45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)

Треугольник

Пример

Стороны треугольника равны 11 см, 12 см и 13 см. Найдите медиану, проведенную к большей стороне треугольника.

Решение

1 способ:

1) По теореме косинусов: .

2) .

3) : по теореме косинусов:

2 способ:

1)  – параллелограмм

Пример

В прямоугольном треугольнике  известно, что , . Найдите радиус окружности, проходящей через точки , , и точку пересечения биссектрисы угла  с катетом .

Решение

1)  – биссектриса

;

2) По теореме Пифагора:

3) Радиус окружности , проходящей через , , , – радиус окружности, описанной вокруг .

По теореме Пифагора:

Пример

В равнобедренный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 10 см, а точки касания делят боковые стороны на отрезки, длины которых относятся как 8:5, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

1)

2) : по теореме Пифагора .

3) 

4) 

Пример

В треугольнике  известно, что ,  и  – высоты треугольника, . Найдите .

Решение

1) 

2) 

Пример

В треугольнике  точка  – центр вписанной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если , , .

Решение

1)  – центр вписанной окружности ,  – биссектрисы

2)

По теореме косинусов:

3) : По теореме синусов: 

Многоугольник и окружность

Пример

Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на ее большем основании. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а ее высота – 12 см.

Решение

1)

2) (опирается на диаметр)

3) 

Пример

Точка пересечения биссектрис острых углов при большем основании трапеции принадлежит меньшему основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота – 15 см.

Решение

1)  – равнобедренный

2)  – равнобедренный

3)

4) , -  высоты,

5) 

Пример

Прямая  – общая внешняя касательная двух окружностей, радиусы которых равны 3 см и 8 см, а расстояние между их центрами – 13 см. Найдите расстояние между точками касания прямой  с данными окружностями.

Решение

1)  – прямоугольная трапеция

2)

3)

Пример

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен .

Решение

,  – биссектриса

 – равносторонний

Пример

Площадь ромба равна , а его диагонали относятся как 5:12. Найдите периметр ромба.

Решение

1) 

2)

3)

Многогранники

Пример

В правильной треугольной призме  сторона основания равна 8 см, а боковое ребро – 2 см. Через сторону  нижнего основания и середину стороны  верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

Решение

1) 

2)

,

По теореме Пифагора:

3)

,

По теореме Пифагора:

4) 

Пример

Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом . Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 12 см.

Решение

1) :

2) :

3)

4) 

Пример

Ребро куба равно 2 см. Чему равна площадь треугольника ?

Решение

1)

2) 

3) 

Пример

Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину высоты проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол . Найдите объем пирамиды, если ее высота равна .

Решение

1)

2) 

3) 

Цилиндр, конус, шар (сфера)

Пример

В основании конуса проведена хорда длиной , которая видна из центра основания под углом , а из вершины конуса – под углом . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение

1) : по теореме косинусов:

2) : по теореме косинусов:

3) 

Пример

Параллельно оси цилиндра проведено сечение, являющееся квадратом со стороной 6 см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение

1)  – квадрат, ;

2)

3)

Пример

Параллельно оси цилиндра проведено сечение, являющееся квадратом со стороной 6 см и отсекающее от окружности основания дугу . Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение

1)  – квадрат, ;

2) в треугольнике : . По теореме Пифагора  

3) тогда искомая площадь:

Пример

В основании конуса проведена хорда длиной , которая видна из центра основания под углом , а из вершины конуса под углом . Найти площадь боковой поверхности конуса.

Решение

1) из треугольника  по теореме косинусов: 

2) из треугольника  по теореме косинусов: 

3) тогда искомая площадь: 

Пример

На расстоянии 12 см от центра шара проведена плоскость. Площадь образовавшегося сечения равна . Найдите площадь поверхности шара.

Решение

1)

2)

3)

Координаты, векторы

Пример

На стороне  параллелограмма  обозначена точка  так, что . Выразите вектор  через векторы  и , где , .

Решение

По правилу треугольника:

Пример

Четырехугольник  – параллелограмм, , , . Найдите координаты вершины .

Решение

1)  – середина 

2)  – середина

Пример

Найдите координаты точки, которая принадлежит оси ординат и равноудалена от точек  и .

Решение

Пример

Вычислите скалярное произведение , если , .

Решение

Пример

Докажите, что четырехугольник  с вершинами в точках , , ,  является ромбом.

Решение

 – середина

 – середина

 и  совпадают, значит,  – параллелограмм.

;

 – ромб.

Заключение

На этом уроке мы повторили геометрию. На следующем уроке мы начнём повторять весь курс и решать различные задачи по темам из ЕГЭ.

Ссылки на интернет-уроки по рассмотренным темам:

1. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika/reshenie-treugolnikov

2. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

3. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/vpisannye-i-opisannye-okruzhnosti-2

4. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-tsilindr

5. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-konus

6. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/sfera-i-shar

7. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/metod-koordinat

8. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/ponyatie-vektora-ravenstvo-vektorov