32. Треугольники, их характеристики и свойства (основной урок)

Равнобедренный и равносторонний треугольники. Прямоугольный треугольник

Как мы уже знаем, треугольник – наименьшая из возможных замкнутых ломаная (3 звена). Мы начали изучение некоторых свойств и характеристик треугольника. На этом уроке мы продолжаем рассмотрение этой геометрической фигуры.

До этого мы чаще всего говорили о произвольных треугольниках, то есть треугольниках, которые не обладают специальными свойствами. Однако понятно, что можно выделить классы треугольников, которые обладают некоторыми особенностями, и более детально проанализировать их свойства. Начнем с рассмотрения треугольников, у которых равны две стороны. Такой треугольник называется равнобедренным.

 – боковые стороны,  – основание.

Свойства равнобедренного треугольника:

1)  – высота, медиана, биссектриса.

Доказательство:

Пусть  – медиана, отсюда следует, что ,  – общая, .

Откуда , то есть  ( - биссектриса).

,   – высота.

2)  – только что доказали (из ).

Можем сформулировать более общее утверждение: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против равных углов – равные стороны. Более точно мы запишем эту закономерность с помощью теоремы синусов.

Пример

В , . Найти угол .

Решение

, то есть .

.

Ответ: .

Пример

В ,  – высота, . Найти угол .

Решение

Из треугольника :  ,  ( – высота), отсюда следует, что .

, отсюда следует, что .

.

Ответ: .

В случае если у треугольника равны все три стороны, то он называется равносторонним.

Из свойств равнобедренного треугольника несложно получить, что .

У равностороннего треугольника биссектриса, медиана и высота пересекаются в одной точке, которая является центром треугольника.

Еще одним частным случаем треугольника является прямоугольный треугольник (один из углов прямой, равен сумме двух других).

,  – катеты,  – гипотенуза.

Свойства прямоугольного треугольника:

1) Медиана к гипотенузе равна ее половине (верно и обратное утверждение).

Доказательство:

Опустим высоту  в . , , отсюда следует, что . Кроме того,  – середина , поэтому  – средняя линия , то есть  – середина , отсюда следует, что в :  – высота и медиана, то есть  – равнобедренный, а значит .

2) Катет, лежащий против угла , в два раза меньше гипотенузы.

Доказательство:

Проведем медиану .

 – равнобедренный, значит, , то есть  – равносторонний, а значит, если , то .

Пример

В   – медиана, , . Найти .

Решение

, значит,  – равнобедренный, то есть , а значит, .

Ответ: .

Пример

В , высота . Найти .

Решение

 – прямоугольный.

, , то , следует, что .

Ответ: .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Определения и свойства равнобедренного, равностороннего и прямоугольного треугольников

Теорема Пифагора. Тригонометрические функции острых углов прямоугольного треугольника

Мы изучили некоторые свойства треугольников. Однако наша главная задача – научиться находить по некоторым элементам треугольника все остальные. Оказывается, что в большинстве случаев треугольник однозначно задаётся тремя своими элементами.

Одна из важнейших теорем – теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике: . Верна и обратная теорема: если в треугольнике , то треугольник  прямоугольный. Теперь в прямоугольном треугольнике мы можем по любым двум сторонам найти третью.

Пример

В : , , высота . Найти, чему равен .

Решение

 – равнобедренный, то есть  – высота, биссектриса, медиана, из этого следует, что .

 – прямоугольный: , . По теореме Пифагора , из этого следует: ; .

, , то есть .

Ответ: .

Тригонометрические формулы:

Основные тригонометрические тождества:

,

,

Значение тригонометрических функций можно брать из таблицы значений для некоторых углов (, , ) или приблизительно из таблицы Брадиса. В частности,  (так как катет против угла  в 2 раза меньше гипотенузы).

Пример

Найти высоту равностороннего треугольника.

Решение

Пример

В треугольнике  , , . Найти , , , .

Решение

;

; 

; 

Ответ: , , , .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Теорему Пифагора

• Определения тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника

• Основные тригонометрические тождества

Замечательные точки треугольника

В любом треугольнике:

- три высоты пересекаются в одной точке;

- три медианы пересекаются в одной точке;

- три биссектрисы пересекаются в одной точке.

1) Высоты:

Точка  – ортоцентр треугольника.

2) Медианы:

Точка  – центр тяжести треугольника. То есть, если треугольник из однородного вещества положить точкой  на острие иголки, он останется в равновесии. Интуитивно это понять несложно: каждая из медиан делит треугольник на две одинаковые по площади (а значит, и по массе) части, поэтому центр тяжести должен лежать на их пересечении.

Теорема Архимеда: медианы в точках пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство

, значит,  по теореме Фалеса: .

 (по теореме Фалеса), следует, что .

, то есть .

ч.т.д.

3) Биссектрисы

Мы знаем, что биссектриса – ГМТ, которые равноудалены от сторон угла. Значит, на пересечении трех биссектрис треугольника получается точка, равноудаленная от всех трех его сторон.

 – инцентр (центр вписан. окружности).

 – радиус вписанной окружности.

Рассмотрим также точку пересечения биссектрисы внутреннего угла и двух внешних.

Эта точка равноудалена от продолжения двух сторон и от третьей стороны. Соответственно, у треугольника может быть три вневписанные окружности.

Пример

Найти радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Решение

Так как  – точка пересечения также медиан, то: .

Пример

Найти радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Решение

Так как радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной, четырехугольник, образованный радиусами, проведенными к катетам, и частями катетов, является квадратом.

Так как длины отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны, то гипотенуза состоит из двух отрезков, длины которых  и :

Теорема

Радиус вневписанной окружности вычисляется по следующей формуле: .

Доказательство

Точка  делит периметр  треугольника  пополам: . Действительно по свойству касательных,

Т.е. . Из треугольника : .

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Определение и свойства вписанной и вневписанной окружности

• Определение и свойства биссектрисы и медианы угла

• Теорему Архимеда

Описанная окружность. Серединный перпендикуляр

Решим задачу: жители трех домов решили вырыть колодец. Как выбрать место для колодца так, чтобы жители всех трех домов были довольны (чтобы расстояние от колодца до всех домов было одинаковым)?

В геометрической интерпретации:

Рассмотрим произвольный отрезок. Найдем все точки, равноудаленные от  и , – это прямая, перпендикуляр к  и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр).

Тогда  – точка пересечения серединных перпендикуляров к ,  и .  – центр описанной окружности ().

Для любого остроугольного треугольника центр описанной окружности будет лежать внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.

Пример

Найти радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике.

Решение

Как и для вписанной окружности, .

Пример

Найти радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике.

Решение

Для решения рассмотренных примеров необходимо следующее.

Знать

• Определение серединного перпендикуляра и описанной окружности

Понимать

• В остроугольном треугольнике центр описанной окружности находится внутри треугольника, в прямоугольном – на середине гипотенузы (на границе), в тупоугольном – вне треугольника

Решение задач

Пример

В треугольнике  , , . Найти .

Решение

, так как .

,

;

Ответ: .

Пример

Стороны угла  касаются вписанной в него окружности в точках  и , причем . Касательная, проведенная из точки  дуги , отсекает треугольник . Докажите, что периметр треугольника  не зависит от точки , и найдите этот периметр.

Решение

Имеем вневписанную окружность для треугольника . По доказанному  – полупериметр треугольника . Он не зависит от т. . Периметр треугольника  равен .

Примечание: касательная  катится по дуге , отсекает треугольники одного периметра .

Получаем семейство треугольников .

 – общий их элемент.

Пример

В треугольнике  . Радиусы вневписанных окружностей, лежащих против вершин  и , равны  и  соответственно. Найдите длину стороны .

Решение

По доказанному точки касания ,  делят пополам периметр треугольника : . Так как , то . Значит, .

Ответ: .

Пример

В треугольник  вписана окружность с центром в точке . , . Найдите радиус окружности.

Решение

Пусть  – точка касания окружности со стороной . Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника , то  – биссектриса угла  и . Треугольник  прямоугольный, . Поскольку против угла в  лежит катет, равный половине гипотенузы, получаем , что и есть искомый радиус.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели треугольники, их характеристики и свойства. На следующем уроке мы рассмотрим теоремы синусов и косинусов, площадь треугольников, а также научимся решать треугольники.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Урок «Равнобедренный треугольник и его свойства» (геометрия, 7 класс, раздел «Треугольники»)

2. Урок «Прямоугольные треугольники» (геометрия, 8 класс, раздел «Повторение»)

3. Урок «Виды треугольников» (геометрия, 7 класс, «Соотношения между сторонами и углами треугольников»)

4. Урок «Теорема Пифагора» (геометрия, 8 класс, раздел «Площадь»)

5. Урок «Теорема о пересечении высот треугольника» (геометрия, 8 класс, раздел «Окружность»)

6. Урок «Вписанная окружность» (геометрия, 8 класс, раздел «Окружность»)

7. Урок «Описанная окружность» (геометрия, 8 класс, раздел «Окружность»)