50. Элементы статики. Простые механизмы (основной урок)

Условие равновесия материальной точки

До сих пор мы решали многие задачи, используя модель тела как материальной точки, но есть задачи, которые с ее помощью решить нельзя. Предположим, вам нужно поднять два груза, привязанных к палке-коромыслу.

Важно не только то, с какой силой мы будем поднимать палку, а и то, в какой точке приложим силу, где возьмем палку: из своего опыта вы знаете, что при неправильном выборе точки один из грузов будет перевешивать.

А если будет два груза с одной стороны?

А если поднимать вдвоем?

Без четкой теории эти задачи решить уже нельзя. Вопрос «где» уже подразумевает какие-то размеры, которых не имеет материальная точка. Поэтому существует два случая, две модели: равновесие материальной точки и равновесие тела, которые мы сегодня и рассмотрим.

Вспомним формулировку первого закона Ньютона:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Урок «Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчёта»

В законе Ньютона сказано, что материальная точка может сохранять, помимо состояния покоя, равномерное прямолинейное движение. Это удобная модель, идеализация. На самом деле на движущееся тело всегда действует какая-либо сила:

• гравитационного притяжения;

• трения о поверхность (бильярдные шары, шайба на льду…).

Во многих случаях эти силы настолько малы, (или/и время рассмотрения мало), что модель «Сумма сил равна нулю» годится для движущегося тела.

Как видим, закон рассматривает поведение материальной точки. Поэтому для материальной точки условие равновесия вытекает из первого закона Ньютона.

Сформулируем его так: чтобы материальная точка находилась в равновесии, сумма сил, приложенных к точке, должна равняться нулю.

Рассмотрим пример такого равновесия, встречавшийся в басне о Лебеде, Раке и Щуке.

Пример

В каких направлениях тянут Лебедь, Рак и Щука, чтобы воз оставался на месте? Силы всех персонажей равны.

Решение

Проанализируем условие задачи.

В данной задаче нам безразлично, к какой точке воза приложена сила, мы говорим просто «к возу», поэтому можем пользоваться моделью материальной точки.

Воз не движется, т.е. находится в равновесии, а мы знаем, что это происходит в том случае, если силы, действующие на воз, уравновешиваются.

Если их сила меньше силы трения, то можно тянуть в любом направлении и без результата. Поэтому рассмотрим случай, когда их силы равны и каждая больше силы трения. Будем рассматривать следующие условия.

1) Все происходит в плоскости.

2) Поскольку в плоскости любую силу можно разложить в двух перпендикулярных направлениях, то сумма сил будет равна , когда будет равна сумма сил по каждому из направлений.

1. Три одинаковых силы, направленные вдоль одной прямой, уравновеситься не могут (одна сила не может уравновесить две другие, направленные в противоположную сторону), поэтому они направлены как-то под углом, как показано на рисунке.

1. Возьмем два перпендикулярных направления. Чтобы нам было проще находить проекции сил, одну из осей направим вдоль силы, например, Лебедя – ось .

1. Проекция силы, с которой лебедь действует на воз, на ось , равна , поэтому по оси рак и щука должны друг друга уравновешивать. Пусть углы между осью и направлениями сил, с которыми рак и щука действуют на телегу, равны  и . Тогда . Т.к. силы равны, то и углы равны .

1. В проекции на ось сила лебедя будет уравновешиваться проекциями сил рака и щуки: . Т.к. все три силы равны, то получим: , , .

Угол между и  равен . Т.к. построение симметрично, то все три силы направлены под углом  друг к другу.

Пример

Брусок помещен на наклонную плоскость, угол наклона . Каким должен быть коэффициент трения, чтобы брусок двигался?

Решение

Если брусок движется, то он не пребывает в равновесии. Из опыта мы знаем, что съезжать брусок будет со скользкой плоскости, т.е. при малом коэффициенте трения. Поэтому нам надо найти какое-то предельное значение, при котором тело еще будет покоиться, пребывать в равновесии. А равновесие, мы знаем, означает, что равнодействующая всех сил будет равна нулю.

Обозначим на рисунке силы, действующие на брусок: сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения.

Последние две взаимно перпендикулярны, поэтому удобнее вдоль них направить соответственно оси и . Вдоль оси сила реакции опоры будет уравновешиваться проекцией силы тяжести на эту ось: .

Вдоль оси уравновесятся проекция силы тяжести на эту ось и сила трения: . Поскольку рассматриваем предельный случай, то имеем дело с максимальным значением силы трения, которое равно , где, как мы получили выше, сила реакции опоры равна . Получаем .

После сокращения  имеем: .

Окончательный ответ: чтобы брусок двигался, коэффициент трения должен быть меньше .

Как мы уже говорили, есть задачи, которые нельзя решить с помощью модели тела как материальной точки.

Рассмотрим ситуацию с весами.

Силы, действующие на весы, уравновешиваются, и весы находятся в состоянии покоя. Сместим один груз. Весы придут в движение, хотя равнодействующая сил не изменится.

После того, как коромысло весов займет новое положение, весы снова придут в состояние покоя.

Отсюда вывод:

• для равновесия тела недостаточно равенства приложенных сил. В нашем примере сумма веса грузов и реакции опоры в точке подвеса весов равнялась нулю, но весы пришли в движение при смещении груза.

• для равновесия тела нужно некое дополнительное равновесие приложенных сил, другое условие равновесия, учитывающее точку приложения силы.

Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать

1. Первый закон Ньютона.

Уметь

1. Раскладывать вектор силы на проекции.

Понимать

1. Первый закон Ньютона является условием равновесия материальной точки.

Однако не во всех случаях можно использовать модель тела как материальной точки. Брусок, покоящийся на наклонной плоскости, можно считать материальной точкой. Если же он достаточно высокий, а площадь опорной поверхности мала, он будет падать, т.е. при тех же действующих силах состояние покоя сохраняться не будет.

Для тела существует второе условие равновесия.

Плечо силы. Момент силы. Условия равновесия тела

Итак, мы увидели необходимость дополнительного условия для равновесия тел. Представьте, сколько сложных тел инженерам нужно уравновесить – без точной теории обойтись нельзя.

Как мы увидели в предыдущих примерах, имеет значение не только величина силы, а и расположение точки, к которой она приложена. Все знают, насколько трудно поднять и удержать груз на вытянутой руке. Чтобы определять точку приложения силы, вводится понятие плеча силы (по аналогии с плечом руки, которой поднимают груз).

Плечо силы – это минимальное расстояние от заданной точки до прямой, вдоль которой действует сила.

Иначе говоря, это перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, вдоль которой действует сила.

Величина, которая учитывает и величину силы, и ее плечо, называется моментом силы.

Момент силы – это произведение силы на ее плечо. Знак момента силы зависит от направления, в котором сила вращает тело: если направления разные, знаки должны быть разными. Например, плюс, если сила предположительно вращает тело вокруг оси по часовой стрелке, и минус – если против.

Аналогично при записи второго закона Ньютона разнонаправленные силы имеют разные знаки (в зависимости от того, какое направление мы условно выбираем положительным).

Если увеличивать плечо силы, можно уменьшить силу, и момент силы останется прежним. Мы очень часто используем это в повседневной жизни: когда открываем дверь, когда пользуемся плоскогубцами или гаечным ключом.

Мы знаем, что, когда мы толкаем шкаф с силой  в верхней его части, он переворачивается, а чтобы этого не произошло, мы толкаем его ниже. Теперь мы можем объяснить это явление.

Ось его вращения находится на том его ребре, на котором он стоит, при этом плечи всех сил, кроме силы , либо малы, либо равняются нулю, поэтому под действием силы  шкаф падает. Прикладывая силу ниже, мы уменьшаем ее плечо , а значит, и момент этой силы, и опрокидывания не происходит.

Шкаф как тело, размеры которого мы учитываем, подчиняется тому же закону, что и гаечный ключ, дверная ручка, мосты на опорах и т.п.

Теперь можем сформулировать условия равновесия для тел.

1) Векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю.

2) Сумма моментов сил равна нулю.

Второе условие является следствием закона сохранения энергии, но при решении задач его полезно помнить в готовом виде.

Пример

На штанге длиной  с одной стороны закреплен диск массой , с другой – таких дисков. Где нужно взять штангу, чтобы ровно ее поднять, и какую силу приложить?

Решение

Проанализируем условие. Штанга при поднятии останется ровной, значит, будет пребывать в равновесии. Штангу в данной задаче нельзя представить в виде материальной точки, поэтому нужно рассматривать условия равновесия для штанги как для тела. Найдем, на каком расстоянии  от конца с пятью дисками нужно брать штангу.

На штангу действуют силы со стороны дисков (сила тяжести  одного диска) и сила , с которой мы поднимаем штангу. Штанга закреплена в руке, поэтому ось вращения будет находиться в месте захвата. Первое условие равновесия будет выглядеть так:

.

Для второго условия нужно записать моменты сил: плечо силы  равно , т.к. сила проходит через ось вращения, плечо силы  равно , а силы  выразим как : , .

Заметим, что сила  вращает штангу в одну сторону, а сила  – в другую, что сказывается на знаках.

Еще раз убедимся, что неизвестное, указывающее на величину силы, содержится в первом уравнении, основывающемся на модели материальной точки. Неизвестное, указывающее на место приложения силы, содержится во втором уравнении, учитывающем размеры тела.

Записав эти уравнения, из них можно получить ответ.

До сих пор в качестве точки, на которую мы ориентировались при определении плеча силы, мы брали ось вращения тела либо точку опоры. На самом же деле равенство моментов сил выполняется при любом выборе точки. Проверьте это самостоятельно для предыдущей задачи: все действующие на штангу силы мы уже нашли, размеры штанги мы знаем. Мы же выбираем точку, чтобы облегчить решение задачи.

Например, если нас интересует только соотношение расстояний до опоры, но не интересует сила ее реакции, то нужно взять точку в точке опоры, тогда плечо силы  будет равно . Часто эта точка совпадает с предполагаемой осью вращения.

А что, если опор несколько? В этом случае правильный выбор точки еще более важен.

Пример

На двух опорах лежит доска массой  и длиной , как показано на рисунке.

На ней лежит груз массой на расстоянии  от одной опоры. С какой силой доска давит на вторую опору?

Решение

Рассматривая равновесие доски, мы учитываем только силы, действующие на доску, т.е. от сил, с которыми доска давит на опоры, переходим к силам, с которыми опоры действуют на доску (третий закон Ньютона позволяет нам это сделать).

Урок «Третий закон Ньютона»

Обозначим на рисунке силы, действующие на доску: сила тяжести доски (действует на центр доски), сила тяжести груза и силы реакции двух опор.

Доска находится в равновесии. Она является протяженным предметом, способным опрокидываться, даны точки приложения сил, поэтому будем применять второе условие равновесия. Давайте посмотрим, относительно какой точки лучше рассматривать моменты сил. Момент силы  нам нужно найти, а момент силы  нам не является ни искомой величиной, ни известной, при решении он нам будет только мешать. Поэтому можно считать моменты относительно точки первой опоры. Относительно нее момент силы равен нулю (нулевое плечо).

Мы уже научились определять плечо силы и знак момента силы, поэтому можем сразу записать второе условие равновесия: . Отсюда получим .

Пример

К стене приставлена легкая лестница длины  под углом  к полу. Коэффициенты трения лестницы со стеной и полом равны соответственно  и . Рабочий массы  взбирается на лестницу. Когда лестница начнет скользить?

Решение

Пока лестница не скользит, она находится в равновесии, значит, к ней применимы условия равновесия тел, которые мы знаем.

Обозначим на рисунке силы, действующие на лестницу. Это вес рабочего , и силы реакции опоры, и силы трения (направлены против скольжения) со стороны стены и пола.

Применим первый закон Ньютона . В проекциях на вертикальную и горизонтальную ось получим два уравнения:

Учитываем, что , .

Из них можно вывести .

Давайте разберемся, что значит вопрос «когда лестница начнет скользить?» Она начнет скользить в зависимости от места нахождения рабочего, значит, нам не обойтись без плеча силы и без второго условия равновесия лестницы. Применим его. Все силы нам уже известны, но чтобы решение было проще, будем ориентироваться на точку или , в этом случае момент двух сил ( и  или и ) будет равен нулю. Запишем для тренировки уравнения относительно обеих точек, обозначив расстояние, которое прошел рабочий вдоль лестницы, .

При вращении вокруг точки моменты сил и  равны нулю, моменты сил , и равны соответственно , и .

Получим уравнения, содержащие искомую величину. Все величины известны,  и  мы нашли ранее, останется только получить выражение для .

Как видим, даже при решении громоздких на первый взгляд задач, мы делаем то же, что всегда: записываем условия равновесия, для чего нужно удобно для себя определиться с точками, относительно которых рассматривать моменты сил, и найти на рисунке плечо каждой силы для нахождения момента силы.

Подведем краткие итоги. Для решения задач рассмотренного типа необходимо следующее.

Знать

1) Понятия плеча силы и момента силы.

2) условия равновесия тела.

Уметь

1) Оптимально определять, относительно какой точки рассматривать моменты сил.

2) Определять плечо силы и знак момента силы.

Понимать

Условия равновесия тела представляют собой первый закон Ньютона и закон сохранения энергии в другой записи. Второе условие равновесия применяется, когда нас интересует не только, какие силы приложены к телу, а и куда именно они приложены.

Центр тяжести

В одной из предыдущих задач нам нужно было определить точку приложения силы тяжести. Мы сказали, что сила тяжести действует на центр доски. Этот случай достаточно простой, чтобы определить эту точку логически.

У круга, сделанного из одного материала, центр тяжести расположен в центре круга. У колеса там же, в центре. Если мы подвесим круг за центр тяжести, то он не будет двигаться. Это просто.

Но что делать, если тело имеет сложную форму? Понятно, что центр тяжести будет ближе к тому месте, где сосредоточена бОльшая часть массы.

Если фигура состоит из простых элементов известной массы, положение центров тяжести которых мы знаем, то координату центра тяжести можно вычислить по формуле: .

Найдем центр тяжести вот такой плоской фигуры, изготовленной из однородного материала.

Фигура состоит из трех квадратов одинаковой массы . Если поместим центр координат в угол выреза, как показано на рисунке, то координаты центров тяжести будут равны соответственно .

Применим формулу для нахождения центра тяжести отдельно для координат по осям и :

На самом деле формула для определения координаты центра тяжести является прямым следствием второго условия равновесия тел.

Подведем краткие итоги. Для решения задач рассмотренного типа необходимо следующее.

Знать

1) Понятие центра тяжести.

Уметь

1) Определять координаты центра тяжести фигур, состоящих из простых элементов.

Понимать

Центр тяжести определяется через понятие момента силы. Определение центра тяжести важно для решения задач на равновесие, потому что положение центра тяжести определяет плечо силы тяжести. В неоднородных телах центр тяжести смещается к области с большей плотностью.

Три вида равновесия

Теперь мы знаем условия равновесия тел, знаем, как определить центр тяжести, чтобы правильно учесть действие силы тяжести. Но достаточно ли этого, чтобы уравновесить любое тело? Вернемся к шкафу, который мы толкали в верхнюю часть.

Представим, что мы добились такого расположения, чтобы плечо силы тяжести было равно нулю. Сила трения будет отсутствовать, сила реакции опоры также проходит через точку опоры и имеет плечо, равное нулю. Тогда сумма моментов всех сил будет равна нулю, и шкаф будет пребывать в равновесии. Но попробуйте поставить рассматриваемый шкаф или картонную коробку таким образом, и увидите, что долго они не простоят. Малейшее движение приведет к падению.

Такое равновесие называется неустойчивым: когда при малом выведении тела из равновесия возникают силы или моменты сил, которые вызывают дальнейшее отклонение.

Действительно, при отклонении тела появляется ненулевое плечо силы тяжести, момент силы тяжести становится не равным нулю, и этот момент силы вызывает последующее отклонение.

Теперь представим, что мы взяли коробку и надели ее на перекладину в точке, расположенной в верхней части.

Коробка повернется так, чтобы сила тяжести и сила реакции со стороны перекладины уравновешивались и действовали вдоль одной прямой.

Но при малом отклонении от равновесного положения возникают силы или моменты сил (в нашем случае момент силы тяжести), которые будут возвращать тело в равновесное состояние. Такое равновесие называется устойчивым.

Можно надеть ту же коробку на перекладину, чтобы она проходила через ее центр тяжести. Тело будет пребывать в равновесии, как бы мы на него ни действовали. Такое равновесие называется нейтральным.

Подсознательно мы используем эти явления, когда приседаем на скользкой горке.

Итак, есть три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и нейтральное.

Как мы увидели на примере шкафа, чтобы равновесие было устойчивым, нужно, чтобы сила, которая противодействует силе тяжести, была приложена к точке выше центра тяжести.

Посмотрим на форму капли: ее центр тяжести (и точка приложении силы тяжести) смещен вниз относительно точки приложения силы сопротивления воздуха.

Теперь мы знаем и причину поведения ваньки-встаньки. У него нижняя часть заполнена тяжелым материалом, поэтому центр тяжести смещен к нижней части. При отклонении игрушки из равновесия сила тяжести создает возвращающий момент.

Давайте теперь подумаем, как нужно нагружать корабль, чтобы он не перевернулся при качке?

Вопрос подразумевает устойчивое равновесие корабля. Мы знаем, что центр тяжести корабля должен находиться ниже точки приложения силы Архимеда. Эта точка находится в воображаемом центре тяжести погруженной части, если бы она была однородной. Если бы корабль был нагружен равномерно или больше нагружен сверху, то за счет не погруженной части центр тяжести в любом случае был бы выше центра давления, и равновесие было бы неустойчивым. Для смещения центра тяжести вниз, корабль нужно нагружать внизу более тяжелыми грузами, а верхнюю часть облегчить или оставить пустой. Тогда при качке  и будут создавать возвращающий момент.

Подведем краткие итоги. Чтобы привести тело в положение устойчивого равновесия необходимо следующее.

Знать

1. Виды равновесия и отличия между ними.

Уметь

1. Определять вид равновесия, в котором пребывает тело.

Понимать

1. Главное отличие видов равновесия – это направления сил и моментов сил, возникающих при нарушении равновесия: возвращающие или отклоняющие.

Простейшие механизмы

Статика изучается вместе с простейшими механизмами, потому что:

а) результаты теории применяются при конструировании и использовании механизмов,

б) ускорение тел в этих механизмах мало и, соответственно, мала равнодействующая, его вызывающая.

На простых примерах двери или гаечного ключа мы увидели, что полученные знания можно применить. Мы рассмотрим их применение в таких простейших механизмах, как рычаг, наклонная плоскость, блоки.

Пример

Опора рычага расположена так, что длина короткого плеча рычага равна , а длинного – . Какую силу нужно приложить к длинному плечу, чтобы сдвинуть груз массой ?

Решение

При решении задач мы уже сталкивались с подобными конструкциями.

Запишем второе условие равновесия тела относительно точки опоры: .

После математических преобразований получим .

Мы получили в общем виде уравнение, показывающее принцип работы рычага: рычаг дает выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз длинное плечо рычага длиннее короткого.

Рычагом является не только стержень, который мы используем, чтобы поднять груз. Есть много ситуаций, в которых сила увеличивается с помощью конструкции с разными плечами. Все знают, что, если в щель двери возле навеса неосторожно поместить палец, его можно больно придавить, даже если легко подтолкнуть дверь. Мы почувствуем, какой большой силой  уравновешивается небольшая сила , приложенная к двери.

Теперь нам понятно, почему дверь так больно давит на палец. Давайте рассчитаем, с какой силой дверь надавит на палец, если мы легко надавим на ее край с силой . Отметим на рисунке плечи сил. Обычно у двери эти размеры равны около и .

Сила  вращает дверь против часовой стрелки,  – по часовой стрелке. Поэтому моменты сил равны , . Применив условие равновесия (), получим, что палец будет прижат с силой, эквивалентной весу груза массой .

Иногда рычаг используется в обратном действии: мы проигрываем в силе, но выигрываем в перемещении и скорости. Этим явлением пользовался каждый, кто ходил на рыбалку. Удочка представляет собой рычаг с осью вращения в одной руке, а вторая рука прикладывает силу к короткому плечу.

Рычаг решает проблему, когда стоит выбор между силой и выносливостью: можно приложить большую силу и поднять груз, а можно приложить малую силу, но при этом проделать больший путь (это как носить груз несколько раз небольшими частями). Закон сохранения энергии дает возможность делать механизмы, в которых увеличение пути позволяет экономить силу. Еще один механизм, помогающий решить эту задачу, – подвижный блок.

Существует неподвижный блок. Он позволяет только изменить направление действия силы.

Рассмотрим работу подвижного блока. Представим двух человек на крыше дома, поднимающих груз на подвижном блоке. Понятно, что вдвоем поднимать в раза легче, т.е. каждый из них прикладывает силу , равную половине  ( – масса груза).

Изменится ли сила, с которой будет тянуть один человек, если второго заменить жестким креплением? Очевидно, нет. За счет чего же происходит выигрыш в силе в раза? При поднятии груза на высоту освободится метров веревки с каждой стороны от блока, т.е. человек вытащит  метров веревки. Таким образом, выигрыш в силе происходит за счет проигрыша в перемещении, и закон сохранения энергии выполняется.

Если двукратного выигрыша в силе недостаточно, можно использовать несколько блоков. При использовании двух подвижных блоков выигрыш в силе будет четырехкратным.

Примером многократного выигрыша в силе за счет использования нескольких блоков является полиспаст.

http://www.youtube.com/watch?v=mPVCbWpa4Fo

Еще одним простейшим механизмом является наклонная плоскость. Рассмотрим идеальный вариант – без трения. Чтобы тащить груз по наклонной плоскости, нужно силой  противодействовать проекции силы тяжести на направление движения. . Т.е. по сравнению с обычным поднятием выигрыш в силе в  раз. При этом путь по наклонной плоскости  относится к пути прямого поднятия  тоже как .

Подведем краткие итоги. Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать

1) Закон сохранения энергии.

Уметь

1) Определять, за счет чего происходит выигрыш в силе при использовании простых механизмов.

2) Определять выигрыш в силе из условий равновесия.

Понимать

По закону сохранения энергии, если мы получаем выигрыш в чем-то одном (силе), то проигрываем в другом (перемещении, скорости).

Заключение

На этом уроке мы поговорили о:

• моменте силы;

• условиях равновесия тел;

• видах равновесия;

• простейших механизмах.

Теперь вы можете приступать к решению задач по статике, о телах, находящихся в равновесии, находить КПД простых механизмов.

На следующем уроке мы обсудим:

• силу Архимеда;

• атмосферное давление;

• давление жидкостей;

• сообщающиеся сосуды.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам

1. Урок «Сложение сил» (физика, 7 класс, раздел «Взаимодействие тел»)

2. Урок «Простые механизмы. Рычаг (Зотов А.Е.)» (физика, 7 класс, раздел «Работа. Мощность. Энергия»)

3. Урок «Простые механизмы. Рычаг (Юдина Н.А.)» (физика, 7 класс, раздел «Работа. Мощность. Энергия»)

4. Урок «Момент силы» (физика, 7 класс, раздел «Работа. Мощность. Энергия»)

5. Урок «Блок» (физика, 7 класс, раздел «Работа. Мощность. Энергия»)

6. Урок «Золотое правило механики» (физика, 7 класс, раздел «Работа. Мощность. Энергия»)

7. Урок «Центр тяжести и центр инерции. Условия равновесия твёрдого тела» (физика, 10 класс, раздел «Механика системы тел»)