45. Промежуточный срез №7. Повторение. Практика (основной урок)

Площадь поверхности и объём призмы

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.

Полная поверхность призмы равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания или ортогонального сечения на высоту призмы: .

Объем тела – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. равные тела имеют равные объемы;

2. если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей (простое тело – тело, которое можно разбить на конечное число треугольных пирамид);

3. объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Теорема 2. Объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту: .

Важно понимать,что параллелепипед является частным случаем призмы и формулы его площади поверхности и объема идентичны.

Площадь поверхности и объём пирамиды

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Теорема 3. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: .

Теорема 4. Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: .

Площадь поверхности и объём цилиндра

Круговым цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие точки окружностей этих кругов, – образующими цилиндра.     

Свойства цилиндра:

• основания цилиндра равны,

• основания лежат в параллельных плоскостях,

• образующие параллельны и равны.      

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания, высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований, осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры его оснований.

Боковая поверхность (ее площадь) цилиндра высотой  и радиуса  равна произведению длины окружности оснований на высоту: .

Полная поверхность цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: .

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: .

Площадь поверхности и объём конуса

Конусом называют тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга – вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

В конус можно вписать пирамиду. Вписанной в конус называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания, вершиной является вершина конуса, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса.

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

Теорема 5. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: .

Теорема 6. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле , где  – длина окружности основания,  – радиус основания конуса, а  – длина образующей.

Площадь поверхности и объём шара

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

Граница шара называется сферой. Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние равное радиусу шара.

Теорема 7. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Плоскость, проходящая через точку  сферы и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку , называется касательной плоскостью. Точка  называется точкой касания.

Теорема 8. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Теорема 9. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Теорема 10. Объем шара радиуса  вычисляется по формуле .

Теорема 11. Площадь сферы радиуса  вычисляется по формуле .

Аксиомы стереометрии

Основные фигуры стереометрии: точка, прямая, плоскость.

Плоскость можно представлять себе в виде гладкой поверхности, простирающейся неограниченно во все стороны.

На чертежах плоскость изображают параллелограммом или произвольной областью. Обозначают ее обычно греческими буквами , …

Аксиомы стереометрии

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости.

Следствие

Если прямая не лежит в данной плоскости, она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямые, которые не пересекаются, но не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек.

Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек.

Свойства

1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости, и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Взаимное расположение плоскостей

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема о трёх перпендикулярах и обратная к ней

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок (), соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий на плоскости (), называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки () до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость (длина ).

Наклонной, проведенной из данной точки () к данной плоскости, называется любой отрезок (), соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости (), называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной ().

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

Обратная теорема о трех перпендикулярах

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Угол между плоскостями

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая – ребром двугранного угла.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым (лучам). Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.

За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла.

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающими прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Теорема

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Теоремы стереометрии

Теорема 1. Через прямую () и не лежащую на ней точку () проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые ( и ) проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 3. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Теорема 4 (признак параллельности прямых). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теорема 5 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

На чертеже:  – плоскость,  – не лежащая в плоскости прямая,  – прямая в плоскости , параллельная прямой .

Теорема 6 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

На чертеже  и  – данные плоскости,  и  – прямые в плоскости , пересекающиеся в точке , , и , соответственно параллельные им прямые в плоскости .

Теорема 7 (существование плоскости параллельной данной). Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 8. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

На чертеже  и  – перпендикулярные прямые,  и  – параллельные им пересекающиеся прямые.

Теорема 9 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Пусть  – прямая, перпендикулярная прямым  и  в плоскости . Тогда прямая  проходит через точку  пересечения прямых  и .

Теорема 10 (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

На чертеже  – плоскость,  – перпендикулярная ей прямая,  – плоскость, проходящая через прямую , и  – прямая, по которой пересекаются плоскости  и .

Геометрические тела (основные понятия)

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (граней). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника.

Призма

Призмой называется многогранник, который состоит из двух одинаковых плоских многоугольников, лежащих в разных параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, – боковыми ребрами призмы. Боковые ребра равны и параллельны.

Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.

Призма называется -угольной, если ее основания – -угольники.

Призма называется прямой, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной. У прямой призмы боковые грани – прямоугольники.

Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольникам.

Параллелепипед

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. Параллелепипед может наклонным и прямым.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими (или противоположными). Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является -угольник.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями, остальные грани – боковыми гранями.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

Правильная треугольная пирамида, у которой боковые ребра равны сторонам основания, называется тетраэдром.

Построение сечений

Любую плоскость, по обе стороны которой имеются точки данного многогранника, называют секущей плоскостью.

Секущая площадь пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Система координат. Координаты

Прямоугольная (декартова) система координат состоит из точки отсчета, осей с заданным положительным направлением и единичного отрезка.

Каждая координата некоторой точки в декартовой (прямоугольной) показывает смещение точки относительно начала координат по соответствующей оси. Если смещение совпадает с направлением оси, то соответствующая координата точки положительна, а если нет, то отрицательна.

Для однозначного задания координаты точки на плоскости в любой системе координат нужно два параметра, в пространстве – три.

В полярной системе координат точка задается расстоянием от начала отсчета и углом поворота относительно положительного направления оси.

Точка и отрезок на плоскости и в пространстве

Декартова система координат на плоскости состоит из двух перпендикулярных осей (горизонтальная – ось  (абсцисс), вертикальная – ось  (ординат)). Эти оси пересекаются в точке  – начале координат (координаты – ).

Для каждой оси задано положительное направление (стрелкой) и масштаб (единичный отрезок).

Любая точка на плоскости имеет две координаты – абсциссу (сдвиг по оси относительно точки ) и ординату (сдвиг по оси  относительно ).

Если точка не сдвинута относительно начала координат (то есть лежит на оси), то её соответствующая координата равна 0.

Координаты точки  – это длины проекций отрезка  на оси координат (с точностью до знака).

Симметрия

Чтобы получить точку, симметричную данной, относительно оси абсцисс, нужно сменить на противоположную ординату точки.

Чтобы получить точку, симметричную данной, относительно оси ординат, нужно сменить на противоположную абсциссу точки.

Чтобы получить точку, симметричную данной, относительно начала координат, нужно сменить на противоположные обе ее координаты.

Две точки на плоскости задают отрезок. Отрезок характеризуется длиной.

Длина отрезка с известными координатами начала и конца равна:

.

Координаты точки , которая делит отрезок  с известными координатами в заданном отношении  вычисляются по формуле: ; .

В трёхмерной системе координат (в пространстве) три перпендикулярных оси – ось абсцисс (), ординат () и апликат ().

Координаты любой точки  – это длины проекций отрезка  на каждую из осей координат (с точностью до знака).

Длина отрезка и координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, вычисляются аналогично.

Уравнение прямой на плоскости

Прямая в декартовой системе координат задается уравнением .

При этом  – тангенс угла наклона прямой к положению направления оси .

 – точка пересечения прямой с осью .

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: .

Уравнение прямой через две заданные точки: .

Уравнение прямой и плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид: .

Чтобы найти уравнения плоскости, проходящей через три точки, можно подставить координаты точек, составить систему из трех уравнений и найти коэффициенты.

Например: , , .

Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей: .

Но чаще используют два других уравнения прямой:

 – через две заданные точки  и ;

 – уравнение прямой через точку , параллельную вектору .

Расстояние от точки  до плоскости: : :

.