47. Основы электростатики (основной урок)

Электрический заряд, его дискретность. Электрическое поле. Закон сохранения электрического заряда

В природе существует четыре вида поля, и явно на макроуровне проявляются два из них: электромагнитное и гравитационное.

Тело, обладающее массой, создает вокруг себя гравитационное поле, которое проявляется в действии на другое тело, обладающее массой. Массы взаимодействуют посредством гравитационного поля. Их взаимодействие подчиняется закону всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения

Вокруг тела, обладающего массой, возникает гравитационное поле. Посредством этого поля массы взаимодействуют – притягиваются.

Сила их притяжения пропорциональна величине каждой из масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: .  – константа, гравитационная постоянная, равна .

Есть другая сущность – электрический заряд, и тело, обладающее этой сущностью, создает вокруг себя поле – электрическое поле. Поле – это пространство, где на другие заряды будет действовать сила. Электрическое поле возникает вокруг электрических зарядов и обнаруживается по действию на заряд.

Электрический заряд и электрическое поле не подлежат непосредственному наблюдению. О таких вещах мы судим по их проявлениям. Даже температуру мы не наблюдаем непосредственно. Мы знаем свойство тел расширяться при нагревании и можем по расширению, например, ртути в термометре, судить о температуре. Глядя в окно, мы не видим ветер, но видим его действие на ветви деревьев. Т.е. мы наблюдаем проявление чего-то и на основе наблюдений судим о том, чего непосредственно не наблюдаем.

Электричество также изучается через наблюдение его свойств. Мы видим, что заряженные тела особым образом взаимодействуют. Заряды имеют разную величину, которую можно измерить по величине силы, с которой данный заряд будет взаимодействовать с другим зарядом, и эту силу можно измерить обычным способом.

Электрический заряд – физическая величина, котораяпоказывает способность тел участвовать в электромагнитных взаимодействиях, измеряется в кулонах. Процесс сообщения телу электрического заряда называется электризацией.

В отличие от массы, заряд бывает двух типов, и они между собой взаимодействуют так: заряды одного типа отталкиваются, разных типов – притягиваются. По тому, как распределяется заряд двух тел при их прикосновении, можно заметить, что он подобен перетекающей электрической жидкости. Так раньше и считали, до появления современных методов исследований и оборудования.

Сейчас известно, что носителями двух типов заряда являются элементарные частицы: электрон и протон. Элементарные частицы неделимы, поэтому существует минимальный заряд – это заряд одной частицы, равный. Эти частицы имеют массу:  и  для электрона и протона, соответственно.

Для того чтобы мы друг друга понимали, когда говорим о зарядах, удобно договориться, как обозначить разные типы заряда, как когда-то договорились об обозначениях для двух противоположных сторон – левой и правой. Так, заряд протона принято считать положительным , а заряд электрона – отрицательным .

Мы знаем, что вещество состоит из атомов. Атом содержит массивное ядро, состоящее из протонов и незаряженных нейтронов, и электроны, вращающиеся вокруг него и способные покидать атом. Поскольку атомное ядро не может свободно перемещаться внутри твердого вещества, свободным носителем заряда являются покинувшие атом электроны. Электроны также могут под действием сил электрического взаимодействия переходить из одного тела в другое при их контакте.

Поскольку носителем заряда являются частицы, а один из основных принципов физики: «Ничто не исчезает бесследно», то выполняется закон сохранения заряда. В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов неизменна.

Чтобы заряд изменился, должно измениться количество заряженных частиц, в таком случае система не будет изолированной.

Обсудим следующий вопрос: почему атом нейтрален? Рассмотрим любой атом, в котором количество протонов в ядре равно количеству электронов на орбитах. Суммарный заряд ядра равен , суммарный заряд электронов будет равен . Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции, действие нескольких полей в одной точке складывается. На сторонний заряд электроны и протоны атома будут действовать с силами, одинаковыми по модулю (значение зарядов одинаковое, расстояния от протонов и электронов атома до отдаленной от атома точки тоже приблизительно равны), но противоположными по направлению, т.е. силы уравновесятся и действие атома на внешний заряд будет нулевым.

Математически, если вычислить суммарный заряд атома, получим . Это не значит, что в нейтральном атоме нет зарядов, мы только что вычисляли заряд ядра и заряд электронов, это означает нулевое действие на внешний заряд.

Таким образом, если заряд тела равен , это не обязательно значит, что данное тело содержит один электрон. Это значит, что в нем электронов на один больше, чем протонов.

Распределение заряда в металлическом теле

Рассмотрим металлический шар, заряженный, например, отрицательно. Это значит, что шар содержит избыточное количество электронов. В металле электроны могут свободно перемещаться. Пронаблюдаем их поведение. Предположим, что электроны распределены равномерно по объему шара. Т.к. они имеют одинаковый заряд, они будут отталкиваться друг от друга, поэтому распределятся равномерно по поверхности шара (если бы возникало скопление электронов, оно бы исчезало за счет отталкивания).

Заметим, что если форма тела отличается от шара, распределение по поверхности не будет равномерным.

Задача

Пылинка, имеющая положительный заряд , потеряла электрон. Каким стал заряд пылинки?

Решение

Пылинка не является изолированной системой, т.к. она теряла электрон. Изолированной системой является система, состоящая из пылинки и электрона. По закону сохранения заряда заряд системы до потери пылинкой электрона равен заряду после потери. Запишем это: заряд пылинки был . После взаимодействия заряд системы состоит из нового заряда пылинки и заряда электрона и равен заряду системы до потери.

Подведем краткие итоги. Для решения задач по электростатике нужно следующее.

Знать

1) Как проявляет себя заряд.

2) Закон сохранения электрического заряда.

Уметь

1) Определять электрический заряд тела.

2) Выделять изолированную систему, заряд которой сохраняется.

Понимать

Существует два типа зарядов, одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Носителем заряда являются элементарные частицы (электрон и протон). Заряд тела равен сумме зарядов всех частиц, из которых оно состоит. В природе ничто не исчезает бесследно, в том числе электрический заряд.

Закон Кулона

Итак, мы разобрались, как проявляет себя электрический заряд, как заряды взаимодействуют. Но этого недостаточно, нужны количественные показатели и закон, которому подчиняется их взаимодействие (для электрических зарядов это закон Кулона). Когда сила известна, переходим к механике.

Закон Кулона гласит: два неподвижных точечных заряда в вакууме взаимодействуют друг с другом с силой, прямо пропорциональной произведению модулю зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Точечный заряд – это модель, в рамках которой мы пренебрегаем размерами заряженных частиц, считая их малыми по сравнению с расстоянием между ними. Математически это записывается так: . Здесь коэффициент пропорциональности  – диэлектрическая постоянная, равная ).

В случае если заряды находятся не в вакууме, а погружены в диэлектрик, то он уменьшает взаимодействие в

 раз ( – диэлектрическая проницаемость вещества):. Направление силы зависит от типов взаимодействующих зарядов.

Аналогия с гравитацией

Мы уже знакомы с гравитационным взаимодействием. Гравитационное поле имеет природу, отличную от электрического поля, но подчиняется тем же закономерностям. В обоих случаях взаимодействуют два источника поля, сила взаимодействия пропорциональна их величинам (массам или зарядам) и обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Квадрат расстояния появляется в формуле потому, что площадь сферы распространения эффекта увеличивается пропорционально квадрату расстояния до центра сферы.

Мы узнали закон, которому подчиняется электростатическое взаимодействие двух точечных зарядов, а в остальном ничего не изменилось: эта сила также будет вызывать ускорение тел по второму закону Ньютона, также может уравновешиваться другими силами, когда тело пребывает в равновесии, и т.д., с чем мы хорошо знакомы.

Задача

Два одинаковых металлических шарика заряжены положительными зарядами  и . Центры шариков находятся на некотором расстоянии друг от друга. Шарики привели в соприкосновение и поместили в исходное положение. Во сколько раз изменилась сила взаимодействия?

Решение

Заряженные шарики взаимодействуют с силой: . После прикосновения заряды стали равны  (одноименные заряды отталкиваются, поэтому они не будут концентрироваться в одном месте и по двум одинаковым шарикам распределятся поровну).

Распределение заряда при прикосновении шариков

Шарики заряжены одноименно. Рассмотрим, что будет происходить при прикосновении. Свободным носителем заряда является электрон, он может через контакт перемещаться из одного шарика в другой. Рассмотрим его поведение. Шарики заряжены положительно, положительный заряд притягивает электрон, поэтому электрон переместится туда, где положительный заряд будет больше, тем самым частично нейтрализовав его. Так будет продолжаться, пока заряды шариков не станут равны.

Тогда по закону сохранения заряда  а сила взаимодействия стала равна .

Сила увеличится в  раз, значит, . Осталось выразить .

Математическая часть решения задачи

По условию задачи , тогда по закону сохранения заряда .

Сила взаимодействия увеличится в 1,6 раз

Задача

Два заряженных шарика, подвешенных в одной точке на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина равна 2, плотность – .

Решение

Шарики подвешены на нитях, на каждый из них действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила электростатического взаимодействия, как обозначено на рисунке. Шарики пребывают в равновесии: будем применять первый закон Ньютона.

После опускания в керосин уменьшилось электростатическое взаимодействие, добавляется сила Архимеда, поэтому изменится натяжение нити:

При выборе системы координат оси удобно направить вертикально и горизонтально. Учитывая, что масса шариков равна , сила Архимеда равна , а сила электростатического взаимодействия, по закону Кулона, равна  (в вакууме ), запишем наши уравнения в проекциях на оси координат:

.

Мы применили первый закон Ньютона и получили систему уравнений, которую осталось только решить и получить .

Математическая часть решения задачи

Выпишем первое и третье уравнения системы:

. И разделим первое на третье:.

Выпишем второе и четвертое уравнение системы:

. И таким же образом их разделим: .

Если  и , то . Отсюда выразим

Подведем краткие итоги. Для решения задач, подобных рассмотренным, нужно следующее.

Знать

1) Закон Кулона.

2) Закон сохранения электрического заряда.

3) Законы динамики.

Уметь

1) Применять закон Кулона для конкретной задачи.

2) Применять законы динамики.

Понимать

Закон Кулона описывает лишь еще одну силу в дополнение к тем, которые мы знаем и к которым применяем законы динамики.

Напряженность электрического поля. Силовые линии поля

Итак, электрическое поле возникает вокруг электрических зарядов. Нет другого способа его обнаружить и исследовать, кроме как поместить в него пробный электрический заряд и уже делать выводы относительно поля по его воздействию на заряд. Понятно, что при использовании положительного и отрицательного зарядов в качестве пробных результаты будут разными, поле будет действовать на них с противоположными по направлению силами, поэтому во избежание разногласий договорились использовать положительный пробный заряд.

Как можно визуализировать поле? Так же, как мы рисуем ветер: несколько линий со стрелками, которые показывают направление потока воздуха в каждой точке этих линий (по касательной).

Аналогично проиллюстрируем электрическое поле.

Помещая пробный заряд в какую-либо точку, видим, что поле подействует на него с определенной силой. Можно заметить, что эти силы образуют касательные к некоторым линиям, которые называются силовыми линиями поля. Рассмотрим поле, которое создает вокруг себя положительный заряд. Помещая в него пробный положительный заряд, видим, что каждый раз на заряд действует сила, направленная радиально от заряда. Силовые линии будут направлены от заряда.

Поле, созданное отрицательным зарядом, будет действовать на пробный положительный заряд с силой, направленной вдоль радиуса к заряду, силовые линии будут направлены к заряду.

Силовые линии электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах или на бесконечности.

Сила, действующая на заряд в поле другого заряда, пропорциональна величине помещенного в поле заряда. Следовательно, коэффициент пропорциональности не зависит от величины заряда, находящегося в поле другого заряда, и характеризует это поле. Полностью. Так как по нему можно вычислить силу, которая будет действовать на любой другой заряд в этом поле.

Этот коэффициент пропорциональности является удельной силой, действующей на заряд, помещенный в поле . Эта величина называется напряженностью электрического поля и является силовой характеристикой поля. Напряженность – сила, действующая на заряд, отнесенная к величине заряда. Обозначают напряженность буквой . Это векторная величина, направленная в ту сторону, в которую направлена сила, действующая на помещенный в эту точку положительный заряд: . Из этой формулы понятно, что единица измерения напряженности - , также это можно выразить как - ,  о чем мы узнаем немного позже, изучив связь разности потенциалов и напряженности поля.

Еще раз обратим внимание: это не значит, что в точке расположен заряд и на него действует сила. Мы характеризуем данное поле по тому, как оно могло бы воздействовать на заряд, если его поместить в данную точку.

Напряженность поля

Напряженность можно ввести для любого силового поля. Например, для гравитационного поля напряженностью будет удельная сила, действующая на единицу массы, помещенной в поле, т.е. ускорение свободного падения . В гравитационном поле Земли сила, действующая на массу , будет равна

, а в электрическом поле сила, действующая на заряд q, равна Т.к. направление вектора напряженности поля в любой точке совпадает с направлением вектора силы, то вектор  будет также направлен по касательной к силовым линиям, поэтому они представляют собой также линии напряженности электрического поля.

Когда графически показывают поле, то часто иллюстрируют величину напряжённости густотой линий. Хотя, конечно, силовые линии поля по определению проходят в каждой точке поля.

Задача

Найти напряженность электрического поля, создаваемого зарядом , в точке, удаленной на расстоянии

 от центра заряда.

Решение

Электрическое поле характеризуется действием на электрический заряд. Если поместить в данную точку заряд , на него, по закону Кулона, будет действовать сила, модуль которой равен:

. Направлена она будет к источнику поля или от источника поля в зависимости от знака его заряда. Напряженность электрического поля по определению равна .

Получили выражение для напряженности поля точечного заряда. Как видим, она зависит только от величины заряда, который является источником поля, и расстояния до него, и не является характеристикой пробного заряда.

Задача

Найти напряженность электрического поля заряженного металлического шара радиусом  на расстоянии от центра шара.

Решение

Закон Кулона применим для модели точечного заряда, напряженность электрического поля точечного заряда мы нашли в предыдущей задаче ( ), что можем использовать при решении задач. Здесь заряженная сфера, которая имеет свои размеры. Рассмотрим поле на расстоянии  и на расстоянии .

На расстоянии  заряженный шар эквивалентен точечному заряду, находящемуся в центре шара, что можно доказать, но для этого мы пока не владеем достаточным математическим аппаратом. Напряженность поля вне шара равна .

Рассмотрим точки внутри шара: . Внутри металла есть свободные носители заряда, а т.к. одноименные носители заряда отталкиваются, то заряд распределится равномерно по поверхности шара, внутри шара напряженность электрического поля будет равна нулю.

Электростатическая защита (клетка Фарадея)

Клетка Фарадея – это металлический экран, предназначенный для защиты от внешнего электрического поля (и электромагнитного излучения).

При помещении металла во внешнее поле свободные электроны в металле будут двигаться под его действием. Новое распределение зарядов создаст свое поле, которое, сложившись с внешним, уравновесит его (электроны будут двигаться, пока поля не станут равны).

Итак, напряженность электрического поля заряда  равна  и заряд, помещенный в поле, не рассматривается. По определению напряженность электрического поля находится по воздействию поля на заряд  () – в этом случае нас не интересует источник поля.

Подведем краткие итоги. Для решения задач по электростатике нужно следующее.

Знать

1) Закон Кулона.

2) Определение напряженности электрического поля.

Уметь

1) Применять закон Кулона для конкретной задачи.

2) Применять законы динамики.

Понимать

Напряженность электрического поля характеризует само поле и не зависит от помещенного в него заряда. Электрическое поле проявляется в воздействии на заряд.

Решение задач по электростатике

Применим наши знания на практике, решив еще несколько задач.

Задача

В однородное электрическое поле со скоростью  влетает электрон и движется по направлению линий напряжённости поля. Какое расстояние пролетит электрон до полной потери скорости, если модуль напряжённости поля равен ?

Решение

Электрон находится в электрическом поле, которое, по определению, действует на него с силой . Под действием силы он движется с ускорением. Применим второй закон Ньютона: .

Применим законы, описывающие равноускоренное движение электрона. По определению ускорение равно . Путь, который пройдет электрон за время t, равен .

С учетом того, что электрон двигался до полной остановки (), получили систему уравнений с тремя неизвестными ,  и , которую осталось только решить и найти :

.

Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения ускорение , подставим его во второе уравнение:

.

Выразим время  и подставим время и ускорение в третье уравнение:

.

Заряд и масса электрона – известные величины, ,

, вычислим путь:

Задача

С какой скоростью движется электрон вокруг ядра, если ядро содержит один протон, а радиус орбиты равен

?

Решение

Электрон под действием силы электростатического взаимодействия с ядром движется по окружности. Опишем этот процесс математически. По закону Кулона на электрон действует сила:
.

Центростремительное ускорение при движении по круговой орбите равно. Применим второй закон Ньютона: . Получили систему уравнений, которую остается решить и найти скорость:

.

Скорость равна .

Математическая часть решения задачи

Перепишем третье уравнение, подставив силу из первого уравнения и ускорение из второго, учитывая, что по модулю заряды электрона и протона равны:

.

Выразим отсюда скорость:

При решении задач мы пренебрегали гравитационным воздействием. Это не значит, что закон Кулона исключает закон всемирного тяготения – законы работают всегда, но в данном случае гравитационное притяжение пренебрежимо мало по сравнению с электрическим взаимодействием. Вычислим силы электрического и гравитационного взаимодействия протона и электрона из предыдущей задачи.

Как видим, гравитационное взаимодействие несравнимо слабее, чем электрическое, поэтому гравитационным притяжением можно пренебречь.

Подведем краткие итоги. Для решения задач по электростатике нужно следующее.

Знать

1) Закон Кулона.

2) Определение напряженности электрического поля.

Уметь

1) Применять закон Кулона для конкретной задачи.

2) Применять законы динамики.

Понимать

Напряженность электрического поля характеризует само поле и не зависит от помещенного в него заряда. Электрическое поле проявляется в воздействии на заряд.

Принцип суперпозиции

По принципу суперпозиции действие электрических полей нескольких источников в одной точке складывается, что мы видели на примере нейтрального атома. Рассмотрим некоторые другие примеры сложения полей.

Задача

Точечные заряды и (положительный и отрицательный) расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной . Найдите модуль вектора напряженности в третьей вершине, если диэлектрическая проницаемость среды равна .

Решение

На положительный заряд , помещенный в исследуемую точку, будет действовать сила , направленная от заряда  (одноименные заряды отталкиваются), и сила , направленная к заряду  (разноименные заряды притягиваются), как показано на рисунке. Равнодействующая двух сил будет равна их векторной сумме (принцип суперпозиции сил):

.

Разделим обе части на величину пробного заряда.

Напряженность электрического поля, создаваемого несколькими источниками, равна сумме векторов напряженности поля каждого источника.

В исследуемой точке напряженность поля, создаваемого зарядами   и  , соответственно будет равна:

.

Напряженность поля в третьей вершине треугольника равна. Задача свелась к геометрической задаче нахождения суммы векторов: .

Математическая часть решения задачи

Обозначим на рисунке векторы и их сумму. Применим теорему косинусов:

Обратим внимание, как ориентирован вектор напряженности поля. Если найти напряженность электрического поля в нескольких точках вблизи двух зарядов (полезно сделать это самостоятельно), получим картину линий напряженности или силовых линий вокруг пары зарядов.

Задача

Точечный заряд  создает на расстоянии  электрическое поле с напряженностью . Три концентрические сферы радиусами , и  несут равномерно распределенные по их поверхностям заряды , , (см. рис.). Чему равно значение напряженности поля в точке A, отстоящей от центра сфер на расстояние ?

Решение

Напряженность электрического поля в точке будет равна векторной сумме напряженности полей, создаваемых каждым источником. Сфера с зарядом  создает поле напряженностью . Т.к. точка А находится за пределами сферы, то . Напряженность поля сферы с зарядом  направлена к центру и равна .

Сфера с зарядом  не создает поле в точке , т.к. она находится внутри сферы: .

Векторы  и направлены вдоль одной прямой, их противоположные направления учтены в знаках зарядов сфер, поэтому запишем:.

По условию задачи, . Осталось решить систему уравнений:.

Математическая часть решения задачи

Преобразуем первое уравнение:

. Подставим  из второго уравнения:

Подведем краткие итоги. Для решения задач с несколькими источниками поля нужно следующее.

Знать

1) Принцип суперпозиции электрических полей.

2) Закон Кулона.

3) Определение напряженности электрического поля.

Уметь

Складывать векторы.

Понимать

Вектор напряженности поля, созданного несколькими источниками, равен сумме векторов напряженности поля, созданного каждым источником отдельно.

Заключение

На этом уроке мы изучили:

Закон сохранения электрического заряда; Закон Кулона; Напряженность электрического поля; Принцип суперпозиции.

Теперь вы можете приступать к решению задач по электростатике.

На следующем уроке мы обсудим:

Работу электрического поля; Потенциал и напряжение.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Электризация тел при соприкосновении. Взаимодействие заряженных тел. Два рода зарядов (Физика, 8 класс, раздел «Электромагнитные явления»)

2. Электрическое поле (Гребенюк Ю.В.) (Физика, 8 класс, раздел «Электромагнитные явления»)

3. Электрическое поле (Ерюткин Е.С.) (Физика, 8 класс, раздел «Электромагнитные явления»)

4. Делимость электрического заряда. Строение атомов (Физика, 8 класс, раздел «Электромагнитные явления»)

5. Что такое электродинамика. Электрон. Строение атома (Физика, 10 класс)

6. Электризация тел. Два рода зарядов. Закон сохранения электрического заряда (Физика, 10 класс)

7. Электрический заряд. Закон сохранения заряда (Физика, 10 класс)

8. Закон Кулона (Ерюткин Е.С.) (Физика, 10 класс)

9. Закон Кулона (Иванова М.Г.) (Физика, 10 класс)

10. Электрическое поле. Напряженность. Линии напряженности (Физика, 10 класс)

11. Электрическое поле (Физика, 10 класс)

12. Решение задач по теме \"Закон Кулона. Напряженность электрического поля\" (Физика, 10 класс)