48. Импульс. Закон сохранения импульса (основной урок)

Импульс. Второй закон Ньютона в импульсной форме. Закон сохранения импульса

Сегодня мы поговорим о том, как передается движение. Почему, когда в вас неожиданно бросят мячом, вы почувствуете сильный толчок? Потому что мяч летел быстро. А если вас толкнет проезжающий мимо с небольшой скоростью велосипедист? Скорость у него намного меньше, а толкнет так же сильно, потому что он тяжелее. Так что же важнее – скорость или масса и как их сравнивать? Давайте разберемся.

Попробуем решить задачу.

Пример

На катке один человек массы стоит, другой массы  наезжает на него со скоростью, обхватывает первого, и они уже вместе едут дальше. Можно ли посчитать, какова будет их скорость после столкновения?

Решение

Задача на первый взгляд кажется неразрешимой: мы знаем, что движение телу придает приложенная сила. Но как найти нужную нам силу? Мы знаем о законе сохранения энергии. Но здесь мы не можем знать, сколько энергии ушло на само столкновение, сколько при этом выделилось тепла…

Конечно, мы можем сделать некоторые качественные выводы типа того, что:

- при данном отношении, чем больше скорость наезжающего, тем больше совместная скорость после.

- при данной, чем больше, тем меньше скорость после.

Но как посчитать точно? И можно ли?

Применим следствие второго закон Ньютона:. Запишем его так, чтобы в нем участвовали данные задачи, то есть скорости тел. Для этого воспользуемся определением ускорения .
 или. Назовем, как в физике принято, импульсом материальной точки, имеющей скорость. Обозначается импульс. Сила, какое-то время действующая на тело, приводит к изменению его импульса. Величина называется импульс силы.

Теперь можно словами сказать так: если сила, приложенная к телу за время, равнялась нулю, то и изменения импульса за это время не произошло.

Это и есть великий закон сохранения импульса, который справедлив и для системы тел, и формулируется так: если сумма внешних сил равна нулю, то импульс системы тел сохраняется.

Импульс – величина векторная, поэтому его можно рассматривать, как и другие векторные величины, отдельно в разных проекциях.

Если сумма внешних сил не равна нулю, но проекция суммы сил на некое направление равна нулю, то проекция суммарного импульса системы на это направление не меняется.

Подчеркнем: неважно, как взаимодействовали тела: упруго или слипались, теряли при столкновении энергию на тепло или нет, сколько их было, всё это неважно – сумма импульсов до столкновения и после одинакова.

Решим теперь нашу задачу. Итак, один человек стоял, то есть его скорость равнялась нулю, и потому его импульс был равен нулю.

Импульс второго перед столкновением равен. После столкновения их общий импульс равен, где – скорость, которую мы хотим найти.

Теперь внимание: на нашу систему не действуют внешние силы, значит, можем применить закон сохранения импульса.

Так как скорости направлены в одну сторону вдоль одной прямой, то можно записать в скалярном виде.

Отсюда . Хорошо видно, как применение закона ускоряет и облегчает решение задач.

Ветка. Решение задачи без закона сохранения импульса

Попробуем решить задачу без применения закона сохранения импульса.

Мы знаем из второго закона Ньютона, что изменение скорости вызывает сила. Рассмотрим, что происходит при столкновении: люди взаимодействуют с какой-то силой, изменяющей их скорости (ехавший фигурист замедляется, а стоявший – приобретает скорость). Запишем второй закон Ньютона для обоих людей.
, . По третьему закону Ньютона, эти силы равны по модулю и противоположны по направлению: . Заметим, что после приобретения скорости фигуристы не будут взаимодействовать (они будут ехать, обнявшись, но по крайней мере не будет результирующей силы, изменявшей их скорости), поэтому действие силы ограничится промежутком времени, который фиксирован (сколько времени первый человек действовал на второго, столько и второй – на первого), значит, его можно сократить. Получим:, откуда .

Как видим, получили тот же результат, используя изначально тот же второй закон Ньютона, но не используя понятие импульс и закон сохранения, что заставило делать ряд замечаний и усложнило решение

Понятно, что логика не изменится, если нам дано что-то другое, например, скорость после, а нужно найти скорость до. Или даны все скорости и масса одного из людей, а нужно найти массу другого. Пользуясь законом сохранения импульса, мы найдем, что нам нужно.

Итак, подведем краткие итоги. После нашего ознакомления с импульсом и законом сохранения импульса нужно следующее.

Знать

1) второй закон Ньютона,

2) суммарный импульс системы тел изменяется только под действием внешних сил.

Уметь

1) определять систему рассматриваемых тел,

2) определять суммарный импульс системы, учитывать каждое тело.

Понимать

Закон сохранения импульса справедлив для системы тел.

Импульс как векторная величина

Импульс – произведение вектора скорости на скалярную величину (массу), значит, является векторной величиной. Поэтому прирешении задач обращаемся с ним как с вектором: можем раскладывать на проекции, направление обозначать знаком + или –.

Давайте решим такую задачу.

Пример

Шарик массой ударяется о плоскость под углом к ней, сохраняя модуль скорости . Определите изменение импульса шарика.

Решение

Нужно определить изменение импульса, поэтому давайте разберемся, какой был импульс шарика до удара и какой - после удара. Векторы импульса и скорости отличаются только длиной в m раз, поэтому на рисунке можно работать с любой величиной. Обозначим вектор скорости до удара.

Что происходит во время удара? Вдоль стены на шарик силы не действуют, значит, составляющая скорости, направленная вдоль стены, по второму закону Ньютона, не изменится. Стена подействует на шарик перпендикулярно поверхности, значит, соответствующая проекция скорости будет меняться. Примем это направление за направление оси Оу. В условии сказано, что величина скорости сохранится, значит,, т.е. имеем вот такое направление.

Изменялся импульс только вдоль направления, перпендикулярного стене, и в этом направлении изменение было.

Решим следующею задачу.

Пример

На горизонтальной поверхности находится тележка массой 20 кг, на которой стоит человек массой 60 кг. Человек начинает двигаться вдоль тележки с постоянной скоростью, тележка при этом начинает катиться без трения. Модуль скорости тележки относительно поверхности:

1) больше модуля скорости человека относительно поверхности,

2) меньше модуля скорости человека относительно поверхности,

3) равен модулю скорости человека относительно поверхности,

4) может быть как больше, так и меньше модуля скорости человека относительно поверхности.

Решение

Проанализируем условие. Задача с движущимися телами. По-видимому, потребуется применение законов динамики: второй закон Ньютона, закон сохранения импульса или/и закон сохранения энергии.

На систему человек-тележка не действуют внешние силы (трения нет) – это замкнутая система. Значит, сохраняется импульс.

До начала движения человека импульс был равен нулю (человек стоит, тележка тоже).

Так и запишем, что импульс сохраняется: другими словами, импульс системы после начала движения равен импульсу до его начала:,. Понятно, что человек и тележка будут двигаться в разные стороны.

Поэтому, переходя от векторной записи, ставим разные знаки:. Получим соотношение модулей скорости: . Первый вариант ответа правильный.

Из решения задач этого раздела мы извлекли, что нужно следующее.

Знать

второй закон Ньютона.

Уметь

раскладывать вектор импульса или скорость на проекции.

Понимать

Закон сохранения импульса выполняется также отдельно в проекциях на выбранные направления, что особенно удобно использовать при решении задач, в которых движение происходит не вдоль одной прямой.

Замкнутые системы тел

При нашем первом знакомстве с законом сохранения импульса мы ставили условие замкнутой системы. Давайте подробнее обсудим, какую систему можно считать замкнутой и почему.

Итак, замкнутая система – это система, в которой тела взаимодействуют только друг с другом, и ее суммарный импульс сохраняется. Вспомним задачу о фигуристах и уточним несколько интересных моментов.

1) Возникает вопрос: наши фигуристы в конце концов остановятся, если не будут отталкиваться ото льда, прилагать усилий – и импульс станет равным нулю. Где же тут сохранение? Да, на систему начнут действовать внешние силы (трения) и её импульс, согласно закону, изменится. Наша формула верна только для момента после соударения, а затем по мере воздействия сил трения импульс будет меняться. Потому мы и говорили про людей на льду, где силы трения относительно слабы и их действие не сразу заметно. Если бы люди стояли на полу, то закон бы, конечно, также действовал: сразу после удара совместная скорость слипшихся тел в этом случае вычисляется по всё той же формуле. Но незамкнутость системы (наличие силы трения о пол) начала бы сказываться столь быстро, что сохранение импульса было бы трудно увидеть. Столкновение на льду – хорошее приближение к идеальной ситуации замкнутой системы. Но нужно помнить, что идеальная замкнутая система – такая же абстракция, как и материальная точка. На тело в жизни всегда действует какие-либо силы. И при постановке реальной задачи важно понять, что мы можем принять за замкнутую систему.

Ветка. Модель замкнутой системы

Обычно для иллюстрации закона сохранения приводят либо тела на скользком льду, либо тела в воде – лодки, суда. На льду мало трение скольжения, а в воде обычно относительно мало сопротивление воды. Действительно, торможение в воде происходит очень медленно, поэтому на воде предупреждение о препятствии на пути должно поступать много раньше, чем на суше. Например, полный танкер начинает тормозной путь за 20–30 км до точки парковки. «Титанику» не хватило тех нескольких минут, которые имел капитан после обнаружения айсберга.

2) Если бы столкнувшиеся люди оттолкнулись упруго, то закон бы, конечно, также действовал, но для вычисления скоростей после пришлось бы привлечь закон сохранения энергии. Одного уравнения было бы мало, потому что скорости после столкновения разные, т.е. два неизвестных в одном уравнении. 

3) Если бы в стоящего человека одновременно «влипли» два человека с заданными скоростями, сработает ли закон? Да, суммарный импульс системы на самом деле невелик, потому что импульсы движущихся фигуристов направлены в противоположные стороны, а значит, их величины будут отниматься, и этот импульс по закону сохранения будет равен импульсу трех обнявшихся человек после столкновения, поэтому после такого столкновения фигуристы если и будут двигаться, то скорость их будет мала.

4) Возникает такой вопрос: силы-то действовали – сила тяжести и сила реакции опоры, почему система замкнутая?

Да, эти силы действовали, но их сумма равна нулю. Однако, поскольку импульс – это вектор, остается вопрос: достаточно ли, чтобы сумма сил в заданном направлении была равна нулю, чтобы сумма проекций импульсов на данное направление сохранялась? Ответ: да. Вектор постоянен, если каждая его компонента постоянна.

Давайте теперь решим такую задачу.

Пример

Снаряд массы летел горизонтально со скоростью и после взрыва разлетелся на два равных осколка. Один полетел под углом к начальному направлению, сохранив модуль скорости. Определить, с какой скоростью и куда полетел второй осколок.

Решение

Задача на движение, для решения таких задач наши инструменты – второй закон Ньютона, закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Осколки снаряда, которые были сначала соединены, во время взрыва провзаимодействовали и изменили скорость (а значит, и импульс), причем не рассматривается ни сила взаимодействия, ни короткое время взрыва. Но у нас есть всё для определения суммарного импульса до взрыва и одно неизвестное (скорость второго осколка) после взрыва, поэтому, по-видимому, можно применить закон сохранения импульса. Давайте подумаем, можно ли его применять, замкнута ли наша система? На снаряд и его осколки действует внешняя сила – сила тяжести, сообщающая ускорение g. За время взрыва изменение скорости под действием силы тяжести будет иметь величину порядка единиц  и меньше, т.к. взрыв длится десятые и сотые доли секунды. По сравнению со скоростью осколков, которая может достигать сотен , этим изменением, а значит, и действием силы тяжести, можно пренебречь и считать систему замкнутой.

Применим закон сохранения импульса. До взрыва импульс системы равнялся импульсу снаряда.

После взрыва импульс системы равен суммарному импульсу осколков: .

Так как скорость меняла направление, т.е. появилась вертикальная составляющая, которой до взрыва не было, нужно рассмотреть процесс в проекциях. Выберем ось Ох горизонтально, Оу – вертикально (в этом случае удобно записывается импульс до взрыва, и угол задан удобно относительно горизонтали). Тогда запишем наш закон в проекциях, сократив сразу на:

Что интересно, скорость первого осколка в проекции на ось Ох уменьшилась, значит, для сохранения суммарного импульса проекция скорости второго осколка должна увеличиться. Так как вертикальные составляющие по модулю равны, получается, что второй осколок увеличит скорость, в то время как первый только поменяет направление.

Итак, по условию дано, что, поэтому осталось решить систему уравнений с двумя неизвестными и.

Свертка. Математическое решение задачи

Разделим первое уравнение на второе:

Подставив значение во второе уравнение системы, получим:

Что в этой задаче важно понимать, так это то, что вмешательство энергии взрыва не делает систему незамкнутой. Эту появившуюся в результате взрыва энергию мы учтем, если будем использовать закон сохранения энергии. Но взаимодействуют осколки при взрыве только между собой, энергия взрыва отталкивает их друг от друга. Аналогично, когда в одной из предыдущих задач человек шел по тележке, он использовал энергию своих ног и отталкивался при этом от тележки. Если бы он одной ногой оттолкнулся от пола, была бы сторонняя сила – сила трения со стороны пола.

Обратим внимание на эту особенность, решив следующую задачу.

Пример

Снаряд в полёте разрывается на две равные части, одна из которых продолжает движение по направлению движения снаряда, а другая – в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличивается за счёт энергии взрыва на величину. Модуль скорости осколка, движущегося по направлению движения снаряда, равен, а модуль скорости второго осколка равен. Найдите массу снаряда.

Решение

Задача на движение и взаимодействие тел, значит, можем применить закон сохранения импульса (мы уже обсудили, что такую систему можно считать замкнутой). Также можем применить закон сохранения энергии, тем более, что одна из составляющих энергии системы нам дана.

Перепишем условие, введя естественные обозначения:

- снаряд массы двигался со скоростью и разорвался на части массой  с абсолютными скоростями соответственно и;

- кинетическая энергия системы увеличилась после взрыва на.

Итак, с физикой процесса мы разобрались: будем записывать законы сохранения.

Закон сохранения энергии: .

Закон сохранения импульса: , где знак минус отражает тот факт, что второй осколок двигался в противоположном направлении.

Теперь осталась только математика: нужно решить систему уравнений с двумя неизвестными и.

Свертка. Математическое решение задачи

Разделив второе уравнение на, получим .

Подставим в первое уравнение и найдем

Подведем краткие итоги. Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать

1) второй закон Ньютона;

2) закон сохранения импульса.

Уметь

1) раскладывать вектор импульса или скорость на проекции;

2) анализировать, является ли рассматриваемая система замкнутой.

Понимать

Замкнутая система – это идеальная модель, мы лишь можем решить, можно ли считать реальную систему замкнутой приближенно и почему.

Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар

Ранее мы рассматривали взаимодействие тел, их столкновения, не задумываясь, что бывают разные виды ударов. Из своего опыта каждый скажет, что если столкнуть два металлических шарика и два пластилиновых шарика, то результат будет разный. Закон сохранения импульса выполняется в обоих случаях, так в чем тогда различие и как его учесть?

Выделяют две модели соударения. Начнем с абсолютно неупругого удара. Это удар, после которого тела соединяются и продолжают движение как единое тело.

Такой вид столкновения мы наблюдали в задаче о фигуристах, такая же ситуация со сталкивающимися пластилиновыми шариками. В этом случае импульс после столкновения будет равен.

Решим такую задачу.

Пример

Два тела движутся по одной прямой. Модуль импульса первого тела равен , а модуль импульса второго тела равен. В некоторый момент эти тела сталкиваются и слипаются. После столкновения модуль импульса получившегося составного тела может быть равен:

1) только ,

2) только ,

3) либо , либо ,

4) любой величине, лежащей в интервале от  до .

Решение

Задача с движущимися и сталкивающимися телами, значит, можем применить закон сохранения импульса. Тела двигаются по одной прямой, поэтому их импульсы либо складываются (когда они равнонаправлены), либо вычитаются (направлены противоположно). Варианта только два: сложение даст , вычитание даст , правильный вариант №3.

Вторая модель – абсолютно упругий удар. Это удар, при котором полная кинетическая энергия сохраняется. Этой модели соответствует столкновение двух упругих тел: металлических тел, бильярдных шаров.

Заметим следующее: всё вышесказанное не значит, что при упругом ударе выполняются оба закона сохранения, а при неупругом только закон сохранения импульса. Закон сохранения энергии выполняется всегда, только при упругом ударе вся энергия сохраняется в виде кинетической, а при неупругом – часть энергии (или вся) переходит в тепловую или энергию звуковой волны.

Решим такую задачу на упругое соударение.

Пример

Два шара, из которых масса одного в 2 раза больше другого, движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Найти значения их скоростей после лобового абсолютно упругого удара.

Решение

В задаче сказано, что удар абсолютно упругий, значит, можно записать законы сохранения и импульса и кинетической энергии. Предположим, что тела разлетятся в разные стороны, и при записи закона сохранения импульса знаки будем расставлять в соответствии с этим. Если мы ошиблись, знак минус возникнет в окончательном выражении. Таким образом, имеем:

Теперь, решив систему уравнений, получим ответ:
, .

Свертка. Математическое решение задачи

Выразим из первого уравнения и подставим во второе:.

Приведем подобные:.

Можно записать как, тогда можно будет воспользоваться формулами для квадрата разности и разности квадратов.

Отсюда и .

Подставим в уравнение для: и .

Заметим, что ответ показывает такой случай, как если бы тела не столкнулись и продолжили бы свое движение с исходными скоростями, что тоже корректно с точки зрения законов сохранения и импульса. В нашем же случае ответ , .

На самом деле абсолютно упругим столкновение быть не может хотя бы потому, что в этом случае оно было бы беззвучным (на звук расходуется часть кинетической энергии). Поэтому при описании реальных столкновений в законе сохранения импульса помним о замкнутой системе, а в законе сохранения энергии появляется слагаемое, связанное с потерями.

Подведем краткие итоги. Для решения рассмотренных задач необходимо следующее.

Знать

1) закон сохранения импульса;

2) закон сохранения энергии.

Уметь

определять вид столкновения и описывать его законами физики.

Понимать

В природе не встречается идеально упругих или идеально неупругих столкновений, но нужно понимать, когда мы можем приближенно описывать реальные процессы с помощью идеальных моделей.

Реактивное движение

Как мы увидели в задаче о разорвавшемся снаряде, скорость части после разрыва может быть больше скорости целого тела. В таком случае почему бы не использовать это явление для разгона тел?

Рассмотрим это явление на примере задачи.

Пример

От двухступенчатой ракеты общей массой в момент достижения скорости отделилась ее вторая ступень массой, скорость которой при этом увеличилась до . Найти, с какой скоростью стала двигаться первая ступень ракеты.

Решение

Задача на движение тел, значит, пользуемся теми же инструментами: второй закон Ньютона и законы сохранения. Второй закон Ньютона использовать не можем, т.к. речь не идет ни о силе взаимодействия, ни о времени, ни об ускорениях. Для закона сохранения энергии мы не знаем, сколько энергии было заключено в «пружине», отталкивающей части ракеты. Запишем закон сохранения импульса. Скорость второй ступени направлена в направлении исходного движения ракеты.

Предположим, что искомая скорость первой ступени массой направлена в противоположную сторону.

Тогда. Отсюда найдем: .

Знак минус показывает, что мы ошиблись с направлением и первая ступень после отсоединения тоже двигалась в направлении полета ракеты.

Мы рассмотрели, как ракета может ускориться за счет отбрасывания своей части. Возникает мысль, что это можно делать не единоразово, а продолжительным потоком, например, с помощью струи газа. Тогда газ будет выполнять ту же функцию, что первая ступень в рассмотренной задаче. На этом принципе и построено реактивное движение.

Ветка. Реактивное движение

Реактивное движение – это движение, которое возникает в результате взаимного отталкивания вытекающего потока газа или жидкости и корпуса ракеты. Сложность такого движения состоит в том, что масса ракеты по мере вытекания реактивных газов уменьшается. Описано оно было Иваном Мещерским еще в конце XIX века:

где – это убывающая масса ракеты, – возрастающая масса уже отделившихся газов, а – скорость потока газов относительно ракеты. Слагаемое  называют реактивной силой (знак минус показывает, что реактивные газы толкают ракету в направлении, противоположном своей скорости).

Для случая, когда на ракету не действуют внешние силы, выведена формула Циолковского: , где – соотношение начальной и остаточной массы ракеты при условии, что скорость реактивных газов постоянна.

Реактивное движение – это не только ракеты и реактивные самолеты. Каждый из вас встречался в детстве с реактивным движением, когда отпускал незавязанный воздушный шарик, который, сдуваясь, летел по комнате. Выходящий из него воздух играл роль реактивного газа.

Подведем краткие итоги. Для рассмотрения реактивного движения необходимо следующее.

Знать

1) закон сохранения импульса;

2) закон сохранения энергии.

Уметь

определять, что произойдет при отделении части ракеты.

Понимать

Закон сохранения импульса работает всегда, как при коротком взаимодействии с телом, так и в продолжительном взаимодействии со струей газа или жидкости, и это будет тот же закон сохранения.

Заключение

На этом уроке мы поговорили об:

• импульсе;

• законе сохранения импульса;

• абсолютно упругом и абсолютно неупругом столкновении.

Теперь вы сможете решить больший круг задач на взаимодействие и движение тел.

На следующем уроке мы обсудим:

• механическую работу;

• мощность;

• коэффициент полезного действия.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Урок «Импульс. Закон сохранения импульса» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

2. Урок «Реактивное движение. Значение работ К.Е. Циолковского» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

3. Урок «Столкновение тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)

4. Урок «Импульс тела. Импульс силы» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)

5. Урок «Закон сохранения импульса. Реактивное движение» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)