19. Механические колебания (основной урок)

Колебательное движение

Движение – это изменение положения тела в пространстве. Величина, равная перемещению в единицу времени, называется скоростью. А величина, равная изменению скорости в единицу времени, – ускорением. Если скорость постоянная – движение называется равномерным. Если ускорение постоянно – равноускоренным.

Многие конкретные примеры движения, с которыми мы каждый день сталкиваемся в жизни, можно с некоторой долей допущения отнести к равномерному или равноускоренному.

Например, шайба, которая скользит по льду, трение о который пренебрежимо мало. В таком случае движение равномерное. Или мяч, подброшенный вверх, который затем снова падает на землю. Если пренебречь силой сопротивления воздуха – движение равноускоренное.

Но есть ещё один вид движения, который мы видим вокруг себя каждый день. И его нельзя отнести ни к равноускоренному, ни к равномерному движению. Например, покачивающаяся ветка дерева, биение нашего сердца, движение иглы в швейной машинке! Да даже помахивание рукой при виде друга! Всё это примеры колебательного движения, которое мы и рассмотрим сегодня.

В чём же главная особенность колебательного движения? Что объединяет примеры, которые я только что привел?

Очень просто! Во всех рассмотренных примерах движение повторяется через некоторые промежутки времени. Это и есть основное свойство колебательного движения – повторяемость. Колебательное движение – это движение, которое повторяется с течением времени.

Стоит понимать, что точное повторение движения – это идеальный случай. Мы используем модель, которая с некоторой точностью описывает реальность. В действительности повторение является приблизительно точным, с пренебрежимо малыми отличиями. Либо мы рассматриваем такой отрезок времени, в рамках которого считаем повторение точным.

Если движение повторяется, то вектор скорости должен менять своё направление. Изменение скорости происходит под действием некоторой силы (или нескольких сил). Если для рассматриваемого колебательного движения такие силы являются внутренними (то есть действуют между объектами входящими в систему), такие колебания называются свободными.

Если же колебания вызваны действием внешних сил – они называются вынужденными. Стоит понимать, что одно и то же колебательное движение можно считать как свободным, так и вынужденным. В зависимости от выбора системы. Подобно тому, как знак скорости в механике зависит от выбора направления координатной оси.

Например, груз раскачивающийся на нити, после того как мы его отклонили. Если за систему взять груз, нить с креплением и землю – тогда такие колебания будут свободными. А если в систему включить только груз – вынужденными.

Если в процессе колебаний на систему действуют неконсервативные силы (например, трение, или сопротивление воздуха) – значит, система теряет часть энергии (численно равную работе этих сил). В случае если эти потери не компенсируются увеличением внешней силы, колебания будут постепенно сходить на нет.

Груз, раскачивающийся на нити, после того как мы его отклонили, через некоторое время всё-таки остановится. В данном случае из-за силы сопротивления воздуха. Такие колебания называются затухающими.

Если силы сопротивления отсутствуют или настолько малы, что за рассматриваемый промежуток времени мы можем пренебречь их влиянием, тогда колебания можно считать незатухающими.

Выполним задание.

Какой из приведённых ниже примеров движения является колебательным в системе отсчёта связанной с землей:

1) Движение комка грязи на колесе велосипеда, который равномерно движется по прямой дороге.

2) Движение брошенного под углом к горизонту шарика для настольного тенниса.

3) Движение девочки, которая прыгает на месте со скакалкой.

4) Все три указанных выше примера.

Давайте рассмотрим предложенные варианты и порассуждаем:

1) Комок грязи на колесе велосипеда движется вместе с велосипедом.

Так как велосипед движется равномерно и прямолинейно, его координаты относительно земли будут либо возрастать, либо убывать, в зависимости от направления движения, но не повторяться. А значит, и движение комка грязи нельзя считать колебательным. Но стоит отметить, что в системе отсчёта, связанной с велосипедом, комок грязи оказывался бы в точках с одинаковыми координатами через некоторые равные отрезки времени. И тогда движение можно было бы считать колебательным. Но в данном случае вариант не подходит.

2) Шарик для настольного тенниса, брошенный под углом к горизонту сам по себе не полетит в обратном направлении. Повторения движения не будет. Шарик не окажется в точках с одинаковыми координатами через некоторые промежутки времени. Этот вариант тоже не подходит.

3) а вот движение девочки относительно земли будет повторяться через некоторые промежутки времени. Значит, такое движение является колебательным.

Правильный ответ – вариант 3.

Ещё одно задание.

В каком из приведённых ниже примеров колебания являются затухающими:

1) Движение поршня в двигателе автомобиля.

2) Движение груза на нити, которую отклонили от вертикали.

3) Движение молотка, которым строитель забивает гвоздь.

3) Все виды движения в пунктах 1–3.

Давайте рассмотрим предложенные варианты.

1) в первом случае на поршень действует внешняя сила со стороны газа в двигателе, а значит, это вынужденные колебания, они не будут затухать с течением времени.

2) во втором случае на груз действует сила тяжести, это внутренняя сила. Помимо неё, на груз действует сила сопротивления воздуха. Значит, это и есть пример затухающего колебательного движения.

3) в третьем варианте молоток двигается, благодаря внешней силе, которую оказывает рабочий. Как и в варианте 1, это вынужденные колебания. Следовательно, они также не могут быть затухающими.

Итак, правильный ответ – вариант 2.

Координата гармонических механических колебаний

Какими свойствами должна обладать система, чтобы в ней могли происходить свободные колебания?

Давайте порассуждаем на эту тему на примере шарика, подвешенного на нити. В систему включим землю, шарик, нить и её крепление. Из жизненного опыта мы знаем, что такая система может совершать колебания. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то можно считать, что внешние силы на систему не действуют, значит, колебания свободные.

Чтобы запустить колебательное движение, необходимо отклонить шарик в сторону и отпустить его.

А что же мы сделали с точки зрения физики? В первоначальном положении шарик находился в положении равновесия. То есть сумма сил, которые на него действуют – силы тяжести и силы натяжения нити, была равна нулю.

Когда мы отклоняем шарик в сторону, сила тяжести по-прежнему действует вертикально вниз. А вот сила натяжения нити меняет своё направление. Таким образом, равнодействующая сил перестаёт быть равной нулю. Теперь она имеет некоторый модуль и направление.

Модуль тем больше, чем больше отклонение шарика от положения равновесия. А направление такое, что стремится вернуть шарик обратно – в то самое положение равновесия.

Это и есть первое условие способности системы к совершению свободных колебаний: при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать возвращающая сила, направленная к положению равновесия и пропорциональная отклонению от равновесия.

Если при выведении тела из равновесия возникает такая сила, его называют устойчивым равновесием. Конечно, не любое равновесие будет устойчивым. Подробнее о видах равновесия вы можете узнать в ответвлении. 

Виды равновесия

Помимо устойчивого, существует ещё два вида равновесия – неустойчивое и безразличное.

В случае устойчивого равновесия при малом отклонении от равновесного положения возникают силы или моменты сил, которые стремятся вернуть тело в равновесное состояние.

При неустойчивом равновесии, наоборот, при малом отклонении тела из положения равновесия возникают силы или моменты сил, которые вызывают дальнейшее отклонение.

Например, шарик, лежащий на вершине горки. Да, пока он там, силы скомпенсированы, движения нет – равновесие. Но если его хотя бы немного подтолкнуть в сторону – сила реакции опоры отклонится от вертикали. И её равнодействующая с силой тяжести потянет шарик вниз.

И ещё один вид равновесия – нейтральный. В таком случае при изменении положения оно будет продолжать пребывать в равновесии, как бы мы на него ни действовали.

Пример: шарик, лежащий на столе. Мы можем его подвинуть, в сторону, но при этом равнодействующая сил, которые на него действуют, останется равной нулю.

Кстати, понятие равновесия существует не только в физике. Это довольно распространённый термин, который можно встретить в самых разных науках – от психологии, до экономики.

Подробнее об это вы можете узнать в ответвлении.

Равновесие в других науках

Понятие равновесия – одно из самых универсальных в естественных науках. Оно применимо к любой системе, будь то система планет, движущихся по стационарным орбитам вокруг звезды, или популяция карасей в деревенском пруду.

Приведу пример: соотношение численностей замкнутых популяций хищников и их жертв достаточно быстро приходит в равновесное состояние: столько-то зайцев в лесу из года в год стабильно приходится на столько-то лис, условно говоря. Если по каким-либо причинам численность популяции жертв резко изменяется (из-за всплеска рождаемости зайцев, например), экологическое равновесие будет очень скоро восстановлено за счет быстрого прироста поголовья хищников, которые начнут истреблять зайцев ускоренными темпами. Пока не приведут поголовье зайцев в норму и не начнут сами вымирать от голода, приводя в норму и собственное поголовье. В результате этого численности популяций и зайцев, и лис придут к норме, которая наблюдалась до всплеска рождаемости у зайцев. То есть в устойчивой экосистеме также действуют внутренние силы (хотя и не в физическом понимании этого слова), стремящиеся вернуть систему в состояние устойчивого равновесия в случае отклонения системы от него.

Аналогичные эффекты можно наблюдать и в экономических системах. Резкое падение цены товара приводит к всплеску спроса со стороны охотников за дешевизной, последующему сокращению товарных запасов и, как следствие, росту цены и падению спроса на товар – и так до тех пор, пока система не вернется в состояние устойчивого ценового равновесия спроса и предложения

Вернёмся к шарику. Что же будет дальше? Итак, возвращающая сила, вернёт шарик в положение равновесия. Вот только теперь, оказавшись в этом положении, шарик будет обладать некоторой скоростью. И несмотря на то, что сумма сил в положении равновесия вновь станет равной нулю: шарик продолжит движение, проскочив эту точку. Почему?

Ответ прост. Шарик обладает массой, а значит, и свойством инерции. Когда внешние силы, действующие на тело, равны нулю или скомпенсированы – оно сохраняет свою скорость и направление движения.

Это и есть второе условие способности системы к совершению свободных колебаний: система должна обладать инерцией, то есть тело, совершающее колебания, должно продолжать движение в положении равновесия, когда возвращающая сила не действует.

Что будет с шариком дальше? После пролёта состояния равновесия вновь возникнет возвращающая сила.

Будучи направленной в обратную сторону от скорости, эта сила создаст ускорение, которое будет уменьшать скорость шарика. В некоторый момент его скорость уменьшится до нуля.

Шарик окажется в положении, очень похожем на начальное, только с другой стороны. Он отклонён от расстояния равновесия. На него действует возвращающая сила. А значит, все описанные нами действия повторятся.

Есть ещё одно условие способности системы совершать свободные колебание. Мы уже его упоминали, но проговорим ещё раз. Речь идёт о силах сопротивления. Если их нет совсем – случай идеальный, такие колебания называются свободными. На практике силы сопротивления присутствуют всегда в той или иной мере. Если они малы, то колебания будут затухающими, но мы всё равно сможем их наблюдать в течение некоторого времени. Но бывает и такое, что силы сопротивления, действующие на некоторую систему, настолько велики, что колебания затухают буквально сразу (например, в вязкой среде). В таком случае даже при выполнении первых двух условий колебательным движение назвать нельзя.

То есть силы сопротивления, действующие на систему, должны быть достаточно малы.

На качественном уровне мы вывели условия существования свободных колебаний. Теперь, давайте опишем их математически.

Отклонение от положения равновесия обозначим буквой . Тогда, в соответствии с первым условием существования свободных колебаний, возвращающая сила должна быть пропорциональна отклонению и направлена в противоположную сторону. То есть , где  – это некоторый коэффициент пропорциональности.

С другой стороны, по второму закону Ньютона, ускорение .

Ускорение – это вторая производная по времени от координаты. А значит, объединив всё это в одно уравнение, мы получим: .

Уравнение является дифференциальным, то есть содержит производную. Решение таких уравнений изучается в высшей математике, поэтому решать мы его не будем. Мы просто запишем решения и проверим что они верные.

Итак, решения выглядят следующим образом:

или

Оба выражения являются решениями дифференциального уравнения, которое мы вывели с помощью качественных рассуждений, а значит, зависимость координаты колебательного движения от времени.

Доказательство правильности корней вы можете просмотреть в ответвлении. 

Доказательство

Давайте покажем, что приведённое решение удовлетворяет уравнению .

Найдем скорость – первую производную по времени от координаты:

.

Множитель появился ввиду правила дифференцирования сложной функции (если , где , то ).

Найдем ускорение, то есть производную от скорости или вторую производную от координаты:

Подставим  в уравнение и получим тождество. Следовательно, предложенное решение удовлетворяет уравнению колебаний, которое мы получили ранее с помощью качественных рассуждений. 

Величины  и  – это некоторые константы. Их присутствие в выражениях для корней – связано с особенностями решений дифференциальных уравнений. Но чуть позже мы увидим, что они имеют вполне конкретный физический смысл.

Отдельно стоит сказать про множитель перед временем . Мы уже говорили, что – некоторый коэффициент пропорциональности между силой и перемещением. Для каждой конкретной системы он будет разным, стоит это понимать. Выражение  так же несет в себе определённый физический смысл, об этом в следующем пункте урока. Полученные зависимости  или называются уравнениями гармонических колебаний.

Гармонические колебания – колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (то есть синусоидальному, косинусоидальному) закону.

Амплитуда, период, частота, циклическая частота, начальная фаза гармонических колебаний

Итак, решением дифференциального уравнения  являются следующие зависимости:

Давайте разберемся, какой же смысл несут величины  и.

Из выражений видно, что  – это максимальное значение , которое достигается тогда, когда синус или косинус принимает максимально возможное для себя значение – то есть единицу. А раз это максимальное значение координаты – по факту эта величина является максимальным максимальным отклонениемотположения равновесия. Называется эта величина – амплитуда. Часто амплитуду обозначают как и отклонение от положения равновесия , только с индексом  (что означает максимальное).

Выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса, называют фазой колебания, а – начальной фазой колебания, т.е. фазой при . Размерность фазы – радианы.

Теперь вспомним о параметре . Когда мы выводили уравнение гармонических колебаний, это выражение содержало в себе причины колебательного движения. Но в то же время равняется угловой (циклической) частоте колебаний и обозначается буквой . Эта величина измеряется в радианах в секунду. С описательной точки зрения она показывает изменение фазы за единицу времени.

Наряду с угловой частотой  рассматривается и обычная частота , которая равна числу полных колебаний за единицу времени. Размерность

Значение повторяется, когда фаза  меняется на , так как это период тригонометрических функций синус и косинус. Следовательно, полное колебание происходит за время , которое называется периодом гармонического колебания и обозначается .

Поскольку одно колебание длится время , частота  (число полных колебаний за единицу времени) равна  и, наоборот, .

Давайте решим несколько задач.

Материальная точка совершает гармонические колебания. По графику зависимости координаты материальной точки от времени определить перемещение, совершенное ею за первую половину периода колебаний.

Давайте порассуждаем.

На рисунке изображена графическая картина гармонических колебаний. Период – это время, за которое тело совершает одно полное колебание и возвращается в точку с начальной координатой. По графику видно, что период равен .

Амплитуда – это максимальное отклонение от положения равновесия. Координата положения равновесия в данном случае –  по оси . А максимальная и минимальная достигаемые координаты равны 1 и -1. Значит, амплитуда равна 1.

Первая половина периода, если за начальное время взять момент , будет составлять 2 секунды: t=0

 до . Координата x в моменты времени  и равна . Из кинематики мы помним, что перемещение на некотором участке или за некоторое время – это расстояние между начальной и конечной точкой. А значит, перемещение .

Ответ:

Через какой промежуток времени точка, совершая колебательное движение по закону  проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

Давайте порассуждаем.

Нам задано уравнение зависимости координаты от времени. Из заданного выражения

 можно найти амплитуду колебаний  и угловую частоту  .

При , подставив время в уравнения видим, что точка находится в положении равновесия .Ф

А значит, до максимального смещения точка дойдет через четверть периода. Период мы можем найти, зная циклическую частоту: .

Значит, время, за которое точка пройдёт путь до максимального смещения:.

Правильный ответ: вариант

На рисунке приведены осциллограммы напряжений на двух различных элементах электрической цепи переменного тока.

Колебания этих напряжений имеют:

1) одинаковые периоды, но различные амплитуды;

2) различные периоды и различные амплитуды;

3) различные периоды, но одинаковые амплитуды;

4) одинаковые периоды и одинаковые амплитуды. 

Давайте порассуждаем.

По изображённым осциллограммам мы видим, что амплитуда – это максимальное смещение от положения равновесия, которое в данных случаях соответствует нулевой координате для обоих колебаний. Амплитуда одного напряжения в 3 раза больше, чем у другого. (ответы 3 и 4 неверны).

Периоды колебаний напряжений одинаковы и равны 8 делениям на оси абсцисс. Следовательно, правильный ответ – 1) одинаковые периоды, но различные амплитуды.

Положение объекта, совершающего гармонические колебания, определяется выражением  где  задано в метрах, – в секундах. Найти период колебаний в системе.

Нам задано уравнение зависимости координаты от времени для гармонического колебания  следовательно, угловая частота .

Период можно найти через угловую частоту: .

Правильный ответ:

Скорость и ускорение при гармонических механических колебаниях

Скорость тела, положение (координата) которого совершает гармонические колебания, также меняется по гармоническому закону. Убедиться в этом легко. продифференцировав по времени функцию  общее решение уравнения гармонических колебаний. Напоминаю, что скорость – это первая производная от координаты по времени.

Из полученного выражения видно, что скорость меняется по гармоническому закону с той же угловой частотой  и, следовательно, с той же частотой  и тем же периодом , что и координата. Амплитуда колебаний скорости равна амплитуде колебаний координаты, умноженной на угловую частоту .

По фазе колебания скорости опережают колебания координаты на , т.е. на четверть периода. Это мы установили, перейдя в функции  от  к , т.е. к той же тригонометрической функции, которая описывала колебания координаты. Переход к одинаковым тригонометрическим функциям совершают всегда, когда хотят найти сдвиг фазы между двумя гармоническими колебаниями.

Аналогично находится выражение для ускорения тела, совершающего гармонические колебания вида:

.

Производную от этой функции – скорость, мы только что нашли:

.

Ускорение – это производная от скорости, т.е.

Из последнего выражения видно, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания , также меняется по гармоническому закону с той угловой частотой  и, следовательно, с той же частотой и тем же периодом, что . Амплитуда колебаний ускорения равна амплитуде колебаний координаты, умноженной на . Гармонические колебания ускорения опережают по фазе колебания координаты на  (половину периода), т.е. они колеблются в противофазе.

Сказанное выше о гармонических колебаниях координаты, скорости и ускорения иллюстрируют рисунки.

(a) колебания координаты;

(b)колебания скорости;

(с) колебания ускорения.

Давайте решим несколько задач.

Подвешенный на нити грузик совершает гармонические колебания. В таблице представлены координаты грузика через одинаковые промежутки времени. Какова примерно максимальная скорость грузика?

В условиях нам задан набор точек, по которым мы можем построить график, иллюстрирующий движение.

По графику видно, что положение равновесия соответствует координате Период колебаний: Амплитуда колебаний: В начальный момент

Значит, колебание грузика описывается функцией .

Выражение для скорости грузика можно получить, вычислив производную от координаты по времени:

.

Из этого выражения видно, что скорость меняется по гармоническому закону с тем же периодом .

Максимальное значение скорости достигается при косинусе равном единице и равно.

Ответ: .

Найдите амплитуду, частоту и период колебаний объекта, если его положение описывается функцией

Найдите максимальные величины скорости и ускорения объекта. Какими будут положение, скорость и ускорение объекта по истечении .

Рассуждение

1. Выражение описывает гармоническое колебание. Амплитуду, частоту и период колебаний объекта нетрудно определить, сравнив его со стандартным выражением для гармонического колебания: .

2. Дифференцируя выражение из условий, последовательно получим уравнение гармонических колебаний скорости и ускорения. Амплитуды этих колебаний и будут максимальными значениями скорости и ускорения.

3. Ну а положение скорость и ускорение объекта в определённые момент времени получается простым вычислением значений функций гармонических колебаний координаты, скорости и ускорения.

Решение

1. Из  получаем, что амплитуда, угловая частота, период.

1. максимальное значение скорости.максимальное значение ускорения

3. Пусть , тогда

Ответ:

Решение задач

Давайте решим несколько задач на закрепление материала.

Можно ли считать ежедневное движение ученика из дома в школу и обратно – гармоническим?

Давайте порассуждаем.

Движение школьника в будни можно считать колебательным, оно повторяется каждые сутки. Но гармоническим оно не является. Положение ученика меняется во времени не по закону синуса или косинуса.

Ответ: нет, такое движения нельзя считать гармоническим.

Можно ли считать движение скачущего мяча гармоническим, если удар мяча о пол является абсолютно упругим, а сопротивления воздуха нет?

Давайте порассуждаем.

При гармоническом движении, по закону синуса или косинуса, меняется не только координата, но и скорость и ускорение. Когда мяч движется вверх и вниз, то его ускорение всегда направлено вниз и не меняется по величине – это ускорение свободного падения g. Ускорение меняется только в короткий период отскока. Следовательно, движение мяча не является гармоническим.

Диафрагма громкоговорителя колеблется с частотой  и амплитудой.

Найти максимальное ускорение диафрагмы, при каком положении диафрагмы достигается этот максимум. Гармонические колебания диафрагмы в данном случае будут описываться следующим уравнением: т.к. аплитуда нам известная из условий, а. Частота так же известна из условий. Скорость и ускорение диафрагмы также меняются по гармоническим законам:

Максимальное значение ускорения будет при значении косинуса равном единице и будет равно

2. Максимальная упругая сила действует на диафрагму при ее максимальном отклонении, т.е. когда

т.е. при.

Ответ:

Давайте подведём итоги сегодняшнего урока.

Для решения задач и ответов на качественные вопросы по данной теме необходимо следующее

Знать:

1) Условия, которыми должна обладать системы для совершения гармонических колебаний.

2) Уравнение гармонических колебаний.

3) Понятия амплитуды, частоты, циклической частоты, периода и начальной фазы колебаний.

4) Выражения для скорости и ускорения тела совершающие гармонические колебания

Уметь:

1) Графически изображать зависимость координаты от времени для гармонических колебаний

2) Определять по графикам и по уравнениям гармонических колебаний амплитуду, циклическую частоту, начальную фазу.

3) Находить скорость и ускорение тела совершающего колебания в необходимый момент времени.

Понимать

Механические колебания – это движения, которые повторяются через определенные интервалы времени. Колебания могут быть свободными или вынужденными. Свободными называют колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия. Свободные колебания под действием сил сопротивления (трения) затухают.

Вынужденными называются колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели понятие гармонических колебаний, условия для их осуществления, параметры гармонических колебаний (период, амплитуду, частоту, циклическую частоту, начальную фазу). Уравнения зависимости скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания от времени.

На следующем уроке мы подробнее рассмотрим частные примеры свободных механических колебаний – математический и физический маятники – вынужденные колебания и явление резонанса.

Ссылки на уроки на сайте InternetUrok.ru:

1. Колебательное движение (Колебошин С.В.) (Физика, 9 класс, раздел \"Механические колебания и волны\")

2. Колебательное движение. Свободные колебания (Ерюткин Е.С.) (Физика, 9 класс, раздел \"Механические колебания и волны\")

3. Величины, характеризующие колебательное движение (Физика, 9 класс, раздел \"Механические колебания и волны\")

4. Динамика колебательного движения (Физика, 9 класс, раздел \"Механические колебания и волны\")

5. Гармонические, затухающие, вынужденные колебания. Резонанс (Колебошин С.В.) (Физика, 9 класс, раздел \"Механические колебания и волны\")