Б.

Найдём Б из второго условия:

14% от 200 000 + 42 000 + 12% от 200 000 + Б = 200 000

28 000 + 42 000 + 24 000 + Б = 200 000

Б = 106 000 рублей

Найдём  из пропорции:  рублей.

Ответ: 530 000 рублей.

Пример

Ви­но­град со­дер­жит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма?

Анализ условия

И изюм, и виноград состоят из влаги и твёрдой части. Изюм получается из винограда с помощью высушивания, то есть изюм – это виноград без некоторого количества влаги.

При этом масса твёрдой части не меняется.

Составление модели

1) «Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%».

100 кг винограда = 10 кг твёрдой части + 90 кг влаги,

100 кг изюма = 95 кг твёрдой части + 5 кг влаги.

2) «Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?»

100 кг винограда = 10 кг твёрдой части + 90 кг влаги,

20 кг изюма = 19 кг твёрдой части + 1 кг влаги.

Решение задачи

Разделим первое уравнение на 10 и выразим: 1 кг твёрдой части = 10 кг винограда – 9 кг влаги.

Значит, подставляя во второе, получаем:

20 кг изюма = 190 кг винограда – 170 кг воды.

Значит, для получения 20 килограммов изюма надо взять 190 килограммов винограда.

Ответ: 190 кг.

Растворы, смеси и сплавы

Пример

В сосуд, со­дер­жа­щий 5 лит­ров 12-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Анализ условия

К раствору вещества добавляют некоторое количество воды. Понятно, что концентрация вещества при этом уменьшается: количество растворённого вещества не меняется, а общий объём (за счёт воды) увеличивается.

Составление модели

5 литров = 12% вещества + 88% воды,

7 литров = 100% воды.

После добавления:

12 литров = 12% от 5 литров вещества + 88% от 5 литров воды + 100% от 7 литров воды.

Решение задачи

5 литров раствора = 0,6 литра вещества + 4,4 литра воды.

Значит:

12 литров нового раствора = 0,6 литра вещества + 11,4 литра воды.

Осталось найти: сколько 0,6 литра составляет процентов от 12 литров.

Составляем пропорцию и решаем: 12 – 100%, 0,6 - .

Получаем: .

Ответ: 5%.

Пример

Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой – 30% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 200 кг, со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва мень­ше массы вто­ро­го?

Анализ условия

Из двух сплавов получили третий. Масса полученного сплава, соответственно, равна сумме масс двух исходных. При этом масса никеля в полученном сплаве также равна сумме масс никеля в исходных сплавах.

Составление модели

Сплав 1 + сплав 2 = сплав 3.

10% сплава 1 + 30% сплава 2 = 25% сплава 3.

Решение задачи

Масса сплава 3 нам дана: 200 кг. Для удобства обозначим массу сплава 1 как  кг, а массу сплава 2 как  кг соответственно. И перепишем полученные условия в новых обозначениях:

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую мы уже умеем решать:

Решаем её любым удобным способом.

То есть первого сплава взяли 50 кг, а второго – 150 кг. В условии спрашивалось, на сколько килограммов меньше взяли первого сплава.

Ответ: на 100 кг.

При этом обратите внимание, что метод решения не поменяется, если мы будем смешивать другие металлы, растворы жидкостей и т. д.

Важна идея решения таких задач: при смешении двух веществ общая масса получившегося вещества равна сумме масс исходных веществ.

Движение по прямой и по окружности

Для решения задач на движение нам понадобится:

• определение скорости при равномерном движении: , из которого можно получить ещё две формулы для нахождения пути и времени при равномерном движении: ,   (Источник).

Пример

Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 80 км/ч, про­ез­жа­ет мимо при­до­рож­но­го стол­ба за 36 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

Анализ условия

Скорость поезда  и время, за которое он проезжает мимо столба, . Длина поезда .

Понятно, что за время  поезд проезжает расстояние, равное своей длине.

Составление модели

Длина поезда равна расстоянию, которое поезд преодолевает за время  со скоростью : .

Решение задачи

В условии нам дана скорость поезда  и время, за которое он проезжает мимо столба, .

Вычисляем длину поезда: .

Ответ: 800 м.

Пример

Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­пра­ви­лись в 240-ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый ехал со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, чем ско­рость вто­ро­го, и при­был к фи­ни­шу на 1 час рань­ше вто­ро­го. Найти ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым. Ответ дайте в км/ч.

Анализ условия

Расстояние, которое проехали велосипедисты, – . Скорость первого – , скорость второго – . Время движения первого – . Время движения второго – .

Составление модели

Время движения первого велосипедиста: . Время движения второго велосипедиста: .

Скорость первого велосипедиста на 1 км/ч больше скорости второго: .

Время движения первого велосипедиста на 1 час меньше времени движения второго велосипедиста: .

Подставив первые три условия в четвёртое, получаем уравнение:

Решение задачи

Нам дано расстояние: . Найти необходимо скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым: .

Для удобства обозначим: .

.

Получаем дробно-рациональное уравнение, которое мы уже умеем решать, – переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к общему знаменателю:

.

Приравниваем числитель дроби к 0 (при этом , так как знаменатель не равен 0):

Скорость не может быть отрицательной, поэтому ответ в данной задаче – скорость первого велосипедиста 16 км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста .

Пример

Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 14 км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на 21 км/ч боль­ше ско­ро­сти дру­го­го?

Анализ условия

Длина окружности (всей трассы) – .

Поскольку мотоциклисты стартуют из диаметрально противоположных точек круговой трассы, то расстояние между ними в начале движения равно половине длины окружности – .

Скорость первого мотоциклиста – . Скорость второго мотоциклиста – . Время, через которое мотоциклисты в первый раз поравняются, – .

Поскольку мотоциклисты выехали в одном направлении и движутся по кругу, то расстояние между ними будет сокращаться до тех пор, пока первый не догонит второго.

Составление модели

За время  первый мотоциклист проедет расстояние: , а второй – расстояние: .

Скорость первого на 21 км/ч больше скорости второго: .

Поскольку первый мотоциклист должен догнать второго, то он должен проехать на  км больше.

То есть .

Подставим первые три условия в четвёртое: .

Решение задачи

Нам дано: .

Раскрываем скобки и получаем: .

Ответ: через 20 минут.

Пример

Из пунк­та A кру­го­вой трас­сы вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, а через 30 минут сле­дом за ним от­пра­вил­ся мо­то­цик­лист. Через 10 минут после от­прав­ле­ния он до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста в пер­вый раз, а еще через 30 минут после этого до­гнал его во вто­рой раз. Най­ди­те ско­рость мо­то­цик­ли­ста, если длина трас­сы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Анализ условия

Поскольку велосипедист и мотоциклист стартовали из одного и того же пункта, то до первой встречи проехали одинаковое расстояние. Понятно, что скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста, так как он сумел ликвидировать 30-минутное отставание.

После первой встречи вторая встреча могла произойти только тогда, когда мотоциклист проехал на круг больше, чем велосипедист.

Длина круга трассы – . Время, которое до первой встречи ехал велосипедист, –  со скоростью . Время, которое ехал до первой встречи мотоциклист, –  со скоростью .

Составление модели

Велосипедист и мотоциклист до первой встречи проехали одинаковые расстояния: , то есть .

Мы знаем время, которое прошло между первой и второй встречей: . Также мы знаем, что за это время мотоциклист проехал на круг больше, чем велосипедист: .

Решение задачи

По условию: , , , .

Получаем:

Переведём минуты в часы (так как скорости измеряются в км/ч), а также для удобства обозначим: , , получим систему линейных уравнений:

Решаем любым удобным способом:

Ответ: скорость мотоциклиста .

Движение по воде

Для решения таких задач понадобится:

• определение скорости при равномерном движении: , из которого можно получить ещё две формулы для нахождения пути и времени при равномерном движении: ,  (Источник);

• при движении по течению реки скорость движения лодки (катера, теплохода) равна сумме собственной скорости и скорости течения:  (течение помогает движению);

• при движении против течения реки – разности:  (течение мешает движению);

• при движении по озеру (или в неподвижной воде) скорость лодки (катера, теплохода) равна собственной скорости (течение отсутствует, то есть скорость течения равна 0): ;

• при движении плота по течению реки его скорость совпадает со скоростью течения реки (собственная скорость у плота отсутствует, то есть равна 0): .

Пример

Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 255 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Анализ условия

Расстояние, которое лодка прошла против течения реки и по течению реки, – . Скорость течения реки – . Скорость лодки в неподвижной воде – .

Составление модели

Время движения лодки против течения: .

Время движения лодки по течению: .

Время на движение по течению реки на 2 часа меньше, чем время движения против течения реки: .

Подставив первые два условия в третье, получаем уравнение:

.

Решение задачи

Нам даны расстояние: , а также скорость течения реки: . Найти необходимо скорость лодки в неподвижной воде – .

Получаем дробно-рациональное уравнение: .

Такие уравнения мы уже умеем решать (Источник): переносим все слагаемые в одну сторону, приводим их  общему знаменателю:

.

Приравниваем числитель дроби к 0 (при этом  – знаменатель не равен нулю):

.

Поскольку скорость не может быть отрицательной, то ответ в задаче .

Ответ: скорость лодки в неподвижной воде .

Совместная работа

Пример

Заказ на 110 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий, если из­вест­но, что пер­вый за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше?

Анализ условия

Количество деталей – . Скорость работы первого рабочего – . Время его работы – . Скорость работы второго рабочего – .

Время его работы – .

Составление модели

Время работы первого рабочего: , второго рабочего: .

При этом по условию первый выполняет работу на 1 ч быстрее второго, то есть: .

По условию скорость первого рабочего: , так как он изготавливает на 1 деталь в час больше.

Подставляем первое и третье условие во второе. Получаем уравнение:

.

Решение задачи

Получили дробно-рациональное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Переносим все слагаемые в одну сторону, затем приводим дроби к общему знаменателю:

.

Приравниваем числитель к 0 (при этом , так как знаменатель не равен 0):

.

Так как рабочий не может изготавливать отрицательное количество деталей в час, то получаем, что второй рабочий изготавливает 10 деталей в час.

Ответ: второй рабочий изготавливает 10 деталей в час.

Пример

Первая труба заполняет водой бассейн, объём которого равен , на 5 минут быстрее, чем вторая труба. Сколько кубических метров вытекает за час из каждой трубы, если из первой в час вытекает на больше, чем из второй?

Анализ условия

Объём бассейна – . Скорость (расход) первой трубы – , время заполнения бассейна – . Скорость (расход) второй трубы – , время заполнения бассейна – .

Переход к математической записи условия

Время работы первой трубы () на 5 минут () меньше времени работы второй трубы (): .

Расход (скорость вытекания) воды из первой трубы () на в час больше расхода воды из второй трубы (): .

Первая труба заполняет бассейн за время: , а вторая за: .

Подставляем второе и третье условия в первое и получаем уравнение:

.

Решение задачи

Решаем его, преобразовывая в квадратное: .

Получаем, что , .

Ответ: из первой трубы вытекает 40, а из второй – .

Заключение

Обратите внимание, что мы рассмотрели на этом уроке большое количество различных текстовых задач с совершенно разными формулировками. Однако инструментов для их решения мы использовали всего три:

• Вычисление процентов и сложение масс при смешении веществ.

• Сложение и вычитание скоростей при движении в одном и противоположном направлениях.

• Использование определения скорости равномерного движения и следствий из него.

Таким образом, необходимо научиться отделять инструменты решения  (их нам и даёт математика) от предмета самой задачи.

На следующем уроке мы рассмотрим решение линейных и квадратных неравенств, а также поговорим о применении метода интервалов для решения неравенств.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) Решение текстовых задач на смеси и проценты (алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЕГЕ») 

2) Решение текстовых задач на движение и работу (алгебра, 11 класс, раздел «Задачи из ЕГЕ») 

3) Решение задач на движение (математика, 5 класс, раздел «Умножение и деление натуральных чисел») 

4) Системы уравнений в задачах на работу (алгебра, 9 класс, раздел «Системы уравнений») 

5) Решение рациональных уравнений (алгебра, 8 класс, раздел «Алгебраические дроби. арифметические операции над алгебраическими дробями») 

6) Решение текстовых задач (математика, 2 класс, раздел «Сложение и вычитание. Устные примеры») 

7) Решение текстовых задач 2 (математика, 1 класс, раздел «Повторение»)