49. Сила Архимеда. Элементы механики жидкостей и газов (основной урок)

Силы, приложенные к произвольному объёму внутри жидкости. Закон Архимеда

Кусочек дерева всплывает, кусок пенопласта плавает, камешек того же размера тонет.

Можно сказать: «Это очевидно: ведь камень тяжелее дерева и воды, а дерево легче воды».

Но так бы сказали и до Архимеда.

Научный же ответ точен и позволяет решить однозначно, будет ли тело плавать и как именно. Достаточно знать лишь соотношение плотностей веществ тела и жидкости.

Можно задать вопрос иначе: почему та же сила, что заставляет всплывать дерево, недостаточна для камня? И почему способность всплывать или тонуть не зависит от размеров предметов?

Понятно, что в обоих случаях действует сила тяжести, пропорциональная объёму тела, а препятствует ей выталкивающая сила, которая также пропорциональна объёму тела.

Каждый, кто играл на воде в мяч и пробовал его погрузить, очень хорошо проверил это на практике.

Пример

Найти равнодействующую всех сил, приложенных к поверхности любого объёма жидкости внутри сосуда с этой жидкостью. Сосуд находится в покое.

Анализ условия

Внутри  контейнера с жидкостью выделим произвольный объем.

Этот объем покоится. Следовательно, по первому закону Ньютона, сумма всех действующих на него сил равна нулю.

Решение

На выделенный объем действует сила тяжести и равнодействующая всех сил давления, приложенных к нему со стороны остальной жидкости.

Общая сумма сил равна нулю , следовательно, равнодействующая сил давления равна силе тяжести с обратным знаком – силы направлены противоположно, то есть равнодействующая сил давления направлена вверх:

.

Сила тяжести выделенной части равна , а масса – произведению плотности вещества на объём выделенной части .

Найденная сила давления действует на данную область объемом , и если в данном объеме будет находиться погруженное в жидкость тело, на него будет действовать та же сила.

Мы получили закон Архимеда: на тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (или газа).

(Архимеду, конечно, было сложнее – он жил много раньше и не знал точной формулировки первого закона Ньютона, которую мы использовали).

Теперь понятно, что нужно для определения того, будет тело тонуть или плавать.

При большей плотности тела его вес окажется больше веса вытесненной жидкости - и равнодействующая сил будет направлена вниз: тело утонет. В обратном случае (плотность жидкости превышает плотность тела) тело всплывёт.

Очевидно, что свойство плавания зависит только от соотношения плотностей и не зависит от объёма, потому что обе описанные силы (погружающая – тяжести и выталкивающая – Архимеда) пропорциональны этому объёму.

Пример

С помощью динамометра и стакана воды нужно определить плотность вещества сплошного шарика. Опыт показан на рисунке. Какова плотность шарика?

Решение

Обозначим на рисунке силы, действующие на шарик. В первом случае это сила тяжести и сила упругости пружины  по показаниям динамометра. Во втором случае это сила тяжести, сила упругости пружины  и сила Архимеда.

Силы действуют по вертикали, поэтому направим координатную ось вертикально, например, вверх. В обоих случаях шарик покоится, значит, по первому закону Ньютона, равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю. Запишем в проекции на ось :

С учетом того, что сила Архимеда равна , а масса шарика, из определения плотности, равна , запишем систему уравнений, решив которую найдем : 

Свертка. Математическая часть решения задачи

Отнимем второе уравнение от первого:

Выразим :

Подставим в первое уравнение и найдем плотность шарика:

2. Задача про айсберг

Пример

Какая часть объема неподвижного айсберга находится над поверхностью воды?

Анализ условия

Раз речь идёт о неподвижном теле, то нужно вспомнить о первом законе Ньютона.

На айсберг действует сила тяжести (, массу выражаем через плотность льда и объём тела, получаем ).

Раз он неподвижен, то есть в равновесии, то силу тяжести компенсирует выталкивающая сила.

Решение

Пусть доля, находящаяся в воде, равна .

Тогда выталкивающая сила равна  ( – плотность воды), и она, по первому закону Ньютона, для покоящегося тела должна уравновешивать силу тяжести. То есть , .

Замечание

В задаче могло быть рассмотрено любое тело плотностью , которое, подобно льду, держится на поверхности воды. То есть мы получили результат в общем виде: при  доля тела, находящаяся под водой, меньше 1 – тело всплывает.

Также не важна однородность тела, его плотность может быть неодинаковой (часть тяжелее, часть легче) – берётся среднее её значение. Тело должно быть в целом легче воды.

Ветка. Сила Архимеда, действующая на неоднородное тело

Например, пусть тело объемом состоит из двух частей плотности  и  и объемов  и  соответственно.

Тогда общая масса тела будет равна .

Средняя плотность тела равна по определению плотности 

.

Так вот для плавучести нужно, чтобы .

Например, система поплавок и грузило, рассматриваемые как единое тело, при правильном их подборе будет плавать – то есть их усредненная плотность окажется меньше плотности воды. Но если грузило будет очень большим, то плотность этого тела увеличится и тело потонет – поплавок скроется под водой

Пример

Как нужно нагружать судно, чтобы оно не перевернулось?

Анализ условия

Судно плавает, потому что его вес, а точнее, вес его обшивки меньше веса вытесненной воды.

Судно внутри заполнено воздухом и грузом. Ясно, что если полностью нагрузить судно чем-то тяжелее воды, то судно утонет (как тот камень, с которого мы начали урок).

Если нагрузить неправильно – так, что нижняя часть будет легче верхней, то наше судно будет похоже на систему поплавок-грузило.

С понятным исходом грузило будет внизу.

Решение

а) Часть судна должна быть пустой. Какая именно часть, легко вычислить, пользуясь задачей про айсберг.

б) Для того чтобы судно не перевернулось кверху дном, необходимо, чтобы момент сил, создаваемый силой тяжести и выталкивающей силой, был направлен правильно. Равновесие судна должно быть устойчивым. С видами равновесия мы познакомились на предыдущем уроке.

Сила Архимеда приложена к центру давления (центру тяжести судна, определенному для корабля, заполненного однородным веществом).

А сила тяжести приложена к центру тяжести корабля с реальной нагрузкой.

Для устойчивости корабля нужно, чтобы центр нагруженного корабля располагался ниже центра давления. При качке эти две силы будут создавать возвращающий момент.

Таким же образом ориентированы силы при падении капли (сила сопротивления воздуха приложена к точке выше точки приложения  силы тяжести), при полете самолета (сила тяги приложена впереди точки приложения силы сопротивления воздуха).

Закон Паскаля

Любой объем жидкости находится под неким давлением: давление жидкости на некоторой глубине, давление атмосферы на поверхность жидкости, силы поверхностного натяжения, действующие в капле воды.

Пример

Пусть поршень создает давление на поверхность жидкости. Как это давление передается внутрь жидкости?

Анализ условия

Нам нужно определить давление на какой-либо глубине жидкости.

Тело покоится. Значит, первое, что нужно использовать, – первый закон Ньютона.

Решение

Выделим некий тонкий столб (цилиндр) жидкости, идущий от поверхности внутрь, и рассмотрим условие его равновесия.

По определению, давление – это сила, распределенная по поверхности, находящейся под давлением, т.е. это удельная сила на единицу площади: .

Выделим столб жидкости малого объема, чтобы силой тяжести можно было пренебречь. На поверхности на столб жидкости действует сила . Для равновесия нужно, чтобы на другой торец действовала такая же сила. Но площади торцов равны – следовательно, и давления равны. Столб был выбран произвольно. То есть мы вывели закон Паскаля: действие сил, приложенных к поверхности жидкости, создает давление, одинаковое для всех точек внутри жидкости.

Чем же велик Паскаль, если его закон так просто выводится в школьном курсе?

Помимо большого вклада в различных областях физики и математики, а также философии и литературы, он открыл закон о давлении в жидкостях и газах.

Да, мы его легко вывели, используя первый закон Ньютона. Но Паскаль родился (1623) почти за 20 лет до рождения Ньютона (1642) и прожил всего 39 лет. Поэтому он выводил свой закон, не зная законов Ньютона, упростивших решение нам.

Попробуем приложить закон к повседневной жизни. Где мы сталкиваемся с большими количествами воды? Например, в море и океане. Из вышесказанного следует, что давление для всех точек океана одинаково.

Кажется, что-то не так. Ведь ясно, что на глубине океана давление сильнее, чем вблизи поверхности. Получается, закон Паскаля в океане не действует и нужно учитывать что-то ещё? Нет. Закон Паскаля общий и описывает и нашу ситуацию в море/океане. Давление, приложенное к поверхности жидкости, действительно передается внутрь жидкости и создает одинаковое давление во всех точках жидкости, даже на дне. Но на дне к давлению, приложенному к поверхности, прибавляется давление, создаваемое самой водой, находящейся выше данного уровня. Чем больше глубина, тем больше этой находящейся выше воды и тем больше давление.

Проверим это. Рассмотрим некий объем жидкости внутри океана. Возьмём поверхность этого объема.

На нее действует сумма давлений:

1) давления с поверхности океана, которое по закону Паскаля предается во все точки жидкости,

2) давления на поверхность выделенного объема, создаваемого весом жидкости над этой выделенной нами поверхностью.

Так что давление внутри океана неравномерно: увеличивается с ростом глубины. Да, по закону Паскаля, давление передается во все точки, но при этом оно складывается с дополнительным давлением, создаваемым столбом жидкости на данной глубине.

Найдем это давление. Давление на участок дна площадью , по определению, равно . На участок действует вес столба воды, равный  (нет ускорения). Массу представим из определения плотности как :

.

Объем столба воды равен площади основания столба (участка дна) на высоту столба, тогда . Действительно, давление столба воды пропорционально глубине.

Гидравлический пресс

Закон Паскаля позволяет сконструировать некий рычаг, широко используемый в технике, – гидравлический пресс.

Давление под первым поршнем равно , а под вторым . По закону Паскаля, давление одинаково передаётся по всему объёму. Давления столба жидкости непосредственно под поршнем нет (глубина нулевая), значит, . По определению давления, получаем равенство:  .

Получаем, что силы, действующие на поршни, пропорциональны их площадям: . То есть гидравлический пресс дает во столько раз выигрыш в силе, во сколько раз отличаются площади поршней.

Здесь тоже работает золотое правило механики: выигрывая в одном показателе, проигрываем в другом. Жидкость, используемая в прессе, не сжимается, ее объем остается постоянным. Значит, сколько жидкости перетекло под поршень площадью  (объем равен ), столько жидкости утекло из-под поршня площадью  (объем равен ). , и т.к. , то . Выигрыш в силе получаем за счет проигрыша в перемещении.

U-образная трубка

Пример

В U-образную трубке с жидкостью плотностью  с одной стороны подается давление , с другой – . Какой будет разница уровней в трубках?

Анализ условия

Жидкость покоится, следовательно, снова можно применить первый закон Ньютона. Вопрос: к какой части жидкости? Можно к любой, но нужно выбрать удобную.

Решение

Обозначим высоту столба в трубке слева  , а справа . Возьмем объем жидкости в виде цилиндра с площадью торца  в месте изгиба.

Рассмотрим его равновесие. Слева действует давление  и давление столба жидкости, то есть суммарная сила равна . Справа . Приравниваем эти две силы и получаем . Мы получили формулу для измерения давления при помощи U-образной трубки. Её и можно использовать в качестве манометра.

Пример

В U-образную трубку налили две жидкости с разными плотностями и . Как будут относиться их высоты в трубке?

Анализ условия

Тела в покое – опять работает первый закон Ньютона.

Решение

Посмотрим на уровень раздела жидкостей (обозначен пунктиром). Давление там одинаково (иначе жидкости пришли бы в движение).

Значит:

Ветка. Произвольный выбор уровня

При решении задачи мы говорили, что на одном уровне внутри жидкости давление одинаково. Этот уровень мы выбираем произвольно, как нам удобно при решении задачи. Например, возьмем за нулевой уровень нижнюю точку трубки, как показано на рисунке.

Тогда давление, создаваемое на этом уровне столбом жидкости справа равно , а слева давление равно сумме давлений, создаваемых столбом каждой жидкости: . Приравняем давления:

Получили тот же результат, но считать было не так удобно

Подведем краткие итоги. Для решения рассмотренных заданий необходимо следующее.

Знать

1) Законы Архимеда и Паскаля.

2) Первый закон Ньютона: в состоянии покоя сумма сил, действующих на тело, равна 0.

Уметь

Применять законы, учитывая все силы, влияющие на результат.

Понимать

В законе Паскаля речь идет об одинаковости давления вдоль одного слоя жидкости/газа. В законе Архимеда важно только соотношение плотностей.

Заключение

На этом уроке мы поговорили:

• о законах Архимеда и Паскаля,

• о том, что происходит с давлением в жидкостях и газах,

• на чем основано действие манометров и гидростатических прессов.

На следующем уроке мы обсудим:

• закон сохранения импульса,

• виды столкновений.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1.  Урок «Давление» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

2. Урок «Решение задач на расчёт давления» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

3. Урок «Закон Паскаля» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

4. Урок «Давление в жидкости и газе» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

5. Урок «Расчёт давления жидкости на дно и стенки сосуда» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

6. Урок «Сообщающиеся сосуды» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

7. Урок «Гидравлический пресс» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)    

8. Урок «Действие жидкости и газа на погруженное тело» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

9. Урок «Архимедова сила» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

10. Урок «Решение задач на расчёт выталкивающей силы» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

11. Урок «Плавание тел» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

12. Урок «Плавание судов» (физика, 7 класс, раздел «Давление твёрдых тел, жидкостей и газов»)

13. Урок «Закон Архимеда для покоящихся тел» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Системы тел»)

14. Урок «Давление в жидкости. Закон Паскаля. Зависимость давления в жидкости от глубины» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Системы тел»)