45. Закон сохранения энергии (основной урок)

Энергия. Кинетическая энергия

Представьте себе барона Мюнхгаузена, летящего на ядре. Обладает ли ядро энергией? Наблюдая за ядром с земли, мы скажем, что обладает. Но летящий на нем барон скажет, что ядро энергией не обладает. Это рассмотрение процесса в двух разных системах отсчета. Чем отличается полет ядра в этих системах отсчета? В системе отсчета, связанной с землей, ядро может совершить работу. В системе отсчета, связанной с Мюнхгаузеном, ядро покоится и не способно совершить работу, его энергия нулевая.

С работой мы и будем связывать понятие энергии.

Ветка. Бытовое и физическое понятия энергии

Мы пользуемся понятием энергии довольно часто. Об отдохнувшем человеке мы говорим «он полон сил и энергии». Что это значит «полон энергии»? Вы ответите: способен к действиям, готов работать. В физике это понятие только конкретизируется: энергия – это способность тела или системы тел выполнить работу

Мы уже знаем, что работа совершается силой, когда под действием этой силы тело перемещается. Таким образом, энергия – это способность тела вызвать перемещение другого тела. Мы с этим сталкиваемся на каждом шагу:

Все эти тела обладают энергией. В последних двух случаях энергия содержится в химических связях и электрическом заряде, мы же пока остановимся на механической энергии. Помним, что работу выполняет сила, с которой действует тело, обладающее энергией, на другое тело, над которым выполняется работа.

Энергия не означает, что работа выполняется, ее наличие подразумевает способность. Например, брошенный камень способен подействовать на стекло с силой, которая совершит работу по его разбиванию, но он не обязательно это делает, он просто обладает достаточной для этого энергией.

Количественно энергия отвечает на вопрос, какую работу может выполнить тело, поэтому единица измерения энергии тоже 1 Дж. Если тело обладает энергией 10 Дж, это значит, что оно способно выполнить работу 10 Дж, и тогда его энергия израсходуется на выполнение работы и уменьшится до нуля (ничто не возникает из ниоткуда). И, наоборот, чтобы это тело вновь приобрело энергию 10 Дж, внешняя сила должна совершить над ним такую же по величине работу.

Итак, по порядку: начнем с тел, которые могут совершить работу благодаря своему движению. Если способность тела совершать работу связана с его движением, то говорят, что тело обладает кинетической энергией.

Задача

Вычислим работу, выполненную при разгоне тела массой m с постоянным ускорением со скорости до.

Решение

Анализ условия.

В задаче тело движется равноускоренно, значит, по второму закону Ньютона, на него действует сила. Эта сила совершает работу, равную силе, умноженной на перемещение.

Выбор системы координат.

Под действием постоянной равнодействующей приложенных к телу сил тело массой изменяет свою скорость с до и перемещается на . Удобно направить ось по ходу движения, а ось – вертикально.

Из второго закона Ньютона следует, что тело будет двигаться с постоянным ускорением. По вертикальной оси сила тяжести и сила реакции опоры уравновесятся и не повлияют на движение. Запишем в проекции на ось:. Работа силы на перемещении равна, по определению,. При равноускоренном движении для перемещения тела справедлива формула.

Ветка. Вывод формулы

При равноускоренном движении скорость меняется по линейному закону, следовательно, время, за которое скорость достигла величины, равно. Средняя скорость тела в течение этого времени была. Тогда путь, пройденный телом

Подставив силу и перемещение, получим, что работа равна:.

Это выражение получено при условии прямолинейного движения тела и постоянной внешней силы, но оно остается верным и при движении по криволинейной траектории, и при переменной силе. Доказать это можно, разбив траекторию на последовательность небольших участков, на которых движение можно считать прямолинейным, а силу – постоянной. Сложив работы на всех участках траектории, получим полную работу. Например, если таких участков было всего два, получим:,,.

Таким образом, работа, затраченная на ускорение тела массой, равна изменению некоторой величины вида. Поскольку эта величина включает в себя скорость, то ее можно интерпретировать как энергию, связанную с движением.

Определение.

Кинетическая энергия объекта массы, движущегося со скоростью, определяется выражением.

Полученная нами связь работы, совершенной над телом, с изменением его кинетической энергии имеет вид:.

Давайте проанализируем полученное выражение. Мы знаем, что работа силы положительна, если направлена в ту же сторону, что перемещение (сила способствует перемещению), и отрицательна, если направлена в сторону, противоположную перемещению (сила препятствует перемещению). Рассмотрим случай, когда работа положительна, тогда,, т.е. кинетическая энергия и, соответственно, скорость увеличилась. Действительно, скорость увеличивается, когда сила сонаправлена со скоростью, а значит, и с перемещением.

Если эта работа отрицательна, то кинетическая энергия уменьшается. Так, гвоздь на молоток действует с силой, которая противоположна направлению движения молотка и останавливает его, т.е. сила совершает отрицательную работу и уменьшает кинетическую энергию молотка.

С другой стороны, в силу третьего закона Ньютона можно утверждать, что в случае уменьшения кинетической энергии тела сила, с которой оно действует на другое тело, совершает положительную работу за счет кинетической энергии. Например, если это тело – молоток, то совершилась работа – забит гвоздь.

Пример

Чтобы избежать столкновения с остановившимся на дороге пикапом, водитель легкового автомобиля, ехавшего со скоростью, нажал на педаль тормоза так, что тормозная система стала замедлять автомобиль с постоянной силой. Масса автомобиля 1000 кг.

1. За сколько метров до пикапа надо было начать торможение?

2. Если бы расстояние между автомобилями в момент начала торможения было только 30 м, то при какой скорости возможно столкновение?

Решение

Ответим на первый вопрос, т.е. найдем.

Анализ условия. Можно решать задачу, как мы это делали в курсе динамики:

- на тело действует сила;

- под действием силы оно движется по второму закону Ньютона с ускорением;

- равноускоренное движение мы можем описать формулами кинематики.

Можно по-другому:

- изменяется скорость тела, а значит, и кинетическая энергия;

- сила совершила работу над телом, что изменило его кинетическую энергию.

До начала торможения автомобиль обладал кинетической энергией. Чтобы столкновения не произошло, в конце тормозного пути кинетическая энергия должна уменьшиться до нуля ().

Работа, которая затратится на изменение кинетической энергии, будет равна.

С другой стороны, работа силы трения определяется в данном случае как произведение модулей силы и перемещения, взятое со знаком минус (сила направлена в сторону, обратную перемещению):.

Осталось приравнять выражения для работы и выразить.

Ответим на второй вопрос задачи. Отличие будет в том, что изменится перемещение, поэтому работа станет равна

А скорость, значит, и кинетическая энергия, снизится не до нуля. Уравнение, из которого будем находить скорость, примет вид:.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Выразим скорость.

Вычислим скорость.

Потенциальная энергия

Итак, работа может быть совершена, если тело обладает кинетической энергией. Но работа может быть совершена и в случае с неподвижным объектом, т.е. изначально не имевшим кинетической энергии. Лежащая на полке книга может упасть, тогда сила тяжести совершит работу, книга приобретет кинетическую энергию и в свою очередь подействует на другое тело с силой, которая выполнит работу.

Давайте найдем работу силы тяжести при падении книги.

Пример

Книга массой падает с начальной высоты до конечной высоты (это координаты по оси, положительное направление которой – вверх). Считаем, что на книгу действует только сила тяжести, т.е. не учитываем сопротивление воздуха и т.п. Какую работу совершит сила тяжести на перемещении из точки в точку?

Решение

Работа, по определению, равна силе, умноженной на перемещение (в нашем случае сила и перемещение сонаправлены).

Величина силы равна mg, модуль перемещения тела. Работа равна.

Рассмотрим теперь случай подъема книги, т.е.. В этом случае перемещение направлено вверх (отрицательная величина), а сила по-прежнему вниз. Значит, работа силы тяжести будет отрицательной и равной.

Если тело двигалось не вертикально, а по некоторой кривой траектории BC, то мы можем приблизить ее ступенчатой линией.

На горизонтальных участках работа силы тяжести равна нулю (сила перпендикулярна перемещению), а сумма работ на вертикальных участках равна той работе, какую бы совершила сила тяжести при перемещении по вертикальному отрезку от до. Таким образом, работа при перемещении тела вдоль кривой BC равна, или (буквой часто обозначают высоту над землей).

Итак, работа силы тяжести не зависит от траектории тела, она определяется лишь начальным и конечным положениями тела. Если изменить направление движения по той же траектории, то работа изменит знак.

Из этого следует, что при перемещении по замкнутому контуру работа силы тяжести равна нулю. Это доказывается простым рассуждением. Пусть есть две разных траектории из точки A в точку B. Для них работа силы тяжести одинакова.

Изменим направление движения по одной из них – работа по этой траектории изменит знак, оставаясь такой же по модулю. Но теперь эти две траектории образуют замкнутый путь, состоящий из двух частей, таких, что работы силы тяжести на них имеют разные знаки и одинаковые величины. Следовательно, работа на замкнутом пути, равна сумме работ на двух частях, т.е. равна нулю.

Определение 

Силы, работа которых на любой замкнутой траектории равна нулю, называются консервативными. Латинское слово conservo значит «сохраняю» (мы консервируем на зиму овощи). Так же и при действии консервативных сил сохраняется механическая энергия. Сила упругости также является консервативной. Мы убедимся в этом, вычислив работу, которую совершает сила упругости пружины при перемещении груза.

Пример

Пусть стальная пружина, закрепленная на одном конце, расположена горизонтально. Не будем учитывать силу трения.

На рисунке (a) пружина находится в равновесии – она не сжата и не растянута. Направим ось вдоль пружины, а ее начало совместим со свободным концом пружины в положении равновесия. Определим работу пружины при ее сжатии. Сжатие начинаем из состояния и (рис. b) и заканчиваем его в положении. Итак, нам надо найти работу силы упругости при сжатии пружины на величину.

Решение

Сила упругости пружины направлена в сторону, противоположную перемещению свободного конца пружины, следовательно, ее работа отрицательна.

Мы можем вычислять работу по формуле только для постоянной силы, а сила упругости изменяется по мере сжатия пружины, по закону Гука,, где – сила действия пружины, – расстояние конца пружины от его положения равновесия, – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины. Сила изменяется линейно, тогда среднее значение силы равно среднему арифметическому начального и конечного значений.

На перемещении (направлено против оси) среднее значение силы равно (направлена по оси). Следовательно,.

Из закона Гука и.

Пример

Рассмотрим теперь случай, когда работа силы упругости положительна.

Если тело начало двигаться из положения, указанного на рисунке (a), к положению на рисунке (b) (учтите, что координаты отрицательны), то  и. Следовательно,.

Мы определили работу силы упругости в двух случаях: сила направлена против перемещения и сила направлена по перемещению. Можно было бы рассмотреть и вариант, когда сила направлена под углом к перемещению тела (в этом случае используется проекция силы на перемещение), а также при перемещении тела по кривой произвольной формы. Каждый раз для работы упругой силы получался бы один и тот же ответ – разность значений функции в начальной и конечной точках движения. Таким образом, работа силы упругости не зависит от формы траектории, и, следовательно, она является консервативной силой.

Потенциальная энергия

Мы показали выше, что в случае движущегося тела работа сил любой природы может быть представлена разностью значений кинетической энергии в конечный и начальный моменты времени, на протяжении которого действовала сила и изменялась скорость.

Если работа совершается консервативными силами, то ее также можно представить в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от расположения тел (или частей одного тела): (работа силы тяжести), (работа упругой силы).

/Изменена расстановка абзацев (следующих двух)/

Величину называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли. Обозначают потенциальную энергию, обычно,. Итак,. Величину  называют потенциальной энергией упруго деформированного тела,.

Следовательно, работа консервативных сил равна разности между начальным и конечным значениями потенциальной энергии: (работа силы тяжести), (работа силы упругости).

Оба эти случая можно выразить одной формулой или, т.е. изменение потенциальной энергии равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком.

Определение

Потенциальной энергией системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком.

Поговорим о нулевом уровне энергии. Кинетическая энергия определяется скоростью тела, потенциальная – его положением. И положение, и скорость – относительные величины, зависящие от системы отсчета, поэтому нет абсолютного значения положения или скорости. Значит, и энергия зависит от системы отсчета, и нет абсолютного значения энергии. Нас интересует лишь изменение энергии при переходе системы из одного состояния в другое. Это изменение в разных инерциальных системах отсчета будет одинаковым.

Многие из вас видели в приключенческих фильмах, как персонаж, уклоняясь от погони, выбрасывает из поезда чемодан и прыгает сам на траву вдоль пути. Пока он держит чемодан в руках в поезде, он неподвижен относительно поезда и не обладает кинетической энергией. Но относительно земли он движется вместе с поездом, и относительно земли кинетическая энергия не равна нулю. Человек в этом убедится, если вынет чемодан за дверь: он будет бить по высокой траве, будет совершаться работа по ее перемещению. При этом, когда чемодан упадет на землю, его скорость относительно земли уменьшится с до нуля, а скорость относительно поезда возрастет с нуля до. Изменение энергии будет одинаково:. Можно произвольно выбрать состояние системы, в котором ее потенциальная энергия равна нулю.

То же касается потенциальной энергии, выбор нулевого уровня определяется обычно соображениями удобства. Например, если задать нулевой уровень в состоянии с минимальной для данной задачи энергией, то потенциальная энергия будет всегда неотрицательной.

Ветка. Линейная замена

Мы уже неоднократно использовали свойство инерциальных систем отсчета: все инерциальные системы отсчета равноправны.

Переходя от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы делаем линейную замену, которая, как мы знаем из математики, не меняет тип зависимости, а лишь смещает зависимость. График параболы при линейной замене остается таким же графиком параболы, смещенным на координатной плоскости.

Покажем это на примере. В первой системе отсчета координата тела, которое движется равноускоренно, имеет вид:.

Если вторая система отсчета движется относительно первой равномерно и прямолинейно и ее координата меняется по закону, то в новой системе отсчета координата тела будет равна. На рисунке вы видите пример такой замены.

Если же новая система отсчета будет неинерциальной, т.е. будет двигаться с ускорением, то график будет искажаться и может даже преобразоваться из параболы в прямую при:.

Линейной заменой является и переход между шкалами температур Кельвина и Цельсия:. У них смещен нулевой уровень, но изменение температуры одинаково в обеих шкалах: изменение температуры на 1 градус по Кельвину равно изменению температуры на один градус по Цельсию

Например, если книга всегда падает на стол, то можно за нулевой уровень выбрать энергию взаимодействия книги и земли, когда книга лежит на столе.

Если книга может упасть и на пол, то можно нулевой уровень энергии задать для книги на полу.

А если книгу можно выбросить в окно, то за нулевой уровень удобно выбрать энергию книги на поверхности земли.

У недеформированной пружины потенциальная энергия минимальна, поэтому обычно в этом состоянии потенциальная энергия считается равной нулю.

Превращение энергии. Связь энергии с работой

Энергией обладает тело или система тел, если может быть выполнена работа. Механическая энергия замкнутой системы тел остается постоянной – это закон сохранения механической энергии. Это значит, что способность системы тел выполнить работу сохраняется, но при этом эта способность может переходить от одного тела к другому в пределах системы.

Например, камень закреплен на сжатой пружине – в системе способна выполниться работа. Пружина разжалась и разогнала камень вертикально вверх – система обладает той же энергией, только теперь это кинетическая энергия камня. Камень оказался в верхней точке своей траектории – система обладает той же энергией, но теперь работу способна выполнить сила тяжести, это потенциальная энергия камня.

Работа силы – это способ передачи энергии от одного тела другому при взаимодействии тел с этой силой. Консервативные силы не меняют энергию системы, а лишь превращают ее из одного вида в другой.

Определение

В изолированной системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется. В этом состоит закон сохранения механической энергии:. В случае гравитационной силы запись этого закона выглядит так:, а в случае упругой силы –. Закон сохранения механической энергии утверждает, что если потенциальная энергия тела увеличилась, то кинетическая уменьшилась на ту же величину и наоборот.

Ветка. Движение спутника по эллиптической и круговой орбите

На рисунках представлены круговая (a) и эллиптическая орбиты искусственных спутников Земли. Единственная сила, действующая на спутник, – это притяжение Земли. В каком случае (a) или (b) меняется кинетическая энергия спутника?

На спутник действует только сила тяжести, поэтому изменение кинетической энергии может вызываться только работой этой силы.

Круговая орбита. Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. В случае движения по окружности сила тяжести всегда направлена ортогонально скорости спутника и его перемещению за малый отрезок времени, следовательно, работа силы тяжести на этом перемещении равна нулю. Полная работа силы тяжести, как сумма работ на всех малых перемещениях, тоже равна нулю. Это означает, что кинетическая энергия спутника на круговой орбите не меняется, не меняется и модуль его скорости.

Эллиптическая орбита. В этом случае есть такие участки траектории, где сила тяжести имеет ненулевую проекцию на направление перемещения спутника. На таком участке работа силы тяжести не равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия изменяется. Как видно из рисунка, в верхней половине эллипса угол между силой и перемещением острый, поэтому работа положительна. Следовательно, кинетическая энергия спутника и его скорость на этом участке увеличиваются.

На нижней части траектории угол между силой и перемещением тупой, следовательно, работа силы тяжести отрицательная и кинетическая энергия тела и его скорость уменьшаются.

Итак, в перигее (ближней к Земле точке траектории) кинетическая энергия спутника максимальна, а в апогее (дальней от Земли точке) – минимальна. Потенциальная гравитационная энергия спутника, как вы уже догадались, наоборот, максимальна в апогее (на самой большой высоте) и минимальна в перигее (на самой малой высоте).

Полная механическая энергия в обоих случаях (круговая и эллиптическая орбита) неизменна – закон сохранения механической энергии.

Что же происходит при наличии неконсервативных сил? Всё просто: ничего не исчезает бесследно и не возникает из ниоткуда, и если при их отсутствии изменение полной механической энергии равно нулю, то при их наличии полная механическая энергия изменяется на величину работы, которую совершила неконсервативная сила.

Рассмотрим, как происходит превращение энергии в случае с качелями. Качели изначально неподвижны и энергией не обладают.

Ветка. Потенциальная энергия качелей

На самом деле сидение качелей обладает потенциальной энергией: если сидение отпадет, то оно будет падать на землю с некоторой высоты, приобретет кинетическую энергию. Но мы на разрушение качелей не рассчитываем, поэтому принимаем за нулевой уровень положение с минимальной в данной задаче потенциальной энергией – положение сидения в состоянии покоя.

Подошел ребенок и толкнул качели. Что в этот момент произошло? Он подействовал на качели с силой, которая не является консервативной, является внешней для системы и которая придает качелям ускорение, разгоняя их до скорости и перемещая их за это время на расстояние.

Таким образом, была выполнена работа, посредством которой сила руки ребенка увеличила кинетическую энергию качелей:. Что происходит дальше? На качели действует сила тяжести, которая замедляет их до тех пор, пока они не достигнут верхней точки траектории, в которой остановятся. Сила направлена против перемещения, поэтому работа отрицательна.

Она равна кинетической энергии, которую потеряли качели при замедлении. Но теперь сила тяжести может разогнать качели при обратном движении, т.е. выполнить такую же положительную работу, а это значит, что появилась потенциальная энергия.

Таким образом, после того как действие внешней силы (руки ребенка) прекратилось, механическая энергия системы с момента прекращения действия силы остается постоянной. Работа силы тяжести на разных участках пути положительна или отрицательна, в зависимости от направления движения качелей. Наша замкнутая система сохраняет свою полную механическую энергию, поэтому качели в таком случае могли бы раскачиваться бесконечно долго. В жизни же мы такого явления не наблюдаем: любые качели рано или поздно останавливаются, если их не раскачивать (не совершать работу). В чем дело?

Закон сохранения энергии всё равно выполняется. В реальном, не модельном случае, в месте крепления качелей к перекладине всегда возникает трение. Сила трения в любой момент времени направлена против движения, поэтому на любом участке движения сила трения выполняет отрицательную работу, а значит, уменьшает энергию системы (сила трения является не консервативной силой).

Так происходит до тех пор, пока энергия системы не станет равна нулю, как было в исходный момент времени. Куда же девается энергия? Работа – способ передачи и превращения энергии, а не ее исчезновения: механическая энергия переходит в тепловую энергию и даже в энергию звуковых колебаний – скрипа несмазанного крепления.

Ветка. Тепловая энергия

Внутренняя или тепловая энергия связана с движением частиц вещества – атомов и молекул. Это их суммарная кинетическая энергия. Таким образом, если над телом выполняет работу неконсервативная сила, происходит повышение внутренней энергии тела и соответственно нагревание.

Например, греется трущееся о бетон сверло дрели: работа силы трения затрачивается на повышение внутренней энергии сверла и бетона. Греется проволока, которую мы гнём: внутренняя энергия повышается за счет работы силы неупругой деформации – также неконсервативной силы. Греется гвоздь под ударами молотка: действуют сразу две неконсервативные силы – сила трения гвоздя о древесину и силы неупругой деформации гвоздя и древесины.

Таким образом, в системе, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия постоянна. При наличии неконсервативных сил полная энергия системы постоянна (сумма механической и тепловой энергии).

Еще раз обратим внимание: изолированная система является моделью и в реальных процессах не встречается. Обычно движение сопровождается трением, а зачастую также и неупругой деформацией, и в этих случаях полная механическая энергия не остается постоянной.

Бильярдный шар, катящийся по столу, или шайба, скользящая по льду, баскетбольный мяч, прыгающий на полу спортзала, маятник – мы знаем из опыта, что всякое движение рано или поздно останавливается под действием неконсервативных сил.

Однако в некоторых случаях мы может пренебречь их действием и в рамках решаемой задачи использовать модель изолированной системы. Например, рассматривая движение мяча на протяжении одного прыжка, считаем, что трением о воздух можно пренебречь, а неупругая деформация произойдет только в момент удара о пол. Рассматривая движение шайбы на протяжении короткого времени, можем считать, что сила трения не успеет заметно уменьшить механическую энергию.

Примеры решения задач

Рассмотрим задачу, с которой многие в детстве сталкивались.

Задача

Во дворе дети играли в футбол, и после высокого полета мяч застрял в ветках дерева на высоте. Чтобы выбить мяч из веток, нужно совершить работу. Если дети хотят его сбить камнем, то с какой скоростью им нужно его бросить, если масса камня, а уровень плеча ребенка –? Какую работу совершит сила тяжести во время полета камня?

Анализ условия

Есть два положения камня:

- в начальный момент времени камень имеет начальную скорость и кинетическую энергию,

- в момент столкновения с мячом камень имеет потенциальную энергию и кинетическую энергию, достаточную, чтобы сбить мяч.

Будем применять закон сохранения энергии.

Решение

Трением воздуха можем пренебречь, тогда на камень действует только сила тяжести, которая является консервативной, поэтому полная механическая энергия камня будет постоянной. Удобно принять уровень плеча ребенка за уровень нулевой потенциальной энергии (этот уровень – низшая точка траектории камня, которая нас интересует. К тому же в такой системе отсчета камень в момент броска будет обладать только кинетической энергией).

По закону сохранения энергии, энергия камня в момент броска равняется энергии камня в момент, когда он будет сбивать мяч. В момент броска в выбранной системе отсчета камень обладает только кинетической энергией. В момент, когда он будет находиться на уровне мяча, он будет обладать потенциальной энергией. Для выполнения работы камень должен обладать еще кинетической энергией, равной по величине этой работе:. Запишем закон сохранения энергии.

Остается найти начальную скорость броска.

Найдем работу силы тяжести. Работа силы тяжести изменила кинетическую энергию камня:.

Т.е. равна приобретенной потенциальной энергии со знаком минус. И действительно, сила тяжести противодействовала перемещению (камень летел вверх, сила тяжести действует вниз), поэтому работа силы тяжести отрицательна.

Задача

При выполнении трюка лыжник движется по трамплину под действием силы тяжести, начиная движение из состояния покоя с высоты. На краю трамплина скорость лыжника направлена под углом к горизонту. Пролетев по воздуху, лыжник приземляется на горизонтальную дорожку, находящуюся на той же высоте, что и край трамплина. Какова дальность полета  на этом трамплине? Сопротивлением воздуха и трением пренебречь.

Анализ условия

- В начальный момент времени на высоте лыжник имел потенциальную энергию, в момент отрыва от трамплина – кинетическую. Будем применять закон сохранения энергии.

- Лыжник после трамплина – это тело, брошенное под углом к горизонту, угол известен.

- Представим движение лыжника как сумму двух движений: равномерного горизонтального и ускоренного (с ускорением свободного падения) вертикального.

Решение

Трением пренебрегаем, значит, полная механическая энергия сохраняется. Запишем закон сохранения энергии.

- потенциальная энергия лыжника на горе,

- она переходит в кинетическую энергию движения, и эта скорость равна начальной скорости полета после трамплина:.

Рассмотрим теперь движение лыжника на втором этапе. Такие задачи мы неоднократно решали в разделе кинематика.

Выберем систему координат. Удобно направить оси так, чтобы направление броска было положительным в проекциях на оба направления.

Перепишем условие в виде уравнений. Траектория тела – это сумма двух движений: равномерного прямолинейного по и свободного полета по. По оси дальность полета равна, для нашей задачи:, где – время полета, – проекция начальной скорости.

По оси лыжник за время полета приобретет скорость, т.к., по закону сохранения энергии, на уровне земли кинетическая энергия лыжника одинаковая, как и модуль скорости. Скорость для равноускоренного движения равна:.

И для нашей задачи:.

Получили систему уравнений, решив которую найдем дальность полета:

Свертка. Математическая часть решения задачи

Из третьего уравнения выразим время полета:.

Из первого уравнения выразим начальную скорость прыжка:.

Подставим полученные выражения во второе уравнение:

Закон сохранения энергии при наличии неконсервативных сил

Закон сохранения механической энергии выполняется при действии только консервативных сил (тяжести, упругости). Многие силы не являются консервативными. При их действии энергия не сохраняется, она рассеивается, например, в виде тепла, звука т.п.

По определению консервативными мы назвали силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю. Соответственно, работа неконсервативных сил на замкнутом пути нулю не равняется. Неконсервативными являются сила трения скольжения, неупругие силы при пластических деформациях, сила тяги двигателя самолета и т.п.

Пример

Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух брусков с массами и, двигавшихся навстречу друг другу со скоростями и. Напомним, что абсолютно неупругое столкновение – это столкновение, после которого тела сцепляются и продолжают движение как одно целое.

При таком столкновении выполнен закон сохранения импульса. Силы, возникающие при неупругой деформации, являются неконсервативными, закон сохранения механической энергии не выполнен, часть энергии перейдет в тепловую.

Тела двигаются в горизонтальной плоскости, поэтому потенциальная энергия не меняется, и мы можем считать кинетическую энергию полной механической энергией.

Направим ось вправо и рассмотрим закон сохранения импульса, из которого найдем скорость после столкновения.

Энергия брусков до столкновения:.

Энергия брусков после столкновения:

Потери механической энергии:.

(попробуйте получить это выражение самостоятельно)

Свертка. Вывод формулы для ΔE

Приведем к общему знаменателю.

Раскроем скобки.

Вынесем за скобки.

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы, получим:

Обратите внимание: рассмотрим случай и по модулю, то есть абсолютно неупругое столкновение при равных и противоположно направленных скоростях. Тогда (оба тела останавливаются) и. Вся кинетическая энергия переходит в тепловую, звуковую и пр. При этом общий закон сохранения энергии (для всех ее видов: механической, тепловой, звуковой, электрической и пр.), как всегда, выполняется.

Подведем итоги. Для решение задач, подобных рассмотренным, необходимо следующее.

Знать

1) Законы Ньютона.

2) Определение механической работы.

3) Закон сохранения энергии.

4) Формулы для кинетической энергии, потенциальной энергии тела на высоте и потенциальной энергии сжатой пружины.

Уметь

1) Применять закон сохранения энергии для изолированной и неизолированной системы.

2) Определять полную механическую энергию системы.

3) Выбирать удобный для решения задачи уровень нулевой энергии.

Понимать

Энергия не исчезает бесследно и не возникает ниоткуда. Она переходит из одного вида в другой. Если в системе действуют только консервативные силы, они совершают работу, равную изменению потенциальной и кинетической энергии. Если действуют неконсервативные силы, они преобразуют часть механической энергии во внутреннюю.

Заключение

На этом уроке мы изучили:

• Виды механической энергии;

• Связь энергии с работой;

• Закон сохранения энергии.

Теперь вы можете приступать к решению задач на закон сохранения энергии.

На следующем уроке мы займемся решением комбинированных задач по теме «Законы сохранения».

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1) http://interneturok.ru/ru/school/physics/7-klass/rabota-moshnost-energija/energiya-zakon-sohraneniya-energii?seconds=0

2) http://interneturok.ru/ru/school/physics/7-klass/rabota-moshnost-energija/reshenie-zadach-na-temu-zakon-sohraneniya-energii?seconds=0

3) http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/rabota-sily-tyazhesti-potentsialnaya-energiya-tela-podnyatogo-nad-zemley?seconds=0

4) http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/potentsialnye-konservativnye-i-nepotentsialnye-sily-potentsialnaya-energiya?seconds=0

5) http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/rabota-sily-uprugosti-potentsialnaya-energiya-uprugo-deformirovannogo-tela?seconds=0

6) http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/potentsialnaya-energiya-v-odnorodnom-pole-tyazhesti-potentsialnaya-energiya-uprugoy-deformatsii?seconds=0

7) http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/zakon-sohraneniya-energii-rabota-sily-treniya?seconds=0

8) http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/mehanicheskaya-energiya-zakon-izmeneniya-sohraneniya-mehanicheskoy-energii?seconds=0

9) http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/bzakony-sohraneniya-v-mehanikeb/potentsialnaya-energiya-v-pole-tyagoteniya-vtoraya-kosmicheskaya-skorost?seconds=0

Тайминг урока:

Видео №1

00:00 – 13:05 – Энергия. Кинетическая энергия;

13:06 – 28:00 – Потенциальная энергия;

Видео №2

00:00 – 06:52 – Превращение энергии. Связь энергии с работой;

06:53 – 14:12 – Примеры решения задач;

14:13 – 19:19 – Закон сохранения энергии при наличии неконсервативных сил;

19:20 – 19:55 – Заключение