60. Введение. Основы кинематики. Равномерное прямолинейное движение (основной урок)

Положение тел в пространстве

Мы начинаем изучать кинематику – раздел физики, изучающий движение тел. Движение сопровождает всю нашу жизнь, не зря говорят, что сама жизнь есть движение.

Что такое движение? Мы говорим, что тело движется из одного места в другое, меняет своё положение, поэтому перед тем как описать движение, давайте изучим определение положения тела.

Если у нас спросят, где находится какой-либо объект, мы неизбежно будем описывать место, привязываясь к другим объектам: по улице 300 метров от поворота, напротив кафе, 40 км на юг от Москвы. Даже указывая направление на юг, мы всё равно привязываемся к определённому направлению, связанному со стрелкой компаса или солнцем в зените. Поэтому не будем делать ничего нового: так же выберем тело отсчёта и определим положение относительно него, т. е. координаты.

Координаты – это способ точного указания места, адрес этого места. Этот адрес должен не только идентифицировать место, но и помогать его найти, указывать на его положение в УПОРЯДОЧЕННОМ РЯДУ подобных точек (термин «координата» происходит от слова ordinare, которое означает «упорядочивать», с приставкой со-, которая означает «вместе, совместно, согласованно»).

Ветка. Свойства числа

Число обладает следующими свойствами:

• Упорядоченность. Производится сравнение и оценка – нам понятно, что, например, 20 меньше 25, а 23 находится между ними.

• Номинальное свойство. Число является источником имён. Например, номер телефона не содержит никакого упорядочивания, мы не можем их сравнивать, но он чётко идентифицирует абонента, как и номер автомобиля.

Координата объединяет оба свойства числа: с одной стороны, это идентификатор, а с другой – указатель места этой координаты в ряду ей подобных.

Например, координатой дома на улице является его номер, который отсчитывается с того края улицы, который принят за начало. Номер дома не только указывает на то, о каком именно доме идет речь (о том самом, например, пятиэтажном, с парикмахерской на первом этаже), но и подсказывает, где его можно найти: если мы прошли мимо домов № 8 и № 10, то дом № 16 должен быть где-то впереди.

 Тогда как название улицы зачастую только идентифицирует её (слышим об улице Пушкинской и понимаем, что это за улица, есть Имя), но не содержит в себе информации и её положении среди других улиц (нет Упорядоченности).

В кинотеатре номер ряда и номер места являются координатами кресла: мы знаем, где начало координат (обычно слева у экрана), потому если видим пятый ряд, то знаем, где искать большие номера рядов. То же с местами: если ищем место № 13, идем сразу в конец ряда, и увидев место № 11, понимаем, что мы близко. Номер не только Имя (надпись на кресле), но и ориентир в поиске (Упорядоченность).

Все, кто играл в морской бой, знают, что положение клетки можно однозначно задать парой параметров: в данном случае буквой, указывающей столбец, и числом, указывающим строку, а отсчитываются столбцы и строки от левого верхнего угла поля.

Можно определить положение, определив направление и расстояние, например, в 50 километрах от города на северо-восток.

Ветка. Примеры систем координат

В любом случае, когда мы задаем положение чего-либо, мы в том или ином виде пользуемся его координатами. Например:

— На фото пишут: «в первом ряду второй слева Иванов». Координатами являются ряд и место в нём.

— На билетах пишут номер ряда и номер места: координаты – ряды и места.

— Улица, номер дома: координаты – улица и номера.

— «Выйдешь из метро такого-то, повернёшь налево и пройдёшь 100 метров».

— Положение тела на поверхности земли можно задать по-разному: 30 километров на север от Москвы, 40 километров на восток.

В данном случае координатами является пара чисел: расстояние на восток / запад и север / юг.

— 50 км на северо-восток: здесь координаты – угол направления относительно оси восток / запад + длина радиуса-вектора.

Пример

Определить координаты города, изображённого на рисунке.

Решение

Мы уже обсудили, что однозначно определить положение точки можно, только приняв систему координат. Давайте посмотрим, какую систему мы можем принять. Можем сказать, что городнаходится в 30 км от городапо трассе в северо-восточном направлении. Фактически мы использовали координатную ось, направленную вдоль трассы, с началом отсчёта в городе, и координата городабудет равна.

Эта дорога является трассой, начинающейся в городе, со своим номером и с пронумерованными километрами, значит, можем воспользоваться этой системой: координатная ось такая же, как в первом решении, но с началом отсчёта в городе, координата городаравна

Можно сказать, что городнаходится от городав 30 км на северо-восток, и даже указать угол, который это направление образует с опорным направлением, к примеру, запад-восток. Это будет полярная система координат, в которой координатами будут соответственно расстояние от городаи угол, обозначающий направление. В нашем случае –

Можно сказать, что городнаходится приблизительно на 25 км восточнее и на 15 км севернее города– прямоугольная система координат с началом в городеи осями, направленными, как показано на рисунке, и наши значения 25 км и 15 км будут координатами городав этой системе.

 Если поменяем направление осей, в новой системе координаты примут вид – расстояния от города25 км и 15 км вдоль осей останутся теми же, но теперь они откладываются в направлениях, противоположных направлениям осей.

Если над городомбудут находиться в воздухе 2 вертолёта на высоте, например, 1 км и 0,5 км, то появится третья координата – высота. Если добавим третью ось, направленную вертикально вверх, то координаты вертолётов будут соответственно и .

Заметим, что положение можно обозначить разными способами, из которых мы использовали только некоторые. Каждый способ правильно задал положение города, но какой тогда выбрать? Водитель предпочтёт пользоваться обозначением километров трассы; работник радиостанции выберет полярные координаты (его интересует направление, в котором посылается сигнал, и расстояние до приёмника, которое проходит волна); прямоугольные координаты удобнее при использовании векторов (их можно разложить на проекции) и т. д. Мы выбираем, какой системой координат нам удобнее пользоваться при решении конкретной задачи. Мы чаще всего будем использовать прямоугольную систему координат.

Пример

Что является координатами в ориентировке на клад «от старого дуба на закат 200 м на глубине 2 м»?

Решение

В положении клада отправной точкой служит дуб, поэтому примем его за точку отсчёта. Положение клада задаётся набором параметров. Выделим эти параметры: нам нужно знать, сколько идти к кладу от дуба (200 м), как глубоко копать (2 м). Но нам также нужно знать, в какую сторону идти от дуба 200 м, что в ориентировке задано как «на закат». Вот три координаты: направление, расстояние и глубина.

Ветка. Выбор системы координат для клада

Можно воспользоваться полярными координатами, приняв направление на запад нулевым. Тогда, с учётом глубины (направим ось, по которой будет откладываться глубина, например, вниз), координаты клада будут равны .

Можем воспользоваться прямоугольными координатами. Если направим одну координатную ось на запад, а вторую – вертикально вниз, то координаты клада будут равны , а информация о направлении уже содержится в принятом направлении оси.

Рассмотрим ещё один пример использования системы координат. Корабли плавают по поверхности воды, т.е. в двумерном пространстве. Поскольку они ориентируются по маяку, его удобно принять за тело отсчёта (начало двумерной системы координат), а координатные оси выбрать в направлениях запад-восток (ось) и юг-север (ось).

Пример

На рисунке указаны положения кораблей.

Положение каждого корабля определяется парой чисел (координат) в выбранной системе отсчёта. Найти расстояния между кораблями и от кораблей до маяка.

Решение

При использовании прямоугольной системы координат можно выделять прямоугольные треугольники и пользоваться этим для вычисления расстояний, используя теорему Пифагора. Рассмотрим, например, расстояние от маяка до корабля. Можем рассматривать прямоугольный треугольник, в котором катетыиравны соответственно координатам точкипо осями, а гипотенузаравна расстоянию от точкидо начала координат.

По теореме Пифагора, расстояние от маяка до корабляравно: . Аналогично найдём остальные расстояния.

Расстояния междуи,иравны 1 км, междуи– км.

От маяка корабли находятся на расстояниях:– км,– км,– км.

Ветка. Переход к полярной системе координат

Поскольку положение одной и той же точки можно задать множеством способов (в разных системах координат), то можно положение, заданное в одной системе, представить в другой. Переведём координаты корабляв полярные координаты. Примем начало полярных координат в точкепрямоугольных координат, а нулевое направление – в направлении оси. В полярной системе координатами является направление (угол между направлением к точке и нулевым направлением) и расстояние до точки, поэтому будем искать эти показатели. Расстояние до точки мы уже нашли при решении задачи (км). Угол также найдём из прямоугольного треугольника при заданных катетах, которые являются прямоугольными координатами точки.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике длины катетов и величину острого угла связывают тригонометрические функции тангенс и котангенс. В нашем треугольнике ; . В итоге получаем координаты корабля в полярной системе координат: (;).

Можно задавать положение тела точкой, как мы делали до этого, а есть еще одна форма для обозначения положения тела (корабля, самолёта или поезда) в пространстве, которой мы будем пользоваться, – радиус-вектор , который направлен из начала координат в ту точку пространства , где находится тело.

Такое обозначение также указывает на точку в пространстве, где находится тело, но по сравнению с представлением положения как точки, при работе с радиус-вектором удобнее выражать изменение положения.

Для определения положения тела необходимо:

Знать

1. Виды систем координат.

Уметь

1. Выбирать оптимальную для данной задачи систему координат.

Понимать

1. Положение объекта определяется только относительно другого объекта.

2. Выбор системы координат произволен, способ определения положения выбирается оптимальный для удобства решения задачи.

Изменение положения

Все в мире движется и движется по-разному: птица летит, поезд едет, облака плывут. Эти движения могут быстрыми или медленными, направленными на север или юг, вверх или вниз и т. п. Механика изучает законы движений, поэтому в ней важно уметь описывать все существующие формы движения. Но прежде чем начать изучение отдельных видов движения, выясним, что такое механическое движение, вообще.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве с течением времени.

Итак, если тело движется, то его положение меняется. Задавать положение мы умеем, теперь научимся определять изменение положения.

Пример

Корабль, находившийся в начальный момент t0 = 0 в точке с координатами (2; 2), за время t переместился в точку с координатами (2; 3). Найти изменение положения корабля.

Решение

Само определение «изменение положения» подразумевает разницу между начальным и конечным положением. Для определения этой разницы удобно использовать радиус-вектор: векторы можно вычесть и получить разность.

С помощью радиус-векторов это перемещение обозначается: .

Для нашего случая . Полученный вектор, как видим, показывает расстояние, на которое переместился корабль, и направление, в котором он переместился.

При рассмотрении движения нас интересует также то, как быстро тело перемещается. Переместиться в одно и то же место можно пешком за час, на велосипеде за полчаса, а на автомобиле – за 10 минут. Чем отличается движение пешком, на велосипеде или на автомобиле? Ответ очевиден: скоростью. Этой величиной мы будем пользоваться при изучении движения. Скорость перемещения – это расстояние между старым и новым местом (перемещение), делённое на время, затраченное на перемещение, т. е. . Скорость – это вектор, направленный так же, как перемещение . Длина или модуль этого вектора – это величина скорости .

Пример

Теплоход плыл к острову от пристанипо прямой полчаса. Найти его скорость. Расстояние от берега до острова , расстояние от пристани до точки(напротив острова) –.

Решение

В задаче имеем корабль, который меняет своё положение за полчаса, как показано на рисунке.

Чтобы найти его скорость как изменение положения с течением времени, нужно сначала найти изменение положения. На рисунке обозначим вектор :

Его величину можно найти по теореме Пифагора . Величина скорости равна: .

Поскольку вектор скорости определяется помимо величины ещё и направлением, определим и его, например, углом между вектором скорости (или перемещения) и линией берега: .

Для решения задач рассмотренного типа необходимо:

Знать

1. Определение скорости как изменения положения за интервал времени.

Уметь

1. Определять изменение положения тела.

2. Рассматривать перемещение и скорость в проекциях на оси координат.

Понимать

1. Скорость является вектором, имеющим величину и направление, совпадающее с направлением перемещения.

Траектория, путь, перемещение

Траектория, путь, перемещение – со всеми тремя понятиями мы знакомы: они связаны с передвижением, но в них есть отличия: например, можно проделать путь, но не совершить перемещение. Сегодня мы разберёмся, в чём разница между этими понятиями.

Перемещение мы уже рассматривали – это вектор, направленный из точки начального положения тела в точку конечного положения, . Вектор перемещения показывает, где тело находилось и где оказалось. Но в одно и то же место можно попасть разными способами: к школе можно идти по улицам, можно по короткому пути – свернуть во дворы, а можно ещё зайти в магазин и опоздать на урок.

Мы использовали выражение «по короткому пути» – вот чем отличается путь от перемещения. Величина перемещения показывает расстояние от начальной точки до конечной, а путь рассматривает длину линии, вдоль которой движется тело. Эта линия называется траекторией. Чтобы понять, что такое траектория, вспомните след на снегу, который оставляет за собой автомобиль, или белый след от самолёта на небе.

Мы можем получить даже нулевое перемещение, проделав путь, отличный от нуля. Как? Сделайте два шага вперед, а теперь вернитесь в исходное положение. Какой путь вы проделали, сколько шагов прошли? – Четыре. А на сколько вы переместились? – Ни на сколько, в какой точке стояли, в такой стоите и сейчас, значит, перемещение равно нулю. Такое перемещение мы совершаем каждый день, выходя утром из дома, проделывая путь в несколько километров и возвращаясь вечером в ту же точку, домой.

Траектория самолёта при его манёвре из точкив точкуобозначена зелёной линией.

Модуль перемещения при маневре самолета не может превосходить длину его траектории(т.е. путь). Путь самолёта равен модулю перемещения, если самолёт не маневрирует, а движется прямолинейно 

Ветка. Зависимость работы от пути и перемещения

Различие между путём и перемещением нужно учитывать при определении работы силы.

При определении работы, совершаемой силой, различают консервативные и неконсервативные силы. Консервативные силы – это силы, работа которых не зависит от траектории и определяется перемещением. Такими силами являются, например, сила тяжести, сила кулоновского взаимодействия.

Неконсервативные силы – это силы, работа которых определяется путём, т. е. зависит от траектории. Сила трения является неконсервативной силой.

Для 100 м перемещение и путь одинаковы (обратите на это внимание!), для 400 м перемещение 0, а путь наибольший (полный круг).

Пример

Определите путь и модуль перемещения конца минутной стрелки заданной длины за полчаса и за час.

Решение

Рассмотрим сначала получасовой промежуток. За это время минутная стрелка сделает половину оборота, при этом её конец опишет половину окружности – это будет траектория.

Путь – это длина траектории, поэтому в нашем случае путь будет равен половине длины окружности, радиус которой равен длине стрелки: . Модуль перемещения равен расстоянию между начальным и конечным положением точки. Т. к. эти положения находятся на диаметрально противоположных сторонах окружности, то перемещение равно 2R.

За час стрелка сделает один полный оборот, при этом траектория конца стрелки будет окружностью.

Путь будет равен длине окружности . При этом начальная и конечная точки будут совпадать, значит перемещение будет равно нулю.

Для решения задач рассмотренного типа необходимо:

Знать

1. Понятия траектории, пути, перемещения.

Уметь

1. Отличать пройденный путь от перемещения.

Понимать

1. Перемещение учитывает только результат движения – из какой точки в какую переместилось тело, а путь учитывает и процесс – траекторию движения. При движении вдоль прямой путь и перемещение совпадают.

Равномерное перемещение

Обратим внимание, что в рассмотренных нами задачах нас интересовало движение тела как единого объекта без рассмотрения его размеров. Мы не учитывали, что корабль имеет размеры, и если его длина 50 метров, то положение его носа будет отличаться от положения кормы на 50 метров. Мы же рассматривали какое-то усреднённое положение корабля, т. е. использовали идеальную модель реального тела – материальную точку (не учитываем размеры тела). Например, описывая движение мяча, мы можем показать пальцем, где находился мяч, фактически указывая на точку. Но описывая ворот колодца, нам недостаточно указать точкой его расположение, нас интересует, как была ориентирована ручка, какой был диаметр барабана, в этом случае модель материальной точки не работает (размерами, формой тела и движением его частей друг относительно друга пренебречь не можем). Показывая, как умелый баскетболист вращает мяч на пальце, тоже недостаточно просто показать, где находится мяч, нас интересует, как он ориентирован, в какую сторону вращается. Таким образом, в зависимости от рассматриваемой задачи применятся одна из двух моделей: тело и материальная точка.

Ветка. Модель

Когда мы говорим слово «модель» в физике, чаще всего имеем в виду уменьшенную копию чего-нибудь, какой-либо образ предмета, его описание, словесное или математическое. Такая копия не является самим «оригиналом», но даёт о нём упрощённое представление. Степень упрощения может быть разной в зависимости от того, какой информации нам достаточно. Возьмём модель автомобиля. Некоторые коллекционируют модели, которые выглядят, как настоящие, т. е. дают представление о внешнем виде автомобиля. При этом такая модель не покажет устройство двигателя, но для нашей цели достаточно внешнего вида. Если вы рассказываете другу, как вас обгонял другой автомобиль, вам не обязательно иметь коллекционные модели этих авто, вам не важен внешний вид, вам важно движение. Вам достаточно взять два прямоугольных предмета, например, мобильных телефона и сымитировать на столе обгон. Модель – это упрощённое представление о чём-нибудь, что нам необходимо изучить или описать с заданной точностью.

Когда мы просим гостей принести яблок, то не говорим, какого диаметра или оттенка яблоки нам нужны. Если просим принести яблок, только выбрать потвёрже и посочнее, это другая, более точная модель яблока.

Модели окружают нас всюду: выбирая точность добычи или передачи информации, мы уже моделируем реальность.

В механике физической моделью движущегося тела может быть материальная точка, размерами которой в данной задаче можно пренебречь, или тело, имеющее форму и размеры, если они для нас в данной задаче важны. Модели движения, которые будем использовать, – это равномерное движение по прямой, равноускоренное движение по прямой и равномерное движение по окружности. Кто пытался проехать на велосипеде по узкой прямой тропинке или перекладине, тот знает, как трудно придерживаться идеально прямой траектории, но, пренебрегая подобными неточностями, мы можем свести движение к одной из изучаемых моделей.

Тело может перемещаться по-разному.

В механике по большей части рассматривают два типа движения:

1) с постоянной скоростью,

2) с постоянным ускорением – так двигается тело, если на него действует постоянная сила.

Мы рассматриваем движение с постоянной скоростью – равномерное прямолинейное движение.

Равномерное прямолинейное движение – это такое движение, при котором перемещения тела за любые равные промежутки времени одинаковы.

Такой вид нарастания суммарного перемещения (тело перемещается на одинаковое расстояние за одинаковые промежутки времени) соответствует линейной зависимости перемещения от времени.

Мы помним: линейная функция – это зависимость вида . В нашем случае (в начальный момент времени перемещение равно нулю). Получим: путь (или перемещение, при равномерном прямолинейном движении они равны) равен скорости, умноженной на время, затраченное на путь:.

Ветка. Линейные функции

Линейные функции вида описывают процессы, при которых одна величина при равномерном изменении второй величины также изменяется равномерно (т. е. на равные величины).

Есть много примеров изменений с постоянной скоростью – рост каждый год увеличивается на какое-то количество сантиметров.

Расход бензина на 100 км: бензин уменьшается линейно с путём, каждые 100 км количество бензина уменьшается на определённое количество литров.

Масса корзины с грибами увеличивается на одну и ту же величину с каждым положенным туда грибом (если грибы одинаковые).

Все эти примеры показывают, как при изменении величины х изменяется величина y, и множитель а показывает скорость изменения.

Пример

Мотоциклист выехал из пунктасо скоростью 50 км/ч. Навстречу ему из пунктавыехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Расстояниеравно 30 км. Через сколько они встретятся?

Решение

Задача на движение тел, значит, нужно выбрать, какую модель движения использовать. В задаче явно не сказано, что их маршрут был сложной формы. Наверняка между пунктами ровная дорога, поэтому будем считать движение прямолинейным и равномерным с заданными скоростями.

Т. к. мотоциклист и велосипедист едут навстречу друг другу, их скорости сложатся, они будут приближаться друг к другу со скоростью 60 км/ч. Вместе они проделают путь 30 км. Можем применить формулу для пути при равномерном прямолинейном движении и получить оттуда время: .

Ветка. Примеры задач

Давайте разберёмся в процессах, рассмотренных в задаче, и пронаблюдаем их связь с другими подобными явлениями.

В задаче есть определённое расстояние, которое нужно пройти, и два транспортных средства, которые вместе проходят это расстояние, каждое со своей скоростью, но вместе – с суммарной скоростью, скорости складываются. ВРЕМЯ равно пути, который НУЖНО ПРОЙТИ, деленному на СУММУ СКОРОСТЕЙ, с которыми этот путь проходит каждое тело.

Этот подход УНИВЕРСАЛЕН для всех задач, в которых есть линейно возрастающая ВЕЛИЧИНА и несколько объектов, СОВМЕСТНО УВЕЛИЧИВАЮЩИХ эту величину каждый со своей СКОРОСТЬЮ УВЕЛИЧЕНИЯ величины.

Например, есть какое-то количество деталей (ВЕЛИЧИНА), которые изготавливают двое рабочих (два объекта). По отдельности рабочие изготовили бы эти детали за время и соответственно, т. е. со СКОРОСТЯМИ и дет./с. Тогда ВМЕСТЕ рабочие изготовят деталей за время, равное ВЕЛИЧИНЕ, деленной на СУММАРНУЮ СКОРОСТЬ: .

Есть стог сена массой m, который вместе едят корова и овца. Корова за какое-то время t съедает кг, а овца за то же времякг (т. е. скорости поедания равны соответственно и ). Тогда вместе они съедят стог за время, равное массе стога, деленной на суммарную скорость его поедания:.

Тот же подход используем в задаче о бассейне, который наполняется через две трубы, о яме, которую копают два экскаватора и т. д.

В этой задаче мы складывали скорости. Здесь сложение было очевидным, но что делать в более сложных случаях? Например, стол несут по коридору, а в это время по столу бежит таракан под углом к направлению движения стола. Мы можем обозначить суммарное перемещение таракана как сумму вектора его перемещения по столу и вектора перемещения стола. Соответственно и суммарный вектор скорости будет равен сумме вектора скорости таракана относительно стола и вектора скорости стола относительно коридора.

Пример

Координаты корабля были (20; 40), через час стали (50; 30). Какова скорость перемещения в направлении осейи? Какова общая скорость?

Решение

Задача на движение. Чтобы найти скорость, нужно определить изменение положения тела. Нам уже заданы координаты начального и конечного положения корабля, так что можем найти перемещение.

Координата корабля по осиизменилась с 20 на 50, значит, её изменение равно . Скорость перемещения в направлении осиравна .

Аналогично изменение координатыравно . Скорость перемещения в направлении осиравна . Знак минус показывает лишь то, что координата уменьшается и скорость направлена в сторону, противоположную направлению оси.

Таким образом, мы получили проекции скорости на оси координат и , а найти величину вектора по его проекциям мы можем по формуле, которую можно получить из теоремы Пифагора: .

Заметим, что после перемещения координата корабля по оси изменилась на величин , которая прибавилась к координате , которая уже была к началу движения: . Аналогично по оси : .

На примере задачи мы убедились, что можно рассматривать движение в проекциях на оси координат. Если направим координатную ось, например, х вдоль направления прямолинейного движения, то составляющие движения вдоль остальных осей будут равны нулю и движение будет описываться уравнением: .

Это выражение позволяет вычислить положение тела (его координату) в любой момент времени – описать движение тела.

Пример

Движения двух тел вдоль оси х описываются функциями и . В какой момент каждое тело находилось в начале координат? Найдите время и место встречи тел.

Решение

Задача на движение. Движение каждого тела описано функциями , позволяющими связать положение тела с моментом времени, в который тело там находилось: если подставим в выражение время, получим координату в этот момент, и наоборот, если подставим значение координаты, получим момент времени, в который тело имело эту координату. Нам нужно найти момент времени, в который тело находилось в начале координат, т. е. будем подставлять координату, равную нулю, в уравнение :

Аналогично для второго тела .

В задаче получился отрицательный ответ для времени. Что это значит? Ноль на шкале времени – это какой-то начальный момент, часто – начало наблюдения. От него отсчитывается время, прошедшее после начального момента в сторону возрастания, а в сторону отрицательных значений отсчитывается время до начального момента. И если ответ получился, например, -5 с, то это значит, что тело могло быть в начале координат за 5 с до начала наблюдения, но т. к. мы не знаем, двигалось ли оно вообще до начала наблюдения (если это не оговорено в задаче), то считаем, что уравнение решения не имеет и тело в начале координат не окажется

Найдём теперь время и место встречи. Определим, что значит встреча, используя понятия, с помощью которых мы описываем движение. Встреча подразумевает, что в один момент времени тела будут в одном месте, т.е. их координаты будут равны. Равенство координат так и запишем: 

Отсюда . Используя выражение для любого из тел (из координаты в момент встречи равны), можно найти место встречи: .

Для решения рассмотренных задач необходимо:

Знать

1. Какое движение является равномерным прямолинейным.

2. Вид выражения зависимости координаты от времени.

Уметь

1. Применять выражение.

Понимать

1. При равномерном прямолинейном движении путь и перемещение совпадают. Путь зависит от времени линейно. Используя эту зависимость, мы можем найти как координату тела в любой момент времени, так и момент времени, в который тело находилось в данной точке.

Графики

График прямолинейного равномерного движения в координатах , т. е. зависимость положения тела от времени, представляет собой прямую линию, что иллюстрирует определение постоянной скорости: за равные промежутки времени координата изменяется на одну и ту же величину.

Уравнение этой зависимости мы уже знаем: .

Ось ординат (положение тела) график пересекает в точке , а ось абсцисс – в точке 

, наклон прямой равен проекции скорости . Когда проекция скорости отрицательна, функция убывает, при положительной функция возрастает. Скорость отрицательна, значит, скорость направлена в сторону, противоположную оси.

При переходе к системе координат, в которой осьнаправлена в противоположную сторону, знак скорости поменяется.

График перемещения за время: проходит через начало координат с наклоном . Это согласуется с понятием перемещения: перемещение в начальный момент времени равно нулю.

Очень просто выглядит график скорости прямолинейного равномерного движения в координатах : зависимость скорости (проекции скорости) от времени.

Это прямые, параллельные оси абсцисс (времени).

Если эта прямая в верхней полуплоскости, то . Если в нижней полуплоскости, то .

Пример

Дана зависимость пути от времени при прямолинейном движении тела, показанная на рисунке. Найти скорость тела на каждом участке пути.

Решение

Воспользуемся определением скорости:

Скорость – это перемещение тела, делённое на промежуток времени, на протяжении которого происходило перемещение.

На графике, определив координаты точки, можно определить, в какой момент времени какое перемещение было совершено: этим способом будем получать необходимые для вычисления скорости значения.

Первый участок пути длился до момента 2,25 с, когда график меняет наклон, т. е. тело меняет скорость. До этого движение было равномерным, поэтому для определения скорости возьмём две любые точки на этом промежутке, например, м и м. К моменту времени с перемещение было 2 м, а к моменту с стало 4 м, т. е. за это время (с) тело переместилось на м. Скорость на первом участке равна: .

Аналогично выберем по паре точек для двух остальных участков пути, как показано на рисунке, и скорости на этих участках получим:

Заметим, что наклон графика изменения координаты может быть отрицательным, координата может уменьшаться, но путь уменьшаться не может: в какую сторону ни движется тело, его пройденный путь увеличивается.

Пример

Докажите, что при равномерном прямолинейном движении модуль вектора перемещения численно равен площади под графиком скорости

Решение

Если движение началось в момент из положения , то за времятело переместится на , следовательно, перемещение равно площади прямоугольника высотой и основанием , т. е. площади под графиком скорости.

Это свойство полезно запомнить, чтобы пользоваться им в будущем для решения задач.

Для решения задач с графиками необходимо:

Знать

1. Зависимость координаты, перемещения и пути от времени – линейная.

Уметь

1. Находить на графике, в какой момент времени в какой точке находилось тело.

Понимать

1. График зависимости x(t) или υ(t) показывает координату или скорость тела в любой момент времени.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели положение тела, понятия перемещения, пути и траектории движения. Также мы рассмотрели понятие скорости и изучили прямолинейное равномерное движение.

На следующем уроке будет рассмотрено движение с постоянным ускорением и свободное падение.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Урок «Механическое движение» (физика, 7 класс, раздел «Взаимодействие тел»)

2. Урок «Равномерное и неравномерное движение. Скорость» (физика, 7 класс, раздел «Взаимодействие тел»)

3. Урок «Решение задач на расчёт скорости» (физика, 7 класс, раздел «Взаимодействие тел»)

4. Урок «Расчёт пути и времени движения» (физика, 7 класс, раздел «Взаимодействие тел»)

5. Урок «Материальная точка. Система отсчёта» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

6. Урок «Перемещение» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

7. Урок «Определение координаты движущегося тела» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

8. Урок «Перемещение при прямолинейном равномерном движении» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

9. Урок «Относительность движения» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

10. Урок «Кинематика. Механическое движение. Система отсчёта. Материальная точка. Траектория. Путь» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

11. Урок «Пространство и время. Координаты. Вектор перемещения. Радиус. вектор» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

12. Урок «Равномерное прямолинейное движение» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

13. Урок «Графики равномерного прямолинейного движения» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

14. Урок «Графики прямолинейного движения» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

15. Урок «Относительность движения» (физика, 10 класс, раздел «Механика. Кинематика»)

16. Урок «Основные понятия кинематики. Скорость. Средняя скорость. Относительная скорость. Сложение перемещений и скоростей» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

17. Урок «Решение задач повышенной сложности на равномерное движение» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)