22. Производная (основной урок)

Определение производной

В жизни мы часто сталкиваемся с необходимостью оценить скорость (чтобы оценить время движения объекта). Например, если мы увидели знакомого и захотели его перехватить, то нам нужно оценить его скорость, расстояние до знакомого и прикинуть место встречи. Лягушка, которая хочет поймать комара, должна оценить скорость его полёта, чтобы, зная время выбрасывания своего языка, просчитать, в какой точке комар и её язык смогут оказаться одновременно.

Как же люди и животные оценивают скорость движения объекта? Конечно, точный механизм действия нашего мозга в такой ситуации описать тяжело, однако общая схема следующая: фиксируется картинка с положением объекта в один момент времени, затем в какой-то следующий момент времени. Расстояние, которое преодолел объект за это время, оценивается с помощью окружающих предметов, размеры которых приблизительно известны, а затем делится на время между измерениями положения объекта.

Понятно, что скорость объектов в реальной жизни не является постоянной, поэтому оценка будет тем точнее, чем меньше времени проходит между измерениями. Например, если тело за первую секунду проходит 1 метр, а за вторую 2, то его скорость будет 1,5 м/с (если время между замерами 2 с), хотя на второй секунде она уже равнялась 2 м/с и, скорее всего, продолжит увеличиваться. Значит, наиболее точной оценка мгновенной скорости (то есть скорости в данный момент времени) будет в том случае, когда время между определениями положения тела будет стремиться к нулю.

Пусть координата тела меняется с течением времени по закону: . Тогда скорость изменения координаты в данный момент  (мгновенная скорость) будет равна , если . Где – время, а  – координата объекта в момент второго определения его положения. Для удобства записи обозначим величину  – приращение аргумента,  – приращение функции. По сути, величины ,  мы и измеряем для определения скорости.

По аналогии с мгновенной скоростью определим скорость роста функции в точке  как отношение приращения функции в точке  к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Скорость роста функции в точке называется производной функции в точке. Математическая запись сформулированного определения выглядит так:

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Ветка. Гладкость функции

Понятно, что не во всех случаях можно говорить о скорости изменения функции. Например, рассмотрим функцию . Если смотреть слева от точки ноль на эту функцию, то функция убывает с постоянной скоростью, а справа – возрастает, тоже с постоянной скоростью. То есть в точке ноль скорость должна поменяться с отрицательной на положительную. Однако мы понимаем, что это невозможно (представьте себе: машина едет вправо со скоростью 1 м/с, а в следующее мгновение – влево со скоростью 1 м/с: понятно, что сначала машина должна перестать двигаться вправо (то есть скорость должна уменьшиться до нуля, а потом должна увеличить скорость движения в противоположном направлении до 1 м/с). Поэтому для таких функций, как модуль (у которых есть точки, в которых образуется угол), мы не будем рассматривать скорость изменения функции.

Мы будем рассматривать это понятие только для гладких (без угловых точек), непрерывных (будем считать непрерывными на отрезке те функции, график которых на этом отрезке можно нарисовать, не отрывая руку от бумаги) функций. Большинство уже изученных нами функций являются таковыми: например, линейная, квадратичная, показательная, логарифмическая функции, а также синус и косинус являются гладкими и непрерывными на своей области определения. Тангенс и котангенс являются такими на каждом своём периоде.

Используя определение производной, мы можем записать, что , то есть мгновенная скорость – это производная от координаты в некоторый момент времени.

Итак, мы сформулировали определение производной. Теперь наша задача научиться вычислять производные от различных функций. Проще всего это сделать для функций, заданных формулами (аналитически). Для этого нужны некие инструменты.

1) Сначала выведем производные от комбинаций функций: суммы, произведения, сложной функции и т.д.

2) С помощью определения и полученных на первом шаге формул получим производные часто встречающихся функций.

Дальше мы сможем вычислить производную от любой функции, представленной в виде комбинации стандартных функций.

Свойства производных

Задача

Найти производную от функции, умноженной на константу , по определению.

Решение:

.

Второй множитель, по определению, равен производной функции. Получаем, что множитель-константу можно выносить за знак производной. Например: .

Задача

Найти производную от суммы функций , по определению.

Решение:

То есть производная от суммы функций равна сумме производных от каждой из этих функций. Данный результат можно обобщить для любого количества слагаемых. Теперь можно получить аналогичную формулу для производной от разности двух функций:

 .

Значит, производная от разности двух функций равна разности производных. Пример вычисления производной с использованием этих свойств:

Задача

Получить формулу для производной произведения функций , по определению.

Решение:

Таким образом, мы вывели формулу: . С помощью этой формулы можно найти производную от произведения двух функций. Например, .

Попробуем с помощью формулы для производной произведения получить формулу для производной от частного функций: . И здесь мы сталкиваемся с проблемой: как посчитать производную от функции ? Вы можете попробовать сделать это самостоятельно, по определению (если всё сделать правильно, то ваш результат должен совпасть с тем, который мы сейчас получим). Посмотрим на проблему более общо: нам необходимо посчитать производную от функции , то есть от сложной функции, являющейся комбинацией двух других функций. Как это сделать?

Задача

Вывести формулу для производной сложной функции , по определению.

Решение:

Рассмотрим полученный результат на конкретном примере. Найдём производную от функции: . Теперь мы должны вычислить производную от данной функции по  и умножить на производную самой функции  по : .

Теперь воспользуемся полученной формулой для производной сложной функции, чтобы вычислить производную: . Если теперь вернуться к нашему вычислению производной частного функций:

Вычисление производных некоторых функций

Поскольку производная – это скорость роста функции, то, как мы уже говорили, производная от константы равна 0. Действительно, для любого приращения аргумента приращение функции для константы равно 0 (функция принимает одинаковые значения во всех точках), значит: : .

1. 

2. . Мы получим эту формулу для натуральных показателей степеней. Однако эта формула верна для любых действительных показателей степени.

Значит, .

3. . Запишем определение:

.

Важно, что получившийся предел (его ещё называют замечательным) равен 1. То есть вблизи нуля  и  практически одинаковы. Получаем, что производная от синуса – это косинус. Зная производную от синуса, можно с помощью производной сложной функции вычислить производную от косинуса. Для этого воспользуемся формулами приведения: . Найдём производную правой части – это сложная функция.

Значит, .

А зная производные от синуса и косинуса, можно вывести формулы для производной тангенса и котангенса через формулу производной частного. Рассмотрим: . Аналогично можно вывести и формулу для производной котангенса: .

Практика по вычислению производных

Таблица производных:

, где  – любое действительное число

, ,

,

, , ,

Пример

Найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

Решение

1)  – это число, по таблице производных , значит, .

2) Используя определение степени с отрицательным показателем, приводим данную функцию к виду: .

По таблице производных , значит, .

3) Используя определение степени с рациональным показателем, приводим данную функцию к виду: .

По таблице производных , значит, .

4) Используя определение степеней с отрицательным и рациональным показателем, получаем .

По таблице производных , значит, .

Пример

Найти производную функции:

1)

2)

Решение

1)

По таблице производных .

2)

По таблице производных , , .

Чтобы найти производную в некоторой точке , необходимо вычислить производную от функции, а затем подставить в полученный результат . Например, производная от  в точке : .

Пример

Найти производную функции в точке :

1) ,

2) ,

3) ,

Решение

1) Сначала найдем производную: .

Теперь посчитаем значение производной в указанной точке:  – значение производной будет одинаковым во всех точках.

2) Сначала найдем производную:

.

Теперь посчитаем значение производной в указанной точке: .

3) Сначала найдем производную:

.

Теперь посчитаем значение производной в указанной точке:

.

Пример

Найти производную функции: .

Решение

Пример

Найти производную функции:

1)

Решение

Ветка. Через производную произведения и сложной функции

2)

3)

Пример

Найдите производную сложной функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Решение

2)

3)

4)

5)

6)

Пример

Найти производную функции:

1)

2)

3)

Решение

1)

2)

3)

Пример

У функции  в точке  есть производная . Вычислите значение производной функции  в точке , если .

Решение

Найдем производную , функция представляет собой произведение двух функций: . Теперь найдем значение производной в точке : .

Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.

Знать

Определение и свойства производной.

Уметь

Вычислять производные, используя определение и свойства производной.

Производные высших порядков

При решении различных задач возникает необходимость найти производную от производной. В частности, так как производная – это скорость, то производная производной – это скорость изменения скорости, то есть ускорение. На следующем уроке мы узнаем, что вторая производная также помогает определять направление выпуклости функции и экстремальные точки функции. Поэтому необходимо научиться вычислять производные второго, третьего и т.д. порядков.

Вычисление производной 2 порядка состоит из двух этапов. Необходимо вычислить производную первого порядка. Затем необходимо вычислить производную от полученной на первом шаге функции.

Для вычисления производной третьего порядка необходимо взять производную от второй производной и т.д.

Пример

Найти производную второго порядка функции .

Решение

Сначала найдем первую производную:

.

Теперь найдем производную второго порядка, для этого возьмем производную от :

.

Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.

Уметь

Вычислять производные от различных функций.

Понимать

Вторая производная – это производная от первой производной.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели определение и свойства производной, вычисление производных от различных функций, производных высших порядков.

На следующем уроке мы рассмотрим геометрический и механический смысл производной, а также уравнение касательной к графику функции.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/proizvodnaya

2. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/bpovtorenie-kursa-algebry-10-klassab/proizvodnaya-tablitsa-proizvodnyh

3. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/primery-vychisleniya-proizvodnyh-funktsiya-f-x-x-sup-2-sup-tipovye-zadachi

4. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/differentsirovanie-funktsii-y-f-kx-m

5. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/differentsirovanie-slozhnyh-funktsiy-zadacha-iz-praktiki-podgotovki-k-ege-po-matematike

6. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/pravilo-differentsirovaniya-tipovye-zadachi