22. Механические волны (основной урок)

Распространение колебаний

Говоря о волнах, первое, о чем большинство из нас вспомнит, – это волны на поверхности воды. Кто был на футбольном матче, тот также вспомнит, как болельщики поддерживают любимую команду, пуская волну. Интересно, что и вода, и заполненная трибуна обладают общим свойством, которое делает возможным распространение волн! Каким именно – сегодня мы об этом узнаем.

Каждый из вас представляет, что такое волна, все видели волны на поверхности воды. Цунами – это тоже волна. Если мы возьмем в руку конец лежащей на земле веревки и сделаем резкое движение вверх-вниз, по веревке тоже пойдет волна.

Уже сейчас мы можем дать определение: волна – это изменение некоторой совокупности величин, в том числе периодическое (колебания), распространяющееся в пространстве с течением времени.

Рассмотрим такой пример. На бильярдном столе в один ряд лежат бильярдные шары с интервалом в несколько сантиметров. Ударим по крайнему шару. Будем наблюдать процесс, такой, как вы видите на анимации. Волна ли это? Да, здесь изменение некоторой совокупности величин (в нашем случае перемещение шариков, их скорость, кинетическая энергий) распространяется в пространстве с течением времени.

Шарик, обладающий кинетической энергией, сначала был в одной точке нашего ряда, затем в другой, т.е. мы можем сказать, что переместилась энергия. При этом не переместился сам шар на новое место в ряду, энергия передалась от одного шара к другому при упругом столкновении.

Волна – это созданный природой способ передавать энергию на расстояние, не перенося вещество, не перенося носитель этой энергии, это удобно для передачи информации, яркий пример – передача информации при помощи звука, который мы подробно рассмотрим немного позже.

Для распространения волны нужна упругая среда, чтобы смещение частицы вызывало смещение соседней частицы.

Вызовем волну, бегущую по веревке. Для этого передадим энергию концу веревки, как показано на анимации. Веревка упругая, и если рассматривать по отдельности короткие участки веревки, то смещение одного участка повлечет за собой смещение другого, волна распространится.

Волну на поверхности воды мы вызовем, погрузив руку неглубоко в воду и совершив ею движение или бросив в воду камень, т.е. сообщим некоторому объему воды энергию. Возмущение участка поверхности воды будет вызывать такое же возмущение соседнего участка. Мы знаем, что столб воды высотой  оказывает давление . По закону Паскаля, это давление передается в любую точку жидкости и заставляет двигаться соседний объем жидкости.

Попробуем вызвать распространение волны на поверхности снежного покрова. Попробуем также бросить в снег камень или похлопать по снегу рукой – волна не распространится. Чем отличается снег от воды или веревки, распространение волны по которым мы легко вызывали? Снег и его поверхность не являются упругими, смещение одних частиц не вызывает смещение других.

Теперь понятно, почему распространяется волна поднимающихся с мест болельщиков на стадионе. Болельщики, как частицы вещества, связаны между собой, они следят за соседями на трибунах, каждый из них поднимается с места, когда поднимается его сосед. Таким образом, трибуну с болельщиками можно описать с помощью модели упругой среды. Запускает координатор, который дает сигнал подняться одному сектору, т.е. сообщает системе энергию. Далее волна распространяется по упругой среде. Волна перестает распространяться, когда упругие связи между частицами нарушаются, т.е. болельщики прекращают реагировать на действия соседей, когда теряют интерес или когда волна доходит до трибуны, где мало людей.

Направление, вдоль которого распространяется волна, называется лучом. Так, лучи волны от брошенного в воду камня являются радиусами расходящихся кругов, лучи волны на море, вызванной ветром, представляют прямые, направленные вдоль вектора перемещения гребня волны. Фронт волны – это геометрическое место всех точек, до которых на данный момент распространились колебания. Фронт волны перпендикулярен лучу.

Еще раз отметим, что вещество не перемещается вместе с волной. Вещество только совершает колебания около положения равновесия. Посмотрите на поплавок на поверхности воды: волна распространяется к берегу, а поплавок остается на месте, совершая колебания вверх-вниз.

Перенос энергии волной

Волна не перемещает вещество, а переносит энергию. Это можно проиллюстрировать на следующем примере.

Рассмотрим волну на поверхности воды, вызванную, например, брошенным в воду камнем на расстоянии около десяти метров от берега. При таком расстоянии волна достигнет берега только через несколько секунд, и после этого мы увидим прибой. Если представить, что происходило перемещение воды, можно посчитать, какая энергия была бы затрачена в этом случае. Нужно учесть, что волна распространилась во все стороны и объем якобы перемещенной воды был бы значительным. Кинетической энергии камня не хватило бы для совершения такой работы. Она не расходуется на перемещение воды, она вызывает колебания и затем передается соседним объемам воды

Смещение частиц может быть одноразовым, как при цунами, при волне, которую мы вызывали на веревке или при волне болельщиков на стадионе, а может быть периодически повторяющимся, как при волнении моря, если дует постоянный ветер, механизм распространения волны от этого не зависит. Движение также передается от одной частицы к другой, только это движение периодически повторяется, т.е. представляет собой колебание. Далее в нашем курсе мы будем изучать в основном такие волны и решать задачи, описывающие их.

Подведем промежуточные итоги. Для рассмотрения механических волн нужно следующее.

Знать

1) Определение волны.

2) Условие распространения механической волны в среде.

Понимать

Механическая волна – это изменение параметров частиц (смещение, скорость, энергия), распространяющееся в пространстве с течением времени, т.е. эти параметры передаются от одной точки среды к другой. Чтобы они передавались, нужно, чтобы при смещении частицы, возникали силы, действующие на соседнюю частицу, т.е. среда должна быть упругой.

Длина волны. Поперечные и продольные волны

Волны бывают разные: легкая рябь на воде, волны во время шторма, едва заметная глазу волна, идущая по струне гитары. Многие знают, что звук – это тоже механическая волна. Чтобы исследовать волны в таком разнообразии, нужно определить их параметры.

В нашем курсе мы будем изучать гармонические механические волны – волны, при которых каждая точка среды, по которой распространяется волна, совершает гармонические колебания (координата меняется по закону синуса или косинуса).

Начнем с того, что мы уже знаем. Изучаемые нами волны – это распространяющиеся колебания, поэтому они описываются теми же параметрами, что и колебания. А мы знаем, что механические колебания имеют амплитуду, период, частоту, фазу. Со всеми этими характеристиками вы знакомы, но я их кратко напомню.

Амплитуда колебаний – максимальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия. Период колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание. Частота – количество полных колебаний за единицу времени. Фаза – это аргумент гармонической функции. Под фазой можно понимать стадию колебательного цикла: точка находится вблизи максимального отклонения, вблизи равновесия, в начале нового цикла или в любом промежуточном положении.

Наблюдая за волной на воде, легко заметить, что она обладает пространственным периодом: гребни и впадины чередуются через равные интервалы. Этот интервал называется длина волны. Точное определение: длины волны – это расстояние между двумя соседними точками, колеблющимися в одной фазе, например, между соседними гребнями волны на поверхности воды. Обычно обозначается буквой  и измеряется (т.к. это расстояние) в метрах.

Волна распространяется с течением времени, и естественно говорить о скорости ее распространения. Действительно, если мы будем ехать по волнорезу на велосипеде со спидометром рядом с гребнем волны, на спидометре мы увидим скорость волны.

Давайте разберемся, скорость чего мы измерили. Это не скорость движения воды, волна не переносит вещество. Волна переносит энергию колебаний, но четко определить координату и перемещение энергии нельзя. Можно определить координату точки, которая колеблется и, значит, обладает энергией.

Таким образом, мы рассматриваем перемещение колебания. Похожей моделью мы пользовались, когда изучали ток в полупроводниках. Там мы рассматривали движение носителя положительного заряда – дырки. В данной модели сначала один атом обладает вакантным местом для электрона, а затем им обладает другой. Атом не переместился – это другой атом стал обладать определенным признаком, но при рассмотрении процесса переноса заряда это не важно, и можно считать, что переместился некий признак, заряд.

Так же и при распространении волны: сначала одна точка колеблется в определенной фазе, затем другая, и можно считать в рамках используемой модели, что переместилась точка, находящаяся в заданной фазе.

Как же определить скорость волны? Поставим перед собой задачу: определить скорость волны на море, имея рулетку и секундомер. Скорость – это, по определению, перемещение за единицу времени,.

Если рядом есть волнорез, несложно измерить длину волны, проследив, чтобы соседние гребни волны были возле концов ленты рулетки одновременно. За некоторый промежуток времени волна гребни переместятся на расстояние  (на длину волны).

За какое время это произойдет? Проследим за точками на поверхности воды. Выберем любую, например, точку А на рисунке. В начальный момент времени там был гребень, т.е. точка максимально отклонена от положения равновесия. Когда волна прошла расстояние  , точка снова оказалась в начальной фазе, то есть прошла полный цикл колебания! А время его прохождения – это период колебания .

Таким образом, волна проходит расстояние   за время , и скорость волны равна .

Период колебаний несложно измерить с помощью секундомера, засекая время между двумя ударами волны о берег.

В ходе решения задачи мы получили важную формулу, которую полезно запомнить и применять в готовом виде для решения задач: . Или, помня, что величина, обратная периоду, – это частота колебаний, запишем в другом виде: .

Волны бывают двух типов: поперечные и продольные, а также встречаются их комбинации. При поперечных волнах колебания частиц происходят перпендикулярно лучу, т.е. направлению распространения волны. Например, такая волна возникает на упругих натянутых мембранах, как на барабане, такую волну мы пускали по веревке, такой волной с некоторым приближением можно считать волну на поверхности жидкости. Поперечные волны возникают в телах, которые проявляют упругость при изменении формы, а это твердые тела и поверхности жидкостей.

Продольные волны – это волны, при которых частицы колеблются в направлении, параллельном лучу. Наглядный пример такой волны – волна, идущая по пружине, если концу пружины сообщить колебательное движение, направленное на сжатие-растяжение пружины. Вдоль пружины будут перемещаться участки сжатия и растяжения. Звук – это продольная волна, аналогичная волне в пружине, только участкам сжатия и растяжения соответствуют области повышенного и пониженного давления воздуха или другой среды распространения звука. Более подробно о звуке мы поговорим в следующем разделе.

Продольные волны возникают в средах, которые проявляют упругость при изменении объема, т.е. во всех веществах.

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач, описывающих механические волны, нужно следующее.

Знать

1) Параметры колебательного движения.

2) Определение длины волны.

3) Определение скорости распространения волны.

4) Формулу связи частоты и длины волны: .

Уметь

Определять параметры механической волны.

Понимать

Волна – это распространение колебаний, поэтому она описывается теми же параметрами, что и колебания, а также некоторыми параметрами, не присущими колебаниям: длина волны, скорость распространения волны.

Звуковые волны

Как мы уже сказали раньше, звук является продольной механической волной. Рассмотрим распространение звука в воздухе. Молекулы воздуха колеблются вдоль направления распространения волны. Возникают области, в которых воздух сжат, и области, в которых он разрежен. Выделим некоторый малый объем воздуха. Учитывая, что температура воздуха при распространении звука не изменяется, применим к выделенному объему закон Бойля – Мариотта: . Тогда понятно, что областям сжатого и разреженного воздуха соответствуют области повышенного и пониженного давления. По закону Паскаля, давление передается во всех направлениях, и, если некоторый объем воздуха сжат, он оказывает давление на соседний объем воздуха и сжимает его. Таким образом, сжатие передается от одного участка другому: выполняется условие распространения волны.

Скорость звука в твердых телах зависит от упругости материала и его плотности. Эти характеристики мало зависят от внешних условий, поэтому чаще всего скорость звука в твердых телах посчитана для конкретных материалов и ее значение можно найти в соответствующей таблице.

Скорость звука в газах зависит от температуры и молярной массы газа, поэтому скорость звука в воздухе изменяется в зависимости от погодных условий, влажности, высоты над уровнем моря. Если не задана скорость звука в конкретных условиях, средняя скорость звука в воздухе при условиях, которые принято считать нормальными, равна .

 Почему фанаты не могут болеть всем стадионом одновременно?

Скорость звука велика по сравнению со скоростями движения тел, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, поэтому в ряде задач мы можем считать распространение звука мгновенным, например, рассматривая разговор двух людей в комнате. Считаем, что время между произношением слова и его восприятием пренебрежимо мало. Однако в больших масштабах конечной скоростью звука пренебречь уже нельзя.

Попробуем ответить на вопрос: почему фанаты не могут всем стадионом слаженно поддерживать песней или скандированием любимую команду?

Рассмотрим ситуацию, когда болельщикам подается зрительный сигнал к скандированию, чтобы они делали это одновременно. Решим задачу для стадиона «Лужники». Максимальное расстояние между его трибунами составляет приблизительно . Болельщик, находящийся на южной трибуне, услышит звук со своей трибуны мгновенно, т.к. он на ней находится. Через какое время он услышит звук с противоположной трибуны?

Звук распространяется равномерно прямолинейно, значит, двигаясь со скоростью , за время  он пройдет путь: . Отсюда .Таким образом, одновременно произнесенные слова будут слышны с интервалом в , что не так уж и мало. Звучит это вразнобой. Учитывая, что есть еще боковые трибуны и что в каждой точке стадиона будет свое время запаздывания, полное согласование невозможно. Это представляет собой проблему при организации концертов на стадионах, площадях и других площадках больших размеров

Не любую продольную механическую волну, распространяющуюся в воздухе, мы слышим, поэтому не любая такая волна является звуком. Ухо способно воспринимать волны с частотой от  до . Эти границы могут отличаться у разных людей, четкой границы нет: например, часто дети воспринимают частоты до , а с возрастом верхняя граница воспринимаемых частот уменьшается и может достигать . Волны с частотами ниже  называются инфразвуком, с частотами выше  – ультразвуком.

Инфразвук и ультразвук

Разные животные слышат звук разных диапазонов. Например, киты способны издавать и воспринимать инфразвук, таким образом, они общаются. Другие животные, например, дельфины, летучие мыши, воспринимают ультразвук, используя его также для эхолокации, о чем мы поговорим в следующем разделе.

При этом ни общения китов, ни дельфинов и летучих мышей человек не слышит, т.к. эти звуки выходят за пределы его частотного диапазона

Задача

Человек в среднем воспринимает звук с частотами от до . Определите длины звуковых волн, воспринимаемых человеком, если скорость звука в воздухе равна .

Решение

Решая задачу нахождения скорости распространения волны, мы получили формулу, связывающую частоты и длину волны при известной скорости волны: .

Стоить запомнить, что с ее помощью мы можем легко переходить от частоты к длине волны и, наоборот, при известной скорости, что мы и будем неоднократно делать при изучении темы «Колебания и волны».

Выразим длину волны: . Осталось только посчитать длину волны, которая соответствует верхней и нижней границе частот.

Человек слышит звук с длиной волны от  до .

При переходе звука из одной среды в другую, с отличной от первой скоростью звука, изменяется длина волны и, естественно, скорость звука. Частота остается постоянной.

Как отражаются те или иные параметры звука на том, как мы слышим звук? Частота звука определяет его высоту: низкие частоты соответствуют низкому звучанию, высокие частоты соответствуют высокому звучанию.

Амплитуда колебаний соответствует громкости звучания: понятно, что, чем больше амплитуда колебаний, тем больше их энергия, а поглощение ухом большей энергии сильнее ощущается.

Тембр звука, его окраска и богатство звучания определяется формой звуковой волны. Если это будет простая синусоида, звук будет пустым и плоским (Рис. 1), но если это будет волна сложной формы, полученная сложением волн разных частот, звук будет богаче (Рис. 2): например, для сравнения так выглядит и так звучит простая гармоническая волны, а так – нота ля на рояле (простая гармоническая волна на рисунке – обычная синусоида).

Решение задач

Задача

Ребенок уронил в глубокий колодец камень и через

 услышал всплеск воды. Определите, на какой глубине находится уровень воды в колодце.

Анализ условия.

- определим, что происходило за заданное в условии время .

- сначала камень свободно падал до поверхности воды на протяжении времени , затем звук от всплеска воды распространялся равномерно вверх на протяжении времени  и прошел то же расстояние – искомую глубину. Задача сводится к задаче по кинематике:.

- выберем систему координат. Движение происходит вдоль одной прямой, поэтому достаточно будет одной оси координат. Направим ее, как показано на рисунке.

- рассмотрим движение камня. Камень движется прямолинейно вниз с ускорением свободного падения. Из кинематики мы помним, что координата камня при этом будет равна

.

-рассмотрим распространение звука. Звук распространяется равномерно, координата волнового фронта при этом равна  (минус, т.к. скорость направлена противоположно направлению оси координат).

Решение

Применим записанные выражения для данной задачи. Камень падает из точки начала координат без начальной скорости (сказано, что камень не бросили, а уронили) и через время  его координата будет равна . Запишем: .

Звук за время  распространился от поверхности воды (начальная координата равна ) до ребенка (координата станет равна 0). Запишем:.

Получили систему уравнений, решив которую найдем искомую глубину:

Свертка. Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения : . Выразим из второго уравнения :

Подставим полученные выражения в третье уравнение:

.

Получили уравнение с одной переменной.

Избавимся от иррациональности. Для этого перенесем рациональные члены уравнения в правую часть и возведем обе части в квадрат:

Получили квадратное уравнение, которое решается в общем виде достаточно сложно, поэтому подставим числа, сразу умножив обе части уравнения на :.

Корни этого уравнения:

Первый корень не является ответом задачи, даже без учета ожидания звукового отклика за секунды камень такое расстояние не пролетел бы.

Ответ:

Задача

Два человека сидят возле железнодорожных рельсов на расстоянии друг от друга. Один из них бьет по рельсу молотом. Второй слышит два удара. Почему он слышит звук от удара дважды и с каким интервалом, если скорость звука в воздухе равна , а в стали ?

Анализ условия

- в задаче рассматривается распространение звука от удара молотом по рельсу.

- звук будет распространяться по самому рельсу и (привычно нам) по воздуху.

- скорость звука в данных средах разная, поэтому звук достигнет второго человека по рельсу и по воздуху не одновременно, и он услышит два удара.

- звук распространяется равномерно прямолинейно, будем применять формулу .

Решение

Распространяясь по воздуху со скоростью  звук преодолеет расстояние  за время :
.

Распространяясь по стали рельса со скоростью , звук преодолеет то же расстояние  за время : .

Интервал между звуками равен: .

Получили систему уравнений, решив которую найдем интервал между звуками:

.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Выразим из первых двух уравнений  и :

.

Подставим их в третье уравнение:

.

Вычислим:

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач, описывающих распространение звука, нужно следующее.

Знать и уметь

Всё то, что мы знаем и умеем относительно механической волны.

Понимать

Звук – это механическая волна такой частоты, которую воспринимает человеческое ухо. В среднем это

.

Эхолокация

Механические волны обладают еще одним важным свойством, которое нам предстоит рассмотреть. Если волна на своем пути встречает упругое жесткое препятствие, она от него отражается. Например, волна на поверхности воды отражается от бетонного перекрытия, и мы можем заметить, что отраженная волна будет такой же, как и до отражения, только поменяет направление распространения. Если препятствием будет поросший травой берег, т.е. препятствие неупругое, тогда волна поглотится препятствием.

Это же явление наблюдается при распространении звуковых волн. Отражением звука объясняется возникновение эхо. Если мы крикнем, находясь в месте, где есть препятствия для звука и они упругие (т.е. мы находимся не в степи и не в лиственном лесу, особенно во время снегопада, а например, в горах), то через секунду или несколько услышим свой голос – эхо. Этот звук – отраженная от гор волна, и время, через которое мы услышим эхо, определяется расстоянием до преграды, а также количеством переотражений. То есть по времени, через которое отраженная звуковая волна вернется к источнику, можно определить расстояние до преграды, от которой волна отразилась, а также ее размер и даже форму.

Этот принцип положен в основу эхолокации – определения расположения объекта (лат. locatio – «положение) по отраженной волне (греч. ἠχώ – эхо – «отзвук»), звуковой или электромагнитной. К эхолокации способны некоторые животные, такие как дельфины, летучие мыши, некоторые птицы. Это позволяет им ориентироваться в темноте: глубоко под водой, в темных пещерах. Животные используют ультразвуковую эхолокацию. По сравнению со звуком, который слышит человек, ультразвук имеет высокую частоту и малую длину волны, а точность эхолокации тем больше, чем меньше длина волны. Рассмотрим процесс подробнее на примере задачи.

Задача

Летучая мышь ориентируется в пространстве с помощью эхолокации. Она издает короткие ультразвуковые импульсы на частоте  и принимает отраженную волну. На каком расстоянии от мыши находится стена, если импульс вернулся через ? Какой минимальный интервал должен быть между испусканием импульсов, чтобы дальность обнаружения была равна ?

Анализ условия

- описан процесс эхолокации. Проследим за его ходом.

- мышь испускает волну, она распространяется с постоянной скоростью  и достигает стены.

- волна отражается от стены и распространяется с тойже скоростью к мыши, проходя снова расстояние  от мыши до стены.

- всего за время  волна проходит путь : .

- интервал между импульсами ограничен тем, что мышь не должна испускать следующий импульс, пока еще может получить отзвук предыдущего.

Решение

Применим полученную формулу. Если расстояние до стены равно , то мышь услышит отзвук через время : .

Расстояние до стены .

Если расстояние до стены равно не более , то отзвук будет слышен через время не более:

.

Т.к. отзвук от предыдущего импульса приходит через время, не более , то новый импульс должен быть испущен не ранее, чем через  после предыдущего. Задача решена.

Эхолокацию используют также слепые люди, которые при ходьбе стучат перед собой тростью не только для того, чтобы прощупать дорогу, но и для того, чтобы слушать звук, отраженный от окружающих предметов.

Метод ультразвукового исследования, известное многим УЗИ, работает по тому же принципу: прибор излучает ультразвуковые волны и принимает их после отражения от внутренних органов.

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач, описывающих эхолокацию, нужно следующее.

Знать

1) Принцип эхолокации.

2) Путь при равномерном прямолинейном движении: .

Уметь

Определять путь, пройденный звуковой волной.

Понимать

С момента испускания волны и до момента принятия отраженной волны она проходит путь, равный двойному расстоянию до препятствия, от которого волна отразилась: путь волны до отражения и обратный путь после отражения.

Заключение

На этом уроке мы изучили:

• Механические волны. Продольные и поперечные волны. Звук Эхолокацию

• Теперь вы можете решать задачи на механические колебания и волны.

• На следующем уроке мы займемся электромагнитными колебаниями и изучим:

• Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре. Превращение энергии