21. Электромагнитные колебания. Графики колебаний в колебательном контуре (основной урок)

Колебательный контур

Изучая механические колебания и волны, мы выяснили, что волна переносит энергию на расстояние, не перенося при этом вещество. Например, если мы бросим в воду камень (то есть сообщим воде энергию), то по воде пойдут волны. Волна ударится о берег, может, даже отобьет от него кусок земли. Энергия перенесется от места падения камня до берега. При этом, глядя на поплавок на пути волны, мы увидим, что вещество не переносится. Перенос энергии на расстояние без переноса вещества – это очень удобно для передачи информации. Яркий пример – общение с помощью звуковых волн.

Вы ежедневно сталкиваетесь с передачей информации с помощью другого типа волн: электромагнитных волн. Это эфирное радио и телевидение, спутниковое телевидение, все виды беспроводной связи: мобильная связь, wi-fi, Bluetooth, 3G – практически вся электронная аппаратура без проводов, которую вы только можете представить. В отличие от звука, который слышно в лучшем случае на несколько километров при взрывах, электромагнитные волны позволяют передавать информацию на сотни и даже тысячи километров, минуя преграды. Как это работает?

Обратимся к сравнению со звуковыми волнами. Мы понимаем, что колеблющееся тело вызывает распространение волны. Волна распространяется от источника: например, звук вызывается колебаниями голосовых связок, мембраны динамика, крыльев комара. Когда волна доходит до получателя информации, ее нужно принять. Рассмотрим, как это происходит.

Звуковая волна принимается барабанной перепонкой уха или мембраной микрофона, волна возбуждает в них колебания. Далее эти колебания преобразовываются в нервный импульс в случае с ухом или электрический сигнал в случае с микрофоном. Мы не будем вдаваться в подробности, как именно происходит преобразование. Для нас сейчас важно, что колебания вызывают волну, волна распространяется, переносит энергию этих колебаний и возбуждает колебания в приемнике, при этом периодически изменяется координата.

Какие величины изменяются при электромагнитных колебаниях? Где и как происходят электромагнитные колебания? Сегодня мы узнаем ответы на эти вопросы. При электромагнитных колебаниях происходит периодическое изменение заряда на обкладках конденсатора. А на обкладках заряженного конденсатора возникает разность потенциалов, которую мы можем измерить и тем самым обнаружить колебания. Вспомните, при изучении механических колебаний мы оговаривали два условия возникновения свободных колебаний. Первое условие: при отклонении величины (координаты тела, заряда конденсатора) от равновесного значения должна возникать возвращающая сила, направленная к положению равновесия и пропорциональная отклонению от равновесия. В конденсаторе такие силы возникают. Если конденсатор зарядить, возникнет электрическое поле, которое затем при замыкании обкладок конденсатора вызовет движение электронов, то есть электрический ток и разрядку конденсатора.

Второе условие – инерция, то есть величина, которая совершает колебания, в положении равновесия должна продолжать изменяться, когда возвращающая сила не действует. Когда груз математического маятника проходит через нижнюю точку и возвращающая сила не действует, он продолжает двигаться по инерции. Когда конденсатор разряжен, ток по инерции должен продолжать течь.

Мы уже изучили раздел «Электричество и магнетизм», поэтому знаем, как обеспечить эту инерцию, как поддержать убывающий ток. Свойством препятствовать изменению электрического тока обладает катушка с ненулевой индуктивностью. При уменьшении напряжения и убывании силы тока через катушку до нуля в катушке возникает изменяющееся магнитное поле, которое вызывает ЭДС самоиндукции. Явление самоиндукции мы изучили на занятии, посвященном электромагнитной индукции. ЭДС самоиндукции поддерживает ток и тогда, когда напряжение на обкладках конденсатора равно нулю, то есть в состоянии равновесия.

Итак, мы увидели, что система из конденсатора и катушки индуктивности обладает свойствами, необходимыми для возникновения колебаний, и называется колебательным контуром. При зарядке конденсатора между его обкладками возникает электрическое поле, при протекании тока в катушке возникает магнитное поле, поэтому описанные колебания назвали электромагнитными. Далее мы подробно рассмотрим процесс электромагнитных колебаний.

Электромагнитные колебания. Превращение энергии

Мы убедились, что электромагнитные колебания в колебательном контуре возможны. Давайте рассмотрим подробнее, как протекает процесс электромагнитных колебаний. Будем пользоваться моделью идеального колебательного контура, в котором колебания протекают без потерь энергии. Считаем, что соединительные провода и провод, из которого изготовлена катушка, имеют достаточно малое сопротивление, чтобы можно было пренебречь нагреванием проводника при протекании через него тока, а также утечками заряда через диэлектрик между пластинами конденсатора, нагреванием сердечника катушки и другими потерями.

Зарядим конденсатор до некоторого напряжения . Пока ключ разомкнут, ток протекать не будет. Это состояние похоже на состояние математического маятника, в котором мы отклонили и держим груз. Мы передали системе энергию, необходимую для колебаний: энергия электрического поля заряженного конденсатора равна .

Замкнем ключ. Конденсатор начинает разряжаться, при этом ток  благодаря самоиндукции в катушке нарастает постепенно. Магнитное поле катушки с током обладает энергией . Напряжение на обкладках конденсатора уменьшается, и в некоторый момент времени оно равно некоторому промежуточному значению . При этом энергия электрического поля конденсатора уменьшается и становится равна . Часть энергии , которую мы изначально передали системе, превратилась в энергию магнитного поля.

Конденсатор разряжается, при этом ток через катушку увеличивается постепенно, напряжение на обкладках конденсатора уменьшается, пока не становится равно нулю. Конденсатор становится разряжен, энергия электрического поля конденсатора равна нулю. Мы договорились, что потерями энергии в колебательном контуре можно пренебречь, значит, вся изначально переданная системе энергия превратилась в энергию магнитного поля, которая в данный момент времени достигла максимального значения . Сила тока через катушку тоже достигает максимального значения. Ток течет по инерции без приложенного внешнего напряжения, он вызывается ЭДС самоиндукции.

Что происходит дальше? Ток течет, то есть заряд между пластинами конденсатора переносится, электроны продолжают двигаться с верхней пластины на нижнюю. Тогда отрицательно заряженная пластина уменьшит заряд до нуля и начнет заряжаться положительно, аналогично вторая пластина начнет заряжаться отрицательно. Это значит, что конденсатор заряжается, поменяв начальную полярность.

Когда конденсатор заряжается, между его обкладками возникает разность потенциалов, в системе возникает электрическое поле, которое препятствует переносу заряда, то есть уменьшает силу тока. Поскольку катушка обладает индуктивностью, в ней при уменьшении силы тока возникает ЭДС самоиндукции, которая компенсирует уменьшение силы тока, и сила тока уменьшается плавно. Таким образом, сила тока имеет уже не максимальное значение , энергия магнитного поля катушки равна , часть энергии магнитного поля превратилась в энергию электрического поля, которое возникает в конденсаторе при зарядке, .

Поскольку сила тока уменьшается плавно, то, пока она уменьшится до нуля, конденсатор успеет получить некоторый заряд и зарядиться до напряжения . Вся энергия магнитного поля превратится в энергию электрического поля . Так как мы рассматриваем идеальный колебательный контур, в котором потерь энергии нет, суммарная энергия электрического и магнитного поля в любой момент времени постоянна. Можем записать: .

То есть энергия в системе переходит из одного вида в другой: из энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот.

Аналогичный процесс превращения энергии мы наблюдали, когда изучали механические колебания. Например, в случае пружинного маятника происходило превращение кинетической энергии груза и потенциальной энергии сжатой пружины: .

В случае математического маятника происходит превращение кинетической энергии груза и потенциальной энергии гравитационного взаимодействия: .

Вернемся к рассматриваемому процессу. Мы остановились на моменте времени, когда конденсатор заряжен до напряжения  с полярностью, противоположной начальной, а сила тока через катушку равна нулю. Такое состояние системы аналогично начальному состоянию, и в системе будут протекать те же процессы, которые мы рассмотрели, только направление тока будет противоположным.

Электрическое поле заряженного конденсатора вызовет ток через катушку. Поскольку катушка обладает индуктивностью и в ней будет возникать ЭДС самоиндукции, ток будет нарастать постепенно и достигнет максимального значения, когда конденсатор разрядится. С этого момента сила тока начнет постепенно убывать, конденсатор начнет заряжаться, снова поменяв полярность, и, пока сила тока станет равна нулю, конденсатор успеет зарядиться до своего начального напряжения . Система пришла в исходное состояние и цикл начинается сначала.

Применим полученные знания на практике.

Задача

Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью и катушки индуктивностью . Конденсатор зарядили до напряжения и замкнули на катушку. Определите максимальную силу тока в катушке.

Анализ условия

- описан колебательный контур.

- в начальный момент времени конденсатор был заряжен до напряжения , это максимальное напряжение на конденсаторе, в этот момент система обладает только энергией электрического поля .

- рассмотрим второй момент времени, когда сила тока через катушку максимальна и равна . В этот момент конденсатор разряжен, энергия электрического поля равна нулю, а энергия магнитного поля максимальна и равна .

- колебательный контур по условию идеальный, значит, потерь энергии нет: .

Решение

Т.к. потерь энергии нет, запишем: .

Все необходимые значения заданы в условии, остается только выразить и вычислить максимальную силу тока : .

Вычислим: .

Задача

В идеальном колебательном контуре максимальная сила тока равна . При каком напряжении на обкладках конденсатора энергия магнитного поля катушки будет в два раза больше энергии электрического поля конденсатора? Емкость конденсатора равна , индуктивность катушки равна .

Анализ условия

- описан колебательный контур в двух состояниях.

- в первом состоянии сила тока в контуре максимальна, энергия магнитного поля катушки равна , при этом энергия электрического поля конденсатора равна нулю.

- во втором состоянии энергия магнитного поля катушки в два раза больше энергии электрического поля конденсатора, то есть .

- в идеальном колебательном контуре потерь энергии нет, значит, его полная энергия в первом и втором состоянии одна и та же.

Решение

Запишем математически, что полная энергия контура в первом состоянии равна полной энергии контура во втором состоянии: .

По условию, . Получили систему уравнений с двумя неизвестными, осталось только решить ее и выразить напряжение  во втором состоянии.

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач на электромагнитные колебания нужно следующее.

Знать

1) Механизм электромагнитных колебаний.

2) Формулы для энергии магнитного поля катушки с током и электрического поля заряженного конденсатора.

Уметь

1) Определять моменты, когда энергия магнитного поля или электрического поля максимальна, а когда равна нулю.

Понимать

Колебательный контур состоит из последовательно соединенных конденсатора и катушки. В процессе электромагнитных колебаний энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки и обратно.

Мы рассматриваем идеальный колебательный контур, в котором не происходит потерь энергии. Полная энергия колебательного контура не изменяется.

Уравнения колебаний. Период колебаний

Давайте математически опишем процесс свободных колебаний в идеальном колебательном контуре. Мы начали с того, что передали конденсатору заряд, который создал между его обкладками электрическое поле. Затем заряд уменьшался, при этом увеличивалась сила тока, а значит, изменение заряда происходило всё быстрее. Затем сила тока начинала уменьшаться, а значит, изменение заряда замедлялось, пока заряд снова не достигал максимального по модулю значения, только с противоположной полярностью.

Видно, что описанное нами изменение заряда имеет вид гармонической функции. Действительно, математически доказывается, что при свободных колебаниях в колебательном контуре заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону: .

Колебания имеют определенный период. Колебания должны протекать достаточно быстро, то есть их период должен быть достаточно мал, чтобы в катушке возникала необходимая ЭДС самоиндукции, и в то же время период должен быть достаточно большим, чтобы конденсатор успевал заряжаться до необходимого напряжения. Период собственных электромагнитных колебаний определяется параметрами колебательного контура – емкостью конденсатора и индуктивностью катушки, и вычисляется по формуле Томсона: .

Частота колебаний равна: .

С математическим выводом уравнения гармонических колебаний заряда и формулы Томсона вы можете ознакомиться в ответвлении.

В электрических цепях нас интересуют параметры, которые мы наиболее часто используем: напряжение и сила тока.

Задача

В идеальном колебательном контуре заряд на обкладках конденсатора емкостью  изменяется по закону . Запишите уравнения зависимости напряжения на конденсаторе и силы тока через катушку от времени. Найдите индуктивность катушки.

Анализ условия

- задан конденсатор известной емкости. Емкость конденсатора по определению равна .

- в напряжение на конденсаторе заданной емкости определяется зарядом на его обкладках: .

- в нашем случае заряд изменяется со временем, тогда в любой момент времени напряжение равно .

- сила тока, по определению, равна скорости переноса заряда: .

- в нашем случае заряд изменяется неравномерно, за равные промежутки времени заряд изменяется не на одну и ту же величину. Мы можем определить силу тока, рассмотрев малый промежуток времени, на протяжении которого можем считать изменение заряда равномерным.

- заряд зависит от времени, является функцией от времени. Из математики мы знаем, что при малом изменении аргумента  отношение изменения функции  к изменению аргумента  – это производная .

- таким образом, сила тока равна .

- период колебаний зависит от емкости конденсатора и индуктивности катушки и определяется по формуле Томсона.

- циклическая частота равна .

Решение

Мы определили, что напряжение и сила тока равны  и . Подставим уравнение . Тогда напряжение на конденсаторе равно: .

Максимальное напряжение  равно коэффициенту перед гармонической функцией: .

Силу тока через катушку найдем, вычислив производную от заряда: .

Если вы не помните, как вычисляется производная, рекомендую обратиться к соответствующей теме в математике. Мы будем пользоваться следующими свойствами производной:

 – постоянный множитель выносится за знак производной, в нашем случае это .

 – производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции. В нашем случае внешняя функция – это синус. Внутренняя функция – это линейная функция .

 – производная синуса некоторого аргумента – косинус этого аргумента.

 – производная суммы равна сумме производных.

.

 – производная от константы равна нулю.

Окончательно имеем: .

Максимальная сила тока равна коэффициенту перед гармонической функцией: .

Циклическая частота, которая по условию известна, равна .

Период колебаний вычисляется по формуле Томсона: .

Циклическая частота и емкость конденсатора, по условию задачи, известны, остается выразить индуктивность катушки. Подставим в первое уравнение период колебаний: . Отсюда выразим индуктивность, которая равна: .

Индуктивность выразили, уравнения  и  получены, задача решена.

Решение задач

Задача

При увеличении емкости конденсатора колебательного контура на частота свободных колебаний уменьшилась в раза. Найти первоначальную емкость конденсатора. Индуктивность катушки не изменилась.

Анализ условия

- описан колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки.

- когда емкость конденсатора была равна , частота свободных колебаний в нем была равна .

- когда емкость конденсатора увеличилась на  и стала равна , частота колебаний уменьшилась в три раза и стала равна .

- частота определяется через параметры колебательного контура с помощью формулы Томсона: .

Решение

Запишем формулу для частоты, которую мы записали выше, для двух случаев: до и после изменения емкости: .

Получили систему уравнений, которую остается только решить и выразить начальную емкость конденсатора .

Задача

В колебательном контуре протекают свободные колебания. Заряд изменяется по закону . Какое значение примет энергия электрического поля конденсатора через  после начала колебаний? Емкость конденсатора равна , индуктивность катушки , амплитуда заряда .

Анализ условия

- описано периодическое изменение заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре.

- функция  позволяет вычислить значение заряда в любой момент времени.  задано в условии, осталось найти циклическую частоту .

- циклическая частота равна .

- период свободных колебаний находится по формуле Томсона: .

Решение

По формуле Томсона найдем период колебаний: .

Запишем уравнение , подставив известные значения: .

В момент времени  заряд будет равен: .

Задача решена, ответ: .

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач, подобных рассмотренным, нужно следующее.

Знать

1) Формулы для энергии магнитного поля катушки с током и электрического поля заряженного конденсатора.

2) Связь напряжения на конденсаторе и его заряда: .

3) Связь силы тока с зарядом: .

4) Связь амплитудных значений силы тока и заряда: .

5) Формулу Томсона.

Уметь

1) Вычислять производную тригонометрических функций.

2) Закон, по которому изменяется заряд, напряжение или сила тока.

Понимать

В колебательном контуре свободно протекают гармонические колебания с определенной частотой и периодом (это взаимнообратные величины). Период свободных колебаний в данном колебательном контуре зависит от емкости конденсатора и индуктивности катушки и определяется по формуле Томсона.

Изменение силы тока отстает по фазе от изменения напряжения и заряда на четверть периода.

Графики электромагнитных колебаний

Значения заряда на конденсаторе, напряжения на конденсаторе и силы тока через катушку изменяются со временем. Это можно изобразить графически, построив графики зависимости изменяющихся величин от времени.

Величины изменяются по гармоническому закону, графики будут представлять собой синусоиду. Например, если мы отсчитываем время с того момента, когда заряд конденсатора был максимален, то график  будет начинаться из точки (рисунок). Это график функции , косинус принимает максимальное значение в начальный момент.

 – амплитуда колебаний заряда, ее на графике хорошо видно как максимальное значение, которое принимает функция . Заряд принимает значения от  до .

Период функции будет равен . На графике период виден как промежуток, за которое заряд совершает одно полное колебание.

Напряжение на конденсаторе равно: . Напряжение колеблется по тому же закону, что и заряд, в данном случае по закону косинуса, только амплитуда будет равна . На графике это выглядит так.

Сила тока через катушку равна . В нашем случае: .

На графике это будет выглядеть как синусоида с тем же периодом, с амплитудой  и сдвинутая относительно графика  на четверть периода.

И действительно, когда заряд на конденсаторе максимален и начинает уменьшаться, сила тока начинает возрастать по модулю, причем направлен ток так, чтобы заряд на конденсаторе уменьшался, то есть ток в этот момент имеет знак минус. Когда конденсатор разряжен, сила тока достигает максимального по модулю значения и после этого начинает убывать. И так далее, мы можем наглядно проследить за ходом колебаний, и графическое описание процесса будет совпадать с тем, что мы обсуждали ранее.

Задача

Определите емкость конденсатора и индуктивность катушки колебательного контура, если заряд на обкладках этого конденсатора и сила тока в катушке изменяются согласно графикам, которые приведены на рисунке.

Анализ условия

- заданы графики  и . По графикам мы можем определить амплитуды напряжения и силы тока, а также период колебаний.

- емкость конденсатора, по определению, равна . Удобно рассмотреть момент времени, когда заряд и напряжение максимальны, то есть взять их амплитудные значения:

- амплитудные значения силы тока и заряда связаны соотношением, которое мы получили, вычисляя производную заряда: .

- циклическая частота связана с периодом колебаний выражением:

Решение

На графиках видно амплитудные значения напряжение и силы тока. Максимальное значение, которое принимает напряжение, по графику равно . Максимальная сила тока равна . Период изменения напряжения и силы тока один и тот же, можем его определять на любом графике. На обоих графиках видно, что одно полное колебание совершается за .

Запишем выражения, с помощью которых мы описали колебания в ходе анализа условия.

Теперь, получив все необходимые значения из графиков, остается только выразить и вычислить искомую емкость конденсатора.

Заключение

Подведем итоги раздела. Для решения графических задач на электромагнитные колебания нужно следующее.

Знать

1) Связь напряжения на конденсаторе и его заряда: .

2) Связь силы тока с зарядом: .

3) Связь амплитудных значений силы тока и заряда: .

4) Формулу Томсона.

Уметь

1) Определять на графике амплитудные значения величин.

2) Определять на графике период колебаний и связывать его с частотой и циклической частотой.

3) Определять начальную фазу колебаний.

На этом уроке рассмотрели электромагнитные колебания и изучили:

– колебательный контур; период свободных электромагнитных колебаний; графики изменения величин в колебательном контуре.

Теперь вы можете решать задачи по электромагнитным колебаниям.

На следующем уроке мы рассмотрим вынужденные электромагнитные колебания и электромагнитные волны и изучим:

– электрический резонанс; переменный электрический ток; трансформатор; электромагнитные волны разных диапазонов.