02. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа. Практика (основной урок)

Степень числа с целым показателем

Урок 2. Степень числа. Одночлены и многочлены. Формулы сокращённого умножения. Модуль числа

Мы умеем работать со степенями, основания которых одинаковы:

1) При умножении показатели степени складываются: 

2) При делении показатели степени вычитаются: 

3) При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются: 

Примеры:

.

.

Если в основаниях степени стоят разные числа, то надо привести их к одинаковым основаниям с помощью разложения оснований на простые множители.

Разложение на простые множители

Натуральное число называется простым, если оно делится нацело только на 1 и на само себя. Простыми числами являются:  Натуральные числа, у которых есть делители, кроме 1 и самого числа, называются составными. Составными числами являются: . Число 1 не является ни простым, ни составным.

Любое целое число можно представить в виде произведения степеней простых сомножителей, причём единственным образом.

Например, ; ; . 

Доказательство

Рассмотрим произвольное число . Предположим, мы уже разложили все натуральные числа до   на произведение степеней простых множителей.

Если число  простое, то , и утверждение доказано.

Если же число  составное, то, по определению, кроме 1 и самого себя, у него есть ещё хотя бы один натуральный делитель . Значит, исходное число можно представить в виде произведения: , где ,  – натуральные числа, причём: , . Например, . Но мы предположили, что все натуральные числа до  мы уже разложили на произведение степеней простых множителей. Значит, числа ,  также представимы в виде такого произведения. Но тогда  тоже представимо в виде такого произведения. Утверждение доказано.

Рассмотрим пример использования такого доказательства. Несложно проверить, что ; ; ; ; ; ; ; . То есть все числа от 2 до 11 раскладываются на простые множители. Докажем, что 12 также раскладывается на простые множители. 12 – составное число, так как делится, например, на 2: , но мы уже знаем, что: ; . Значит, .

Отсюда можно сформулировать метод разложения числа на простые множители.

Пример:

Разложить число 450 на простые множители.

Проверяем, делится ли 450 на самое маленькое простое число – 2. Получаем:
; 225 на 2 уже не делится. Значит, нужно взять следующее простое число – 3. Получаем: . Проверяем число 75. Проверку начинаем с 3. Получаем: ; 25 на 3 не делится. Проверяем следующее простое число – 5. Получаем: . Для удобства разложение на множители записывают следующим образом:

Для разложения на простые множители больших чисел могут пригодиться признаки делимости, о которых мы уже говорили.

Метод математической индукции

Приведенный метод доказательства (использование частных утверждений для доказательства общего) называется методом математической индукции.

В его основе лежит простая идея.

Если:

• утверждение доказано для  (база индукции);

• доказано, что если утверждение верно при , то утверждение верно и при  (индукционный переход); то утверждение верно для всех натуральных значений .

Наглядный пример использования метода математической индукции – падающие костяшки домино: если поставить их в ряд так, что каждая при падении будет валить следующую и завалит первую, то упадут все костяшки.

Метод математической индукции является одним из наиболее мощных и часто используемых методов доказательства в математике

Примеры:

.

Пример:

Вычислить значение выражений:

1. ;

2. 

Решение:

1. . Разложим основания степеней на простые множители: , , , , , .

Получаем: .

Сгруппируем степени по одинаковым основаниям: 

.

Вычислим: .

2. Заметим, что все основания в данном задании – степени 3: , .

Таблица степеней

Для решения различных примеров, в которых необходимо преобразовывать выражения со степенями, полезно узнавать числа, являющиеся степенями. В данной задаче надо сразу узнать степени 3: , .

Основные степени представлены ниже: ; ; ; 

; ; ; ;  

; ; ; ; 

; ;  

;  

;  

Сведем все степени к основанию 3: .

Вычислим: .

Решение заданий на преобразование выражений со степенями не зависит от того, стоит ли в основании степени число или переменная – правила преобразования одни и те же.

Примеры:

1. .

2. 

Могут встретиться примеры, в которых переменные встречаются как в основании, так и в показателе степени. Например, .

Пример:

Представьте в виде произведения степеней:

1. ;

2. 

Решение:

Когда основания у степеней разные, нужно разложить на множители.

1. Для удобства перепишем деление в виде дроби: .

Группируем степени с основанием 7 и степени с основанием : 

.

2. 

Группируем степени с основаниями , , : 

.

Не всегда можно привести степени к одному основанию. Например, необходимо сравнить числа  и . В этом случае можно попытаться привести степени к одинаковым показателям степени.

Решение:

, поэтому . Теперь сравнить числа несложно: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• определение степени с натуральным и целым отрицательным показателем.

Уметь

• применять свойства степеней.

Понимать

• есть всего два метода преобразования выражений, содержащих степени:

• привести степени к одинаковым основаниям;

• привести степени к одинаковым показателям.

• любое число раскладывается на произведение степеней простых множителей. 

Одночлены и многочлены

Произведение натуральных степеней чисел и переменных называется одночленом. Например:  или .

Основные законы арифметики

1) Переместительный (от перемены мест слагаемых/множителей сумма/произведение не меняется): ; .

2) Сочетательный: ; .

3) Распределительный: .

Вместо , ,  при этом могут стоять любые числа. Но это значит, что вместо , ,  могут стоять и любые выражения, принимающие числовые значения, то есть любые выражения с переменными. Например, из первого закона следует, что: .

А из третьего: , откуда (по первому закону): .

Для сложения/вычитания подобных одночленов достаточно сложить/вычесть их числовые коэффициенты. Например, преобразуем выражение: .

Все одночлены подобны, складываем/вычитаем числовые коэффициенты: .

Получаем: .

Сложение/вычитание выражений

Что означает равенство ? По сути, это означает, что если к 2 объектам добавить 3 объекта, то получится 5 объектов. И неважно, что выступает в качестве объектов. Это могут быть яблоки, дома. А могут быть части чего-то (на прошлом уроке мы рассмотрели, что две седьмых и три седьмых – это пять седьмых (). В роли объектов может выступать и, к примеру, .

Поэтому .

Обратите внимание, что так складывать можно только количества одинаковых объектов, например, 2 яблока и 3 яблока. Сложить таким образом 2 яблока и 3 дома (не выходя за рамки объектов яблоки или дома) нельзя. Соответственно, так нельзя сложить, к примеру, , так как  и – разные объекты.

Вывод: складывать и вычитать можно только подобные одночлены

Пример:

Выполнить действия:

1. 

2. 

Мы уже пользовались тем, что . Например, . Пользуясь этим свойством степени, можно возводить в степень одночлены.

Пример:

.

Решение:

Сначала возведём в степень каждый из одночленов: 

.

Теперь перемножим одночлены: 

.

Определение: сумма нескольких одночленов называется многочленом.

Пример:

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: .

Знак минус перед скобками

Часто про раскрытие скобок говорят в виде правил.

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки убираются, а знаки внутри скобок сохраняются.

Если перед скобками стоит знак минус, то все знаки, которые были внутри скобок, меняются на противоположные.

Однако на самом деле это не новые правила, их можно получить, используя распределительный закон.

Несложно заметить, что .

Согласно распределительному закону получим: 

Для выражения: 

Решение:

Необходимо сначала раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые.

Пример:

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: .

Умножение одночлена на многочлен

Вспомним распределительный закон: . Но на месте , ,  могут стоять не только числа, но и любые выражения, принимающие числовые значения, в частности, одночлены.

Таким образом, для того чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Например, .

Решение:

Пример:

Раскрыть скоби и привести подобные слагаемые: .

Умножение многочлена на многочлен

Умножение многочленов не отличается от умножения многочлена на одночлен, опираемся на распределительный закон: . Предположим, необходимо умножить: . Обозначим . Тогда получаем: . Но в каждом из полученных произведений можно раскрыть скобки, используя всё тот же распределительный закон: . Вместо , , ,  могут стоять не только числа, но и любые выражения, в частности, одночлены.

Таким образом, для того чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Например, 

 .

Решение:

.

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• определение одночлена, стандартный вид одночлена;

• распределительный закон: .

Уметь

• выполнять действия с одночленами;

• раскрывать скобки.

Понимать

• ;

• в распределительном законе вместо , ,  могут стоять не только числа, но и любые выражения, принимающие числовые значения, в частности, одночлены и многочлены. 

Формулы сокращённого умножения

Напомним формулы сокращённого умножения:

На самом деле, ФСУ полезнее помнить именно слева направо (так, как они записаны), так как раскрыть скобки, если вы забыли ФСУ, можно, просто перемножив многочлены.

Более сложной и важной является обратная задача – разложить на множители выражение, то есть применить формулы слева направо.

Если посмотреть на левые части всех ФСУ, то можно увидеть, что в них обязательно встречаются квадраты переменных или их кубы (, или , ).

Они могут встречаться в простом виде, например, как  или , или в более сложном виде. Например, . Так как , то .

Еще один пример .  , тогда .

Если вы научитесь находить такие выражения, то задача увидеть, что выступает в роли  и  будет решена.

Пример:

.

Решение:

Видим квадраты: , ,  тогда .

Обозначим выражение под первым квадратом  как , а  как : . Получили левую часть формулы .

Воспользуемся ей: .

Основная идея решения заданий с помощью ФСУ: сначала находим квадраты и кубы, определяем  и , а затем раскладываем оставшиеся слагаемые на множители, чтобы проверить, действительно ли можно использовать ФСУ.

Пример:

Разложить на множители: .

Решение:

Сначала найдем квадраты выражений. Один из квадратов видно сразу: .

– это второй квадрат.

.

Значит, предположительно, , . Осталось проверить, равно ли для наших  и  слагаемое .

Подробнее

Разложим  на множители.

. Все верно, значит, можем воспользоваться формулой .

Получаем .

В результате получаем .

Пример:

Разложить на множители:

1. 

2. 

Решение:

1. Мы видим, что в выражении есть кубы: – это первый куб; – это второй куб.

Значит, можно предположить, что: , .

Напрашивается применение формулы: .

Осталось проверить, являются ли оставшиеся слагаемые для предполагаемых   и выражениями  и .

Подробнее

Для этого разложим на множители: .

Все верно, воспользуемся формулой справа налево.

В результате получаем: .

2. Выражение содержит кубы, в нём всего два слагаемых, между которыми стоит знак минус. Напрашивается применение формулы: .

– это первый куб.

– это второй куб.

Значит, , .

Подробнее

Получим . Это правая часть формулы . Воспользуемся этой формулой справа налево: 

.

Получаем .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• формулы сокращённого умножения.

Уметь

• находить по виду выражения ФСУ, которую можно использовать;

• раскрывать скобки.

Выделение полного квадрата

ФСУ применимы не ко всем выражениям. Например, .

Мы видим, что части выражений, содержащие переменную, одинаковы: .

Перепишем: .

Рассмотрим алгоритм выделения полного квадрата на примере.

Пример:

Выделить полный квадрат .

Решение:

Для выделения полного квадрата мы используем ФСУ: .

Будем выделять полный квадрат на основе слагаемых, содержащих переменную: .

Воспользуемся формулой: , которая в нашем случае принимает вид: .

Обозначим: . Теперь вычтем из одного равенства другое:  , откуда: .

Можно получить этот же результат и по-другому.

Определим , добавим и вычтем его квадрат (вычитать необходимо для того, чтобы выражение не изменилось): . Чтобы получилось : .

Общий алгоритм выделения полного квадрата

Рассмотрим выделение полного квадрата для выражения: 

.

Пример:

Выделить полный квадрат в выражении . Попробуйте решить пример самостоятельно. В случае получения верного ответа можете переходить к следующему заданию, иначе внимательно изучите наше решение:

Пример:

1. Доказать, что выражение принимает только положительные значения при любых значениях переменных: .

2. Найти наибольшее значение выражения: .

Решение:

1. 

2. 

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• формулы сокращённого умножения.

Уметь

• приводить выражение к левой или правой части ФСУ.

Модуль числа

Напомним определение модуля: , то есть модуль неотрицательного числа – само число, модуль отрицательного числа – противоположное ему число.

Например, .

Поскольку любое число состоит из количества и знака, то из определения модуля следует, что модуль числа равен только количеству (отбрасывает знак).

Пример:

Найдите значение выражения:

1)

2)

Решение:

1) Для выполнения данного задания необходимо оценить выражение под знаком модуля, а затем раскрыть его по определению: , , то есть  – число от 1 до 2, значит, . Модулем положительного числа является само это число: .

2) Так как  – число от 1 до 2, то . Модулем отрицательного числа является противоположное ему число: .

Что значит «раскрыть модуль»?

Что значит «раскрыть скобки»? Это значит записать эквивалентное выражение, тождественно равное исходному, однако не содержащее скобок в своей записи.

То же самое касается и раскрытия модуля. Раскрыть модуль – это переписать в эквивалентном (тождественно равном) виде, не содержащем знак модуля в своей записи.

Например, . Как видим, мы перешли к эквивалентному выражению, значение которого при любом значении переменной совпадает со значением модуля в левой части. Однако правая часть не содержит знака модуля.

Нужно понимать, что в определение модуля:  вместо  можно подставлять любое выражение. Например, если подставить: , то получим:

.

Пример:

Раскрыть модуль:

1) , если ;

2) .

Решение

1) При  выражение , а значит, , тогда .

2) 

Тогда .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• определение модуля.

Уметь

• раскрывать модуль, используя определение.

Понимать

• в определение модуля:  вместо  можно подставлять любое выражение. Например, .

Заключение

После изучения этого урока у вас не должно возникнуть проблем с заданиями по темам:

• степень числа с целым показателем;

• одночлены, многочлены и действия с ними;

• формулы сокращённого умножения.

На следующем уроке мы рассмотрим:

• сокращение рациональных дробей;

• действия с рациональными дробями;

• преобразование дробно-рациональных выражений.

Ссылки на уроки по рассмотренным темам:

1) Урок «Степень с натуральным показателем и её свойства» (алгебра, 7 класс) 

2) Урок «Таблица основных степеней» (алгебра, 7 класс)

3) Урок «Одночлены» (алгебра, 7 класс)

4) Урок «Действия со степенями» (алгебра, 7 класс)

5) Урок «Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена» (алгебра, 7 класс)

6) Урок «Сложение и вычитание одночленов» (алгебра, 7 класс)

7) Урок «Умножение одночленов. Возведение в натуральную степень» (алгебра, 7 класс)

8) Урок «Одночлены. Арифметические операции над одночленами. Решение задач» (алгебра, 7 класс)

9) Урок «Умножение многочленана одночлен. Типовые задачи» (алгебра, 7 класс)

10) Урок «Умножение многочлена на многочлен» (алгебра, 7 класс)

11) Урок «Совместное применение формул сокращённого умножения» (алгебра, 7 класс)

12) Урок «Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов» (алгебра, 7 класс)

13) Урок «Многочлены. Обзор» (алгебра, 7 класс)

14) Урок «Модуль действительного числа» (алгебра, 8 класс)