23. Маятники (основной урок)

Свободные механические колебания

Колебательное движение – это движение, которое повторяется с течением времени. Примеры колебательного движения мы видим вокруг себя каждый день: струны на музыкальных инструментах, листья на деревьях, поплавок на воде и т.д. Если колебательное движение происходит под действием внутренних сил (то есть тех, которые действуют между объектами, входящими в систему), такие колебания называются свободными. Если же колебания вызваны действием внешних сил, они называются вынужденными.

Если в процессе колебаний на систему действуют неконсервативные силы (например, трение или сопротивление воздуха), значит, система теряет часть энергии (численно равную работе этих сил). В случае если эти потери не компенсируются увеличением внешней силы, колебания будут постепенно сходить на нет. Такие колебания называются затухающими.

Стоит понимать, что на практике при любом механическом колебательном движении потери энергии неизбежны. Но в некоторых задачах силы сопротивления настолько малы, что за рассматриваемый промежуток времени мы можем пренебречь их влиянием – тогда колебания можно считать незатухающими.

Колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону называются гармоническими колебаниями. Уравнение гармонических колебаний выглядит следующим образом:

.

 – это максимальное значение координаты , которое достигается тогда, когда синус или косинус принимает максимально возможное для себя значение – единицу. Это величина называется максимальным отклонением отположения равновесия, или амплитудой.

Выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса, называют фазой колебания, а , – начальной фазой колебания, т.е. фазой при . Размерность фазы – радианы.  – это циклическая частота, величина, равная изменению фазы за единицу времени.

Решим несколько задач.

Задача

Скорость тела, совершающего гармонические колебания, меняется с течением времени в соответствии с уравнением , где все величины выражены в СИ. Амплитуда колебаний скорости равна:Ф

1)

2)

3)

4)

Рассуждения

Речь в задании идёт о гармонических колебаниях скорости некоторого тела. В условиях нам задано уравнение колебаний скорости, которое действительно соответствует виду уравнения гармонических колебаний . Коэффициент при гармонической функции  – это и есть амплитуда колебаний. В нашем случае она будет равна . Следовательно, правильный ответ – вариант 1 – .

Задача

Два маятника 1 и 2 совершают гармонические колебания по законам. Фазы колебаний этих маятников:

1) одинаковые

2) отличаются в 3 раза

3) отличаются в 4,5 раза

4) отличаются на

Рассуждения

В условиях нам приведены два уравнения колебаний:. Как мы видим, в этих уравнениях для описания гармонического закона используются разные тригонометрические функции. У косинуса и синуса начальные фазы не совпадают. В нулевой момент времени они принимают разные значения. Поэтому для того чтобы рассчитать разность фаз двух колебаний, необходимо сначала привести их к виду с одинаковыми тригонометрическими функциями. Это действие подобно выбору одной и той же системы координат.

Преобразовав второе уравнение с помощью формулы приведения, получим:

.

Теперь мы можем определить разность фаз между колебаниями. Как видим, выражение для фазы второго колебательного движения равно выражению для фазы первого колебания плюс . Значит, фазы колебаний отличаются на .

Можно пронаблюдать это более наглядно, посчитав значения для фаз в некоторый момент времени. Например, при . Фаза первого колебания в этот момент времени будет равна ноль радиан, а второго – радиан. Итак, правильный ответ – вариант 4) .

Пружинный маятник

Примером системы, которая может совершать свободные гармонические колебания является пружинный маятник. Система состоит из пружины, один конец которой жестко закреплен, а на другом находится груз. Масса пружины пренебрежимо мала по сравнению с массой груза. При горизонтальном расположении системы сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры.

Если отклонить груз в какую-либо сторону, пружина деформируется (сожмётся или растянется). В этот момент возникнет сила, которая будет стремиться вернуть пружину в начальное состояние. Если мы будем отклонять груз в правую сторону, сила подействует в левую, и наоборот.

По закону Гука, сила упругости по величине прямо пропорциональна деформации, а значит, сила будет тем больше, чем больше перемещение груза от начального положения. Начальное состояние системы называется положением устойчивого равновесия.

Устойчивое равновесие – это состояние системы, при малом отклонении от которого возникают силы или моменты сил, которые стремятся вернуть систему в равновесие. В данном случае в роли возвращающей силы будет выступать сила упругости пружины.

Выберем систему координат следующим образом: ось направим вдоль пружины, направив её в правую сторону. За начало отсчёта возьмём положение равновесия. Выражение для силы упругости будет выглядеть так: .

Знак минус учитывает направление силы упругости – в противоположную от перемещения сторону. Если отклонить груз вправо,  будет положительным – и сила подействует влево, против оси . Если отклонить груз влево,  будет отрицательным – возвращающая сила положительной, направлена ПО оси – вправо.

Коэффициент  является характеристикой конкретной пружины. Он равен силе, которую необходимо приложить, чтобы растянуть или сжать пружину на один метр. Называется жесткостью пружины. Единица измерения – [].

Возвращающая сила упругости создаёт ускорение: . Именно это ускорение «разгонит» груз в сторону положения равновесия, и в момент, когда груз в нём окажется, он будет обладать некоторой скоростью. В положении равновесия возвращающая сила станет равной нулю, но, так как груз обладает массой, а значит, и инерцией, груз проскочит положение равновесия и продолжит движение. После прохождения грузом положения равновесия возвращающая сила возникнет вновь, но направлена она будет уже в сторону, противоположную скорости. Таким образом, ускорение, вызываемое этой силой, будет замедлять движение груза, пока он не остановится полностью. Если в системе отсутствует трение груза о поверхность, потерь энергии не будет и отклонение груза в точке остановки будет таким же, как первоначальное отклонение. То есть его координата будет равна . Далее описанные события будут повторяться – это и есть колебательное движение.

Если представить ускорение как вторую производную по времени от координаты, получим следующее уравнение: . Решение этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:

. Это уравнение гармонических колебаний.

Величина  является циклической частотой колебаний . Полное колебание происходит за время  , которое называется периодом колебаний. Подставляя выражение для частоты, которое мы записали чуть выше, получим: .

Что будет в том случае, когда система расположена вертикально – то есть груз подвешен на пружине? Тогда сила тяжести, действующая на груз направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину , равную , и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для циклической частоты  и периода колебаний  справедливы и в этом случае.

Взвешивание космонавтов на МКС

Для взвешивания космонавтов на Международной космической станции в условиях невесомости нельзя использовать привычные нам весы.

Определение массы космонавтов на орбите производится с помощью специального приспособления – виброплатформы. Платформа закреплена на специальной пружине, на платформу ложится космонавт и также закрепляется на ней. Затем специальное устройство сжимает пружину – и в системе возникают колебания. Эти колебания описываются моделью пружинного маятника.

По периоду колебаний, из выведенной нами формулы  нетрудно определить массу космонавта.

Задача

Гиря массой , подвешенная на стальной пружине, совершает свободные колебания с периодом . С каким периодом будет совершать свободные колебания гиря массой, подвешенная на этой пружине?

1)

2)

3)

4)

Рассуждения

Речь идёт о колебаниях груза на пружине. Эти колебания описываются моделью пружинного маятника. Период колебаний пружинного маятника вычисляется по следующей формуле, где m – масса груза, а k – коэффициент жесткости пружины.

В нашем случае пружина в обоих случаях одна и та же, изменилась лишь масса груза. Запишем выражение для периода колебаний в обоих случаях.

Мы получили систему уравнений, решив которую, получим ответ. Разделим первое уравнение на второе и получим выражение для отношения периодов: , то есть период уменьшился в два раза. Из условия в первом случае период был равен , следовательно, во втором случае будет равен 1 с.

Правильный ответ: вариант

Задача

Груз, подвешенный на пружине жесткостью , совершает свободные гармонические колебания. Какой должна быть жесткость пружины, чтобы частота колебаний этого груза увеличилась в раза?

1)

2)

3)

4)

Рассуждения

Речь идёт о колебаниях груза на пружине. Такие колебания описываются моделью пружинного маятника. Формула для периода колебаний пружинного маятника выглядит следующим образом: .

Частота – это количество полных колебаний, совершаемых за единицу времени (в интернациональной системе – за одну секунду). Значит, частота

.

Таким образом, чтобы частота колебаний груза увеличилась в два раза, необходимо, чтобы период уменьшился в два раза.

В условии ничего не сказано про изменение массы – значит, считаем, что она остаётся такой же. Таким образом, для того чтобы уменьшить в два раза период, нам нужно увеличить в четыре раза жёсткость.

Из условия жёсткость равна , значит, для уменьшения периода жесткость пружины должна стать равной

Правильный ответ – вариант

Математический маятник

Ещё один пример системы, в которой могут происходить свободные колебания, – математический маятник. Математическим маятником называют груз небольших размеров, подвешенный на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой груза.

Если включить в систему груз, нить, крепление нити и землю, то на груз будут действовать только внутренние силы. Сила натяжения нити и сила гравитационного взаимодействия с Землей (то есть сила тяжести).

В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити. При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол  появляется проекция силы тяжести  на траекторию движению груза. Эта проекция пропорциональна величине угла, на которую отклонили груз. Она и будет выступать в роли возвращающей силы, которая стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Знак минус в этой формуле означает, что проекция силы тяжести на касательную к траектории в каждой точке направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Под действием этой силы груз начнёт двигаться к положению равновесия. Значение его скорости по модулю будет увеличиваться с ускорением . Направленная скорость будет в каждой точке по касательной к окружности, частью которой является траектория.

В момент прохождения равновесия угол  и его синус станут равны нулю. Но так как груз обладает массой, а значит, и инерцией. он продолжит движение и проскочит положение равновесия. После этого возвращающая сила будет действовать уже в направлении, противоположном скорости движения груза, так как угол , а значит, и его синус станут отрицательными. Эта сила, по второму закону Ньютона, создаст ускорение, которое будет стремиться замедлить груз. До тех пор пока он полностью не остановится.

Если обозначить через  линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса  то его угловое смещение будет равно . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает .

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению , а . Только в случае малых колебаний, когда приближенно  можно заменить на , математический маятник является системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов менее .

Для малых колебаний, с учётом того что ускорение является второй производной по времени от координаты, можно записать уравнение таких колебаний: .

Решение этого дифференциального уравнения имеет следующий вид: или.  Это уравнение гармонических колебаний.

Величина является циклической частотой колебаний . Полное колебание происходит за время  , которое называется периодом колебаний.

Подставляя выражение для частоты, которое мы записали чуть выше, получим: .

Приёмы для запоминания формул периода

Часто у учеников возникают сложности в запоминании формул периодов для математического и пружинного маятников. Возникает путаница: что на что делить под корнем? Как запомнить, что делить именно , а не наоборот? И именно , а не наоборот?

Могу предложить следующие приёмы, которые упростят их запоминание. Период – это время, за которое совершается одно полное колебание. Его размерность – секунды. Значит, размерность корня – секунды, а размерность выражения под корнем – секунды в квадрате.

Зная размерности величин под корнем, мы можем проверить, какая размерность получится в разных вариантах деления.

 – жёсткость пружины, её размерность , или (если расписать) .

Если разделить  получится . А под корнем должны быть, наоборот, . Значит, правильное выражением под корнем в формуле для периода пружинного маятника – наоборот : .

Аналогично для математического:  – ускорение свободного падения, размерность – .

Если разделить , получится размерность . Верно, размерность корня и должна быть .

Если бы мы разделили , размерность получилась бы .

Формула для периода будет выглядеть так: .

Ещё один способ качественно понять, от чего зависит период колебаний из жизненного опыта. Чем длиннее нить математического маятника, тем больше период колебаний. Вы можете пронаблюдать это на анимации. Благодаря этому можно логически понять, что длина нити должна стоять в числителе дроби под корнем:

.

И, чем больше масса груза на пружине, тем больше период его колебании. Значит, масса должна стоять в числителе дроби под корнем .

Задача

Если и длину нити математического маятника, и массу его груза увеличить в четыер раза, то период свободных гармонических колебаний маятника:

1) увеличится в 2 раза

2) увеличится в 4 раза

3) уменьшится в 4 раза

4) уменьшится в 2 раза

Рассуждения

В задаче идёт речь о математическом маятнике. Он представляет собой груз, подвешенный на нити. При относительно малом (до 20 градусов) отклонении от положения равновесия в системе возникают свободные гармонические колебания.

Их период находится по формуле:

Как мы видим, период колебаний математического маятника не зависит от массы груза. А зависит только от длины и от ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения в данном случае не изменится, а длина, по условию, увеличится в четыре раза. Запишем это:

.

Как видим, период увеличился в два раза.

Правильный ответ: вариант 2 – увеличится в два раза.

Задача

Равносторонний треугольник, состоящий из трёх жёстких лёгких стержней, может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. В точке пересечения двух других его сторон к треугольнику прикреплён массивный грузик. Как и во сколько раз изменится период малых колебаний грузика около его положения равновесия, если ось вращения наклонить под углом к горизонту?

Рассуждения

В задаче описана система, совершающая колебания. Давайте подумаем, какую модель описания выбрать для этой системы? Система не является ни математическим, ни пружинным маятником в чистом виде. Однако очевидно, что модель математического маятника в данном случае гораздо более точно опишет ситуацию. Если посмотреть на систему сбоку и сравнить с математическим маятником, они и вовсе будут не различимы. Отличие заключается в том, что роль нити в данном случае выполняют два стержня. Важно отметить, что в условии сказано, что колебания малые. Ведь это тоже является необходимым условием применения модели математического маятника.

Таким образом, в формуле для периода колебаний математического маятника: . В роли длины нити в данном случае будет выступать высота равностороннего треугольника. Что произойдёт после отклонения системы на угол ?

Условная длина нити, равная высоте треугольника, останется той же. А вот составляющая силы тяжести, на новую плоскость колебаний станет меньше. Составляющая силы тяжести вдоль оси вращения, равная, будет компенсироваться силами реакции со стороны подшипников, в которых закреплена эта ось, а в направлении, перпендикулярном оси, будет действовать её проекция, равная .

Период малых колебаний грузика после будет равен . Теперь мы без труда сможем найти отношения периодов: .

Ответ: период колебаний увеличится в раз.

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, сохраняется – гласит закон сохранения механической энергии. Рассмотренные нами модели пружинного и математического маятников являются замкнутыми, и, если пренебречь силами сопротивления, для них он тоже справедлив. Пронаблюдаем это на примерах. Начнём с математического маятника.

Когда маятник отклоняют на высоту его потенциальная энергия максимальная. Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Если в системе отсутствует сопротивление воздуха, то потерь энергии на преодоление силы сопротивления нет. Тогда в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке:

.

Скорость груза в этой точке также максимальна. Далее, маятник снова отклоняется – и груз вновь поднимается на высоту . Кинетическая энергия вновь переходит в потенциальную. Получается, что значения кинетической и потенциальной энергии тоже совершают колебания по гармоническому закону. За одно полное колебание груз два раза отклоняется на максимальную величину, следовательно, периоды колебаний кинетической и потенциальной энергии в два раза меньше периода колебательного движения.

Колебания кинетической и потенциальной энергии также являются гармоническими. Математически можно это показать так. Подставим в формулу для кинетической энергии выражение для скорости:. Применим формулу понижения степени для косинуса и получим:

.

Как видим, циклическая частота увеличилась в два раза по сравнению с циклической частотой колебаний координаты. Период обратно пропорционален циклической частоте , а значит, он будет в два раза меньше, чем при колебаниях координаты.

Так как полная энергия системы сохраняется в любой момент времени, то

 Следовательно, .

Из выражения видно, что потенциальная энергия будет также совершать колебания по гармоническому закону, с периодом в два раза меньшим, чем у колебаний координаты.

В модели пружинного маятника система тоже является замкнутой. Закон сохранения полной механической энергии соблюдается и здесь.

В точке максимального отклонения скорость груза, а значит, и кинетическая энергия равны нулю. В момент прохождения груза через положение равновесия скорость и кинетическая энергия максимальны. При переходе груза из положения равновесия в положение максимального отклонения кинетическая энергия движения груза переходит в потенциальную энергию деформации пружины. Формула для неё выглядит следующим образом:  где  – коэффициент жесткости пружины.

Таким образом, закон сохранения энергии в случае пружинного маятника выглядит так: .

Кинетическая и потенциальная энергия пружинного маятника совершают колебания по гармоническому закону с периодом, в два раза меньшим, чем у колебаний координаты груза. Математический вывод аналогичен приведённому выше, для математического маятника.

Задача

Период колебаний потенциальной энергии горизонтального пружинного маятника . Каким будет период ее колебаний, если массу груза маятника увеличить в два раза, а жесткость пружины вдвое уменьшить?

Рассуждения

Речь идёт о колебаниях пружинного маятника. Переходы энергии из кинетической в потенциальную при колебаниях пружинного маятника происходят так: в момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия, как и скорость, максимальная. Затем она постепенно переходит в потенциальную энергию силы упругости пружины. В момент максимального отклонения кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная максимальна. За период тело дважды оказывается в точках с максимальным отклонением – с одной и с другой стороны от положения равновесия. Значит, период колебания потенциальной энергии пружинного маятника – в два раза меньше, чем период колебаний самого маятника. Период колебаний пружинного маятника вычисляется по следующей формуле: .

А значит, если увеличить в два раза массу и уменьшить в два раза жесткость, подкоренное выражение увеличится в четыре раза. Значит, сам период увеличится в два раза.

Период колебаний потенциальной энергии, как мы уже выяснили, всегда в два раза меньше, чем период колебаний груза. Следовательно, если период колебаний груза увеличить в два раза, то и период колебаний потенциальной энергии также увеличится в два раза.

По условию, он был равен , значит, станет равен

Правильный ответ: вариант

Задача

Определите коэффициент жесткости невесомой пружины, если известно, что при малых колебаниях груза с амплитудой 4 см максимальное значение кинетической энергии груза .

Рассуждения

Речь идёт о колебаниях груза на пружине. Такие колебания описываются моделью пружинного маятника. Переходы энергии в процессе колебаний пружинного маятника происходят так: в момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия, как и скорость, максимальная. Затем она постепенно переходит в потенциальную энергию силы упругости пружины. В момент максимального отклонения кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная максимальна. Запишем это: .

Из условия нам известно максимальное значение кинетической энергии груза. Максимальное значение потенциальной энергии, как видим из записанного равенства, будет таким же.

Потенциальная энергия пружины рассчитывается по следующей формуле: .

Максимальное отклонение  будет равно амплитуде, значение которой нам известно, значит, остаётся только выразить и найти коэффициент жесткости пружины .

Подставим числа и рассчитаем ответ: .

Ответ: .

Вынужденные колебания. Резонанс

Колебания, совершающиеся под воздействием внешних сил, называются вынужденными.

В общем случае внешняя сила может как помогать системе, так и мешать. То есть работа, которую она совершает, может способствовать как увеличению, так и уменьшению полной механической энергии системы. Например, работа неконсервативных сил (таких как сила трения о поверхность или сила сопротивления воздуха) будет способствовать уменьшению полной механической энергии системы. А впоследствии – приводить к затуханию колебательного движения. Однако, если прикладывать к системе внешнюю силу, которая будет увеличивать её энергию, можно не только компенсировать потери энергии на преодоление неконсервативных сил, но и увеличить полную энергию системы, тем самым увеличив амплитуду колебаний.

Представить это наглядно можно с помощью простого примера. Вспомните, как вы раскачиваетесь на качелях. Сначала вы, отталкиваясь ногами, задаёте качелям некоторую начальную скорость, которой хватает, чтобы отклониться на некоторое значение угла, как правило, небольшое. Если, сделав это, вы перестанете учувствовать в процессе, то колебания быстро затухнут под действием силы сопротивления воздуха.

Но, если каждый раз при прохождении качелей через положение равновесия вы будете отталкиваться в направлении движения, амплитуда вашего колебательного движения будет возрастать, несмотря на силу сопротивления воздуха, которая, наоборот, тормозит ваше движение. На языке физики на систему, совершающую колебания в течение короткого промежутка времени (время отталкивания), будет действовать сила, сонаправленная со скоростью. Эта сила создаст ускорение, которое увеличит скорость, тем самым передав системе некоторое количество кинетической энергии.

И раз за разом качели будут подниматься всё выше. До тех пор пока количество энергии, передаваемое системе за одно отталкивание, не сравняется с потерями энергии на преодоление силы сопротивления воздуха между отталкиваниями. Это неизбежно случится, так как сила сопротивления на практике возрастает с увеличением скорости и зависит от преодолеваемого пути. В нашем случае, так как увеличивается и амплитуда, и максимальная скорость, существенны оба этих фактора.

Анимация примера с качелями, описанная слева

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте . Если свободные колебания происходят на частоте , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят начастоте ω внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время  для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты внешней силы выглядит следующим образом.

При малой частоте внешней силы, амплитуда колебаний будет зависеть от внутренней частоты. Как видите на графике, она примет некоторое конкретное значение. При увеличении частоты внешней силы амплитуда будет увеличиваться. При приближении частоты внешней силы к внутренней частоте колебательной системы ω0 амплитуда резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Резонанс (фр. resonance, от лат. Resono – «откликаюсь») – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной внутренней частотой колебательной системы.

Резкое возрастание амплитуды достигается за счёт того, что при совпадении частот колебаний внешняя вынуждающая сила в каждый момент времени становится сонаправленной с внутренней силой, которая стремится вернуть систему в положение равновесия. Получается, что вся работа, совершаемая внешней силой, идёт на увеличение энергии колебательной системы. Вследствие этого увеличивается и амплитуда. Когда частоты не совпадают, в некоторые моменты времени силы будут сонаправлены, а в некоторые – направлены противоположно. Часть работы пойдёт на увеличение энергии системы, а часть – на уменьшение. Поэтому в таком случае существенного увеличения амплитуды не будет.

При дальнейшем увеличении частоты внешней силы амплитуда снова будет уменьшаться, а при очень больших внешних частотах и вовсе стремиться к нулю. Практически это означает, что при очень большой частоте колеблющееся тело просто не успевает пройти большое расстояние. Попросту: дёргается на месте.

Последствия резонанса и борьба с ним

Любое упругое тело (например, мост, корпус автомобиля, её двигатель) представляет собой колебательную систему и характеризуется собственными частотами колебаний. Часто бывает, что на эти тела действуют и внешние периодические силы, со стороны других тел. Если частота их периодического воздействия совпадает с частотой свободных колебаний, то возникает резонанс. Амплитуда колебаний может возрасти настолько, что возможна поломка механизмов, конструкций и т.д.

В таких случаях принимаются специальные меры, чтобы не допустить наступления резонанса или ослабить его действие. Для этого увеличивают трение в системе или же добиваются, чтобы собственные частоты колебаний не совпадали с частотой внешней силы. Например: при переходе через мост воинским частям запрещается идти в ногу. Периодическое воздействие на мост при марше нога в ногу по частоте может совпасть с внутренними колебаниями моста. Наступит резонанс – и мост может разрушиться.

Задача

На рисунке изображена зависимость амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты вынуждающей силы (резонансная кривая).

Амплитуда колебаний этого маятника при резонансе равна:

Для выполнения этого задания достаточно понимать определение явления резонанса. На этом графике резонансу будет соответствовать точка с максимальной амплитудой при частоте . Значение амплитуды в этой точке равно .

Правильный ответ: вариант .

Давайте подведем итоги сегодняшнего урока. Для решения задачи и ответов на качественные вопросы по данной теме необходимо следующее.

Знать

1) Уравнение гармонических колебаний и величины, которые их характеризуют (амплитуду, частоту, циклическую частоту, фазу, начальную фазу, период)

2) Формулы периода математического и пружинного маятников

3) Принцип превращения механической энергии в процессе колебательного движения

4) Определения явления резонанса

Уметь

1) Находить величины, характеризующие колебания из уравнения гармонических колебаний

2) Находить период колебаний математического и пружинного маятников

3) Определять значение внешней частоты, при которой возникает явление резонанса по графикам либо по значению собственной частоты колебаний.

Понимать

Внешние силы могут совершать работу, как увеличивающую, так и уменьшающую полную механическую энергию колебательной системы. Если на систему действует внешняя периодически изменяющаяся сила, то при прошествии некоторого времени в системе устанавливаются колебания с частотой, равной частоте изменения внешней силы. При совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебаний в системе происходит резкое увеличение амплитуды колебаний. Это явление называется резонансом.

Заключение

На этом уроке мы познакомились с моделями колебательных систем – математическим и пружинным маятниками. А также изучили явление резонанса. Теперь вы можете смело приступать к решению задач по данной теме.

На следующем уроке мы изучим механические волны.